16-4 简谐振动的合成

16.4 简谐振动的合成

第16章 机械振动

16.4 简谐振动的合成

16.4 简谐振动的合成

第16章 机械振动

一、两个同方向同频率简谐运动的合成 某质点同时参与两个同频率且 在同一条直线上的简谐运动。

x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )合振动： x x1 x2 A1 cos( t 1 ) A2 cos( t 2 ) 利用三角公式或旋转矢量可求得合振动：

x A cos( t )两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐 运动，且其方向和频率与原来相同。2

16.4 简谐振动的合成

第16章 机械振动

x x1 x2解 析 法

A1 cos t 1 +A2 cos t 2 A1 cos 1 A2 cos 2 cos t A1 sin 1 A2 sin 2 sin t

令： 则：

A sin A1 sin 1 A2 sin 2 A cos A1 cos 1 A2 cos 2x A cos cos t A sin sin t A cos t 3

16.4 简谐振动的合成 旋转矢量法：

第16章 机械振动

从图中三角形的边角关系，

可得：

A A12 A22 2 A1 A2 cos( 2 1 )

A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2合振动的振幅A不仅与 两个分振动的振幅有关， 还取决于两分振动的初相 位差。4

16.4 简谐振动的合成 讨论2 1 2 2

第16章 机械振动

A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 1)相位差 2 1 2k π (k 0 , 1, 2, )

x

x

合振动振幅最大。

o A

o

T

A A1 A2 x ( A1 A2 ) cos( t ) 2 1 2k π5

A

A2

1

t

第16章 机械振动 16.4 简谐振动的合成 2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 2)相位差 2 1 (2k 1)π (k 0 , 1, ) x1 A1 cos t x ( A2 A1 ) cos( t π) x2 A2 cos( t π )

x

x

o 2 A 2

A1

A A1 A2 2

o

T合振动振幅最小。

t6

A

16.4 简谐振动的合成

第16章 机械振动

A 1)相位差

A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )2 1 2 2

2 1 2k πA A1 A2

(k 0 , 1, )相互加强

2)相位差

2

1, ) 1 (2k 1)π (k 0 ,

A A1 A2

相互削弱

3)一般情况， 当相位差为其它值时，

A1 A2 A A1 A2

16.4 简谐振动的合成

第16章 机械振动

5 x1 4 cos(2t ) m , x2 3 cos(2t )m, 6 6 解：1)用解析法，合成后 不变， x A cos(2t )A 2 A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 1 m

例：求合振动方程。已知两同方向、同频率谐振动：

A1 sin 1 A2 sin 2 3 tg A1 cos 1 A2 cos 2 3因为当t = 0时

6

合振动方程： x 1 cos(2t / 6) m

5 x1

x2 4cos 3cos( ) 0 6 68

16.4 简谐振动的合成x1 4 cos(2t

第16章 机械振动

例：求合振动方程。已知两同方向、同频率谐振动：

6

) m,

5 x2 3 cos(2t )m, 6

2)旋转矢量法： A1 (4cm )

1

6

A(1cm ) 6

A2 ( 3cm )

5 2 6

合振动方程： x 1 cos(2t / 6) m9

16.4 简谐振动的合成

第16章 机械振动

例：已知两谐振动的曲线，它们是同频率的谐振动。 求：合振动方程。 解：由图知 A1 A2 5 cmT1 T2 0.1 s 2 T 20

5

x /cm10.05

1振动在 t = 0时： 1 x10 0 , v10 0 2 2振动在t = 0时：

0 5

0 .1

t /s

2

x20 5cm , v 20 0

2

M2

x1 5 cos(20 t 2) cm x2 5 cos(20 t ) cm

OM110

x

16.4 简谐振动的合成

第16章 机械振动

x1 5 cos(20 t 2) cm x2 5 cos(20 t ) cm由旋转矢量法：

M22

5 4

A 0 M1 0 M 2 5 2 cm5 4

2

A

OM1

x

5 x 5 2 cos(20 t ) cm 411

16.4 简谐振动的合成* 多个同方向同频率简谐运动的合成

第16章 机械振动

x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 ) xn An cos( t n )

A A 3

x x1 x2 xnx A cos( t )

o

1 A1

2

3 A2

x

多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动 假设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。 12

16.4 简谐振动的合成

第16章 机械振动

xN A0 cos[ t ( N 1) ]讨 论1) 2kπ

x1 A0 cos t x2 A0 cos( t ) x3 A0 cos( t 2 )

o A1 A2 A3 A4 A5 xA Ai NA0

A

(k 0, 1, 2, ) 2) N 2k 'π

A5

A4 A

i

3

(k ' kN , k ' 1, 2, )

N个矢量依次相接构成一个闭合的多边形。

O A6

A 0

A1

A2

x13

16.4 简谐振动的合成

第16章 机械振动

*二 两个同方向不同频率简谐运动的合成

频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合 成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍。 14

16.4 简谐振动的合成

第16章 机械振动

16.4 简谐振动的合成

第16章 机械振动

为了简单起见，讨论两个振幅相同，初相位也 相同，在同方向上以不同频率振动的合成。其振 动表达式分别为：

x1 A1 cos 1t A1 cos2π 1t x2 A2 cos 2t A2 cos 2π 2t利用三角函数关系式：

x x1 x2 2

cos cos 2 cos合成振动表达式：

2

cos

x (2 A1 cos 2π

2 12

t ) cos 2π

2 12

t16

16.4 简谐振动的合成

第16章 机械振动

x x1 x2 A1 cos2π 1t A2 cos2π 2t 2 1 2 1 x (2 A1 cos 2π t ) cos 2π t 2 2随 t 变化缓慢 随 t 变化较快 由于振幅是周期性变化的，所以合振 动不再是简谐振动。 讨论

A1 A2 , 2 1 1 2 的情况

合振动是振幅按 | 2A0cos 2π(ν2-ν1) t /2 | 缓慢变化的，角频率为 (ν2+ν1 ) /2 的“准周期运动”。17

16.4 简谐振动的合成

第16章 机械振动

x (2 A1 cos 2π

2 12

t ) cos 2π

2 12

t

振幅部分 振动频率 振幅

合振动频率

( 1 2 ) 2

A 2 A1 cos 2π

2 12

Amax 2 A1t

Amin 0

由于余弦函数绝对值的周期为 。

2 1 2π T π 2

1 T 2 118

16.4 简谐振动的合成A 2 A1 cos 2 π

第16章 机械振动

2 12

t

2 1

2 1 2π T π 2

1 T 2 1

拍频(振幅绝对值变化的频率)

所以，拍频是振动 cos(2

2 12

t ) 频率的两倍。

拍在声学和无线电技术中的应用： 用音叉的振动来校准乐器； 利用拍的规律测量超声波的频率； 在无线电技术中，可用来测定无线电波频率以及调制。19

16.4 简谐振动的合成方法二：旋转矢量合成法

第16章 机械振动

( 2 1 )t ( 2 1 )

2t 2

A 2 2

A 2 1

1t 1A

1 A1

o

x2

x1

x

x

A12 A22 2 A1 A2 cos

1 2 0 2π ( 2 1 )t20

( 2 1 )t ( 2 1 )

16.4 简谐振动的合成A A12 A22 2 A1 A2 cos

第16章 机械振动

( 2 1 )t振幅 A A 1 cos ) 1 2(

2 A2t)

( 2 1 )t

2 A1 cos(拍频

2 12

o

2 1x1 x2 cos t A

1t 2t

x2 x1

1 A1

Ax

x

2 1

(拍在声学和无线电技术中的应用) 振动圆频率

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xcf1.html