数论之同余定理

第六讲 数论之同余定理、个位律 射雕英雄传第29回写到,黄蓉给瑛姑出了三道算题.其中第三题是想 所谓的“鬼谷算题”:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七 挑七数之剩二,问物几何? 战 这个其实是我国古代比较有名的一道题.你能答出黄蓉的这道题 吗？ 吗 ？ 回顾

【例1】 （北大附中入学测试题）有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，这三个余数的和是25。这三个余数中最大的一个是多少？

【例2】 （人大附中入学测试题）一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？

专题

题型一、余数规律

余数定理：

a：两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。

实例：7÷3=?1，5÷3=?2，这样（7+5）÷3的余数就等于1+2=3，所以余0。 b: 两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。

实例：8÷3=?2，4÷3=?1，这样（8-4）÷3的余数就等于2-1=1，所以余1。 如果是（7-5）÷3呢? 会出什么问题？

c: 两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。

实例：7÷3=?1，5÷3=?2，这样（7×5）÷3的余数就等于1×2=2，所以余2。 性质： 带余除法：

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0?r＜b,使得a=b×q+r

当r=0时，我们称a能被b整除。

当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q??r, 0?r＜b

2005【例1】 11?22?33?44????2005除以10所得的余数为多少？

105

【例2】 试求253×168的末两位数。

题型二、余数定理、性质的运用

同余定义： 若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为 a≡b(mod m) （*） 同余式（*）意味着（我们假设a?b）a－b=mk，k是整数，即m|(a-b) 若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除 这条性质非常有用，一定要熟练掌握。下面是一些和同余有关的题目，这些题型都是考试经常出的，一定要掌握。 【例3】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余

数，则这个自然数是多少？

【例4】 甲、乙、丙三数分别为603，939，393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A

除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少？

题型三、一个数除以多个数，得不同余数

一般解题步骤:

①凑“多”相同，即把余数处理成相同 条件：余数与除数的和相同 ②凑“缺”相同，即把余数处理成缺的数字相同 条件：除数与余数的差相同 ③先考虑上面两种，如果都不行，则用“中国剩余定理”

【例5】 一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？

【例6】 一个大于2的数，除以3余1，除以5余3，除以7余5，问满足条件的最小自然数是____.

【例7】 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数____.

【例8】 一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数：

题型四：余数和应用题相结合。

【例9】 在3×3的方格表中已如右图填入了9个质数。将表中同一行或同一列的3个数加上相同的自然

数称为一次操作。问：你能通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数吗？为什么？

【例10】 六张卡片上分别标上1193，1258，1842，1866，1912，2494六个数，甲取3张，乙取2张，

丙取1张，结果发现甲手中卡片上的数之和是乙各自手中卡片上的数之和的2倍，则丙手中卡片上的数是几？

【例11】 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人，两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余

下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每

个成员两两合拍一张照片留念，那么拍完最后一张照片后，照相机里的胶卷还可拍____张照片（每个胶卷可拍36张照片）。

【例12】 （南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛D卷第11题）现有糖果254粒,饼干210

块和桔子186个.某幼儿园大班人数超过40.每人分得一样多的糖果,一样多的饼干,也分得一样多的桔子。余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是：1：3：2，这个大班有_____名小朋友，每人分得糖果_____粒，饼干_____块，桔子_____个。

练习六

1、有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1。问这个数除以12余数是几？

2、五(3)班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人.问上体育课的同学最少多少名?

3、 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数

4、一个数去除70、103所得的余数为a、2a+2，求a的值，

5、 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。

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