2015届吉林省长春市十一中高三第二次阶段性测试数学试题及答
更新时间:2024-06-23 04:59:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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长春市十一高中2014-2015学年度高三上学期阶段性考试
数 学 试 题 (理)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.若复数z?a2?1?(a?1)i(i为虚数单位)是纯虚数,则实数a?( ) A.?1 B. ?1 C. 0 D. 1 2.设a?(1,2),b?(2,k),若(2a?b)?a,则实数k的值为( ) A. ?2 B. ?4 C. ?6 D. ?8
3.在等差数列?an?中, a1,a2015为方程x2?10x?16?0的两根,则a2?a1008?a2014? ( ) A.10
B.15
C.20
D.40
4.如图,正三棱ABC?A1B1C1的正视图是边长为4的正方形,则此正三棱柱的侧视图的面积为
C1
( ) 2 2 A1 B1 A.16 B.23
C C.43 D.83
4 B
主视图
A 5.在非直角?ABC中 “A?B”是“tanA?tanB”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6. 在等比数列?an?中,若a1?2,a2?a5?0,?an?的n项和为Sn,则S2015?S2016?( )
A.4032 B.2 C.?2 D.?4030
7.在边长为1的等边?ABC中,D,E分别在边BC与AC上,且BD?DC,2AE?EC 则AD?BE?( ) A. ?1111 B. ? C. ? D. ? 23461x2?3lnx?1的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( ) 8.已知曲线y?24 A. 3
B. 2
C. 1
D.
1 2
9.将函数y?sin(6x??4(纵坐标不变),再向右平移)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍
?个8单位,所得函数图像的一个对称中心是( ) A.????,0? 16??B. ????,0? 9??C. ????,0? 4??D. ????,0? 2??x2y2510.已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一个焦点到一条渐近线的距离为c(c为双曲线的半
3ab焦距长),则双曲线的离心率为( ) A.
3535 B. C. D.35
222x11.函数y?2?x2(x?R)的图象大致为( )
?x?1,12.已知函数f(x)???log2x,x?0,若方程f(x)?a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x?0x1?x2?x3?x4,则x3(x1?x2)?1的取值范围是( ) 2x3x4A. (?1,??) B. ??1,1? C. (??,1) D. ??1,1? 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.已知向量a?(?1,2),b?(2,3),若m??a?b与n?a?b的夹角为钝角,则实数?的取值范围是 . 14.已知2??21(kx?1)dx?4,则实数k的取值范围为 .
15.下列命题中,正确的是 (1)曲线y?lnx在点(1,0)处的切线方程是y?x?1; (2)函数y?16?2x的值域是?0,4?;
3?),则a?b; 2?ABAC???, (4)O是?ABC所在平面上一定点,动点P满足:OP?OA????sinCsinC??????0,???,则直线AP一定通过?ABC的内心;
(3)已知a?(sin?,1?cos?),b?(1,1?cos?),其中??(?,16.数列?an?中,a1?2,a2?7,an?2是anan?1的个位数字,Sn是?an?的前n项和,则
S242?7a7? .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分10分)
在?ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinB(tanA?tanC)?tanAtanC. (1)求证:a,b,c成等比数列;(2)若a?1,c?2,求?ABC的面积S.
18.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中,点P(,cos122?)在角?的终边上,点Q(sin2?,?1)在角?的终边上,且
1OP?OQ??.
2(1)求cos2?的值;(2)求sin(???)的值.
19.(本小题满分12分)
x已知函数f(x)?a的图象过点(1,),且点(n?1,12an*x)在函数的图象上. (n?N)f(x)?a2n(1)求数列?an?的通项公式; (2)令bn?an?1?1an,若数列?bn?的前n项和为Sn,求证:Sn?5. 220.(本小题满分12分)
在长方体ABCD?A1B1C1D1中,AD?1,AA1?AB?2.点E是线段AB上的动点,点M为
D1 A1 1 MBC1
D1C的中点.
(1)当E点是AB中点时,求证:直线ME∥平面ADD1A1; (2)若二面角A?D1E?C的余弦值为
415,求线段AE的长. 15
21. (本小题满分12分)
x2y23已知椭圆:2?2?1(a?b?0)上任意一点到两焦点F1,F2距离之和为23,离心率为,
3ab动点P在直线x?3上,过F2作直线PF2的垂线l,设l交椭圆于Q点. (1)求椭圆E的标准方程;
(2)证明:直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值; 22. (本小题满分12分)
设函数f(x)?(x2?2)lnx,g(x)?2x2?ax,a?R (1)证明:f(x)是(0,??)上的增函数;
(2)设F(x)?f(x)?g(x),当x?1,???时,F(x)?0恒成立,求a的取值范围.
?长春市十一高中2013-2014学年度高三上学期阶段性考试
数 学 试 题 (理)参考答案
一、选择题(每题5分,共60分) 题号 答案 1 2 3 4 5 D 6 B 7 A 8 A 9 D 10 C 11 A 12 B B C B D 二、填空题(每题5分,共20分) 13. ??9且???1 14. ?,2?
