2018届福建省福州市高三3月质量检测数学（理）试题（解析版）

2018届福建省福州市高三3月质量检测数学（理）试题

一、单选题

1．已知复数 满足 ，则在复平面内， 对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B

【解析】由题易得： ∴ 对应的点为 ， ，在第二象限，

故选：B

2．为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ) A. 简单随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按年龄段分层抽样 D. 系统抽样 【答案】C

【解析】我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，

事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大. 了解某地区的“微信健步走”活动情况，，按年龄分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理． 故选：C．

3．已知双曲线 的两顶点间的距离为4，则 的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】B

【解析】由双曲线 的方程可知： ，即 ， ∴ ，解得： 令 ，得到 故选：B

4．若角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边在直线 上，则 ( )

A. B. C. D. 【答案】B

【解析】由题意易得： ，

，

故选：B 5．已知三棱锥 的四个顶点都在球 的表面上， 平面 ， ，且 ，若平面 截球 所得截面的面积为 ，则球 的表面积为( ) A. B. C. D. 【答案】D

【解析】∵AB⊥BC，平面 截球 所得截面的面积为 ， ∴AC为截面ABC的直径，AC=6， ∴PC= ， ∵PA⊥平面ABC，

∴PC的中点为球O的球心， ∴球O的半径r=

=5， ∴球O的面积S=4πr2= ． 故选：D．

6．函数 的图象大致为( )

A. B. C.

【答案】A

【解析】 的定义域为 ， ，

D.

为偶函数，排除C；

当x 时， ，排除B，D 故选：A

点睛：识图常用的方法

(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；

(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；

(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．

7．下面程序框图是为了求出满足 的最大正整数 的值，那么在

和

两个空白框中，可以分别填入( )

A. “ ”和“输出 ” B. “ ”和“输出 ” C. “ ”和“输出 ” D. “ ”和“输出 ” 【答案】D

【解析】执行程序框图：

， ，得到 ， ，判断不符合，∴“ ”排除A，B选项； ， ，判断不符合，

， ，判断不符合， ，

， ，判断符合，则“输出 ”

故选：D

点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结

构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.

8．福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有( ) A. 90种 B. 180种 C. 270种 D. 360种 【答案】B

【解析】第一步，为甲地选一名志愿者，有 =6种选法； 第二步，为乙地选一名志愿者，有 =5种选法；

第三步，为剩下两个展区各安排两个人，有 种选法．

故不同的安排方案共有6×5×6=180种． 故选：B．

9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )

A. B.

C.

D.

【答案】C

【解析】由三视图可知，该几何体为组合体：上方为半个圆锥，下方为放倒的直四棱柱， ∴该几何体的体积为：

故选：C

点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.

，则满足 的 的取值范围是( ) 10．设函数

A. B. C. D. 【答案】C

【解析】作出函数 的图象，如图：

等价于：

或 解得： 或 故选：C

11．在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过 的直线交 于 两点，交 于 点，直线 交 于点 .若 ，且 .则 ( )

A. 1 B. 3 C. 3或9 D. 1或9 【答案】D

【解析】

连接BD，易知：BD 轴，G为准线与x轴的焦点， 由抛物线的定义，|BF|=|BD|，|AF|=|AH|=3， ∵ ，

， ， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向，建立如图所故以点 为坐标原点，分别以 示的空间直角坐标系 ，设 ， ， 则 ， ， ， ， ，

， ， 所以 ， 因为 ，所以

所以 ，解得 . ， ， 所以

， 设平面 的法向量为 ， 则 ，所以

， 取 ，则

，设直线 与平面 所成的角为 ， 又因为

所以

，

所以直线 与平面 所成的角的正弦值为 .

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 19．从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值(记为 )，由测量结果得到如下频率分布直方图：

公司规定：当 时，产品为正品；当 时，产品为次品，公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元，记 的分布列和数学期望；

由频率分布直方图可以认为， 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 (同一组中的数据用该区间的中点值作代表)

①利用该正态分布，求 ；

②某客户从该公司购买了500件这种产品，记 表示这500件产品中该项质量指标值位于区间 的产品件数，利用①的结果，求 . 附： ，

若 ～ ，则 ， . 【答案】(1) 的分布列为： 90 .

(2)① .② .

【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图估计概率得到 的分布列和数学期望；（2）（i）由 ～ ，从而求出而 ，即可得出结论；

（ii）由①知，一件产品中该项质量指标值位于区间 的概率为 . 依题意知 ～ ，即可求出 .

试题解析：

(1)由频率估计概率，

产品为正品的概率为 ， 所以随机变量 的分布列为：

90 所以 .

(2)由频率分布直方图，抽取产品的该项质量指标值的样本平均数 和样本方差 分别为： .

. ①因为 ～ ，

从而 .

②由①知，一件产品中该项质量指标值位于区间 的概率为 . 依题意知 ～ ， 所以 .

，20．设点 为圆 上的动点，点 在 轴上的投影为 ，动点 满足 动点 的轨迹为 .

(1)求 的方程；

(2)设 与 轴正半轴的交点为 ，过点 的直线 的斜率为 ， 与 交于另一点为 .若以点 为圆心，以线段 长为半径的圆与 有4个公共点，求 的取值范围. 【答案】(1) ；(2)

【解析】试题分析：（1）利用相关点法求出 的方程；（2）由

得

，设 ， ， ，则点 的轨迹方程为

，

，得 由 ，( )()依题意得，

()式关于 的方程在 有两个不同的实数解，利用二次函数有关知识即可求出 的取值范围.

试题解析：

(1)设点 ， ，则 ，

，所以 ，所以 ，解得 因为 ，

由于点 在圆 上，所以 ，

所以点 的轨迹 的方程为 .

(2)由(1)知， 的方程为 ，因为直线 . 由

得 ，

设 ， ，因此 ， ，

，

则点 的轨迹方程为

，

，得 由 ，( )()

依题意得，()式关于 的方程在 有两个不同的实数解， 设

，

因为函数 的对称轴为 ，

要使函数 的图象在 与 轴有两个不同的交点， 则 ，

整理得： . 所以

解得

，即 ，

，

所以 的取值范围为

21．(1)求函数 的零点个数；

(2)证明：当 ，函数 有最小值，设 的最小值为 ，求函数 的值域.

【答案】(1) 1；(2) .

【解析】试题分析：（1）研究函数 的单调性，由零点存在性定理，即可判断函数 的零点个数；（2） ，由(1)知， 在

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