?3?15. (1),(3),(4) 16. 955 三、解答题 17. 【答案】解:
(1)由已知sinB(tanA?tanC)?tanAtanC.得:sinB(2?2?sinAsinCsinAsinC?)?,----2分 cosAcosCcosAcosC即:sinBsin(A?C)?sinAsinC,即:sinB?sinAsinC---------4分
由正弦定理:b2?ac,所以:a,b,c成等比数列.------------5分 (2)由(1)知:b2?ac,a?1,c?2,所以:b?2,------------6分
a2?c2?b21?4?237由余弦定理:cosB?-------------8分 ??,所以:sinB?2ac2?1?244所以:S?1177--------10分 acsinB??1?2??2244
18.【答案】解: (1)因为OP?OQ??------------2分 即:
11122错误!未找到引用源。,所以sin??cos???错误!未找到引用源。,2221122(1?cos2?)?cos2???错误!未找到引用源。,所以cos??错误!未找到引用源。,2232------------4分
1错误!未找到引用源。.------------6分 3211222 (2)因为cos??错误!未找到引用源。,所以sin??错误!未找到引用源。,所以P(,)33231错误!未找到引用源。,Q(,?1)错误!未找到引用源。,
312 又点P(,)错误!未找到引用源。在角?错误!未找到引用源。的终边上,所以
2343sin??,cos??错误!未找到引用源。 ---------8分
55所以cos2??2cos??1?同理 sin???31010,cos??错误!未找到引用源。 ---------10分 1010410331010???(?)??错误!未找到引51051010所以:sin(???)?sin?cos??cos?sin??用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。--------12分
19. 【答案】解: (1)由条件知:a?
11,所以:f(x)?x,-----------2分 22
f(x)过点(n?1,anan1,所以:--------------4分 )?22n?1nn2n2所以:an?n?1-------------5分
2(n?1)2n22n?1(2)bn?-----------7分 ?n?2n22nSn?3?
11111?5?2?7?3???(2n?1)n?1?(2n?1)n 22222111111Sn? 3?2?5?3???(2n?3)n?1?(2n?1)n?(2n?1)n?1-------------10分 222222
所以:Sn?5?2n?5?5-----------12分 2n
20. 【答案】解:
(1)证明:取DD1的中点N,连结MN,AN,ME, -------1分
zD1A1NMB1C111MN∥CD,AE∥CD------3分
22? 四边形MNAE为平行四边形,可知ME∥AN --------4分
AN?平面ADD1A1,ME?平面ADD1A1
?ME∥平面ADD1A1-------6分
(2)解:设 AE?m,如图建立空间直角坐标系-----------7分
AxDCyEBA(1,0,0),E(1,m,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),
AD?(?1,0,2),AE?(0,m,0),D1C?(0,2,?2),EC?(?1,2?m,0)
平面AD1E的法向量为n1?(x1,y1,z1),由n1?AD1?0及n1?AE?0得n1?(2,0,1)
平面D1EC的法向量为n2?(x,y,z), 由n2?D1C?0及n2?EC?0得n2?(2?m,1,1)--------10
分 cos??n1?n2n1n2?5?2m5(2?m)2?2?452,即 20m?16m?129?0 15
343或m?(舍去) 2103所以:AE? -------------12分
2解得:m?
21. 【答案】解:
?2a?23?c3?(1)由条件得:?e??,解得:a?3,c?1,b?2,
a3?222a?b?c??x2y2所以椭圆E:??1---------------5分
32(2)设P(3,y0),Q(x1,y1)
?PF2?F2Q,所以:PF2?F2Q?0,即:2(x1?1)?y0y1?0------------7分
又因为:KPQKOQx12y1y1?y0y12?y1y02),--------10分 ,且y1?2(1????23x1x1?3x1?3x12---------12分 3代入化简得:KPQKOQ??
22.解:若证明f(x)是(0,??)上的增函数,只需证明f?(x)?0在(0,??)恒成立, 即:f?(x)?2xlnx?222?x?0?x(2lnx?2?1)?0?2lnx?2?1?0-------4分 xxx242x2?42设h(x)?2lnx?2?1,x?(0,??),h?(x)??3? 3xxxx所以:h(x)在(0,2)上递减,(2,??)上递增,h(x)最小值h(2)?ln2?2?0 故:f?(x)?2xlnx?2?x?xh(x)?0,所以:f(x)是(0,??)上的增函数.------6分 x22(2)由F(x)?f(x)?g(x)?(x?2)lnx?2x?ax?0得:
(x2?2)lnx?2x2a?在x??1,???上恒成立,------------8分
x
(x2?2)lnx?2x2设G(x)?
x(x2?2)(lnx?1)则G?(x)?, 2x所以g(x)在(1,2)递增,(2,e)递减,(e,??)递增------------9分 所以G(x)的最小值为G(1),G(e)中较小的,G(e)?G(1)?2?e?2?0, e所以:G(e)?G(1),即:G(x)在x??1,???的最小值为G(1)??2,--------11分 只需a??2-------12分
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