2.2.2椭圆的简单几何性质(1)

选修２—１ 2.2.2 椭圆的简单几何性质（教案）

（第1课时）

【教学目标】

1．掌握椭圆的几何图形、椭圆的范围、对称性、顶点的几何性质；

2．掌握标准方程中的a、b、c的几何意义，会用代数的方法来研究曲线的几何性质． 【重点】

椭圆的几何性质． 【难点】

如何用代数方法去研究椭圆的几何性质．

【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第43页～第46页） 1．完成下表 标准方程 xa22?yb22?1?a?b?0? xb22?ya22?1?a?b?0? yPyPF2OF1 图形 焦点 焦距 性 质 范围 对称性 顶点 长短轴 a、b、c的关系 【基础练习】 ?a?x?a,?b?y?b F1OF2xxF1(?c,0),F2(c,0) 2c F1(0,?c),F(0,c) ?b?x?b,?a?y?a 关于两坐标轴和坐标原点对称 (?a,0),(0,?b) (?b,0),(0,?a) 长轴长：2a；短轴长：2b． a2?b?c 22 1．经过点Ｐ（－３，０）、Ｑ（０，－２）的椭圆的标准方程为

x29?y24?1．

1

2．椭圆

xa22?yb22其上一点P(3,y)到两焦点的距离分别是6.5和3.5，?1 (a?b?0)，

椭圆的长半轴为 ５ .

3. 已知椭圆

xa22?y225且|F1F2|?8，弦AB过点F1，?1(a?5)的两个焦点为F1、F2，

则△ABF2的周长为441.

4.在同一坐标系中画出下列椭圆的简图： （1）

x225?y162?1 （2）

x225?y29?1

答：简图如下：

y43-5O-3-45x

【典型例题】

例1 求椭圆16x2?25y2?400的长轴和短轴的长、焦点和顶点的坐标，并用描

点法画出它的图形．

【审题要津】由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c．用椭圆的长轴、短轴、焦点和顶点的定义即可求相关量．图形可以根据椭圆的范围以及对称性去画．

解：把已知方程化成标准方程：

所以，a?5,b?4,c?5?422x522?y422?1，

?3，

因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2a?10,2b?8，两个焦点分别为F1(?3,0),F2(3,0)，椭圆的四个顶点是A1(?5,0),A2(5,0)，B1(0,?4),B2(0,4)

将已知方程变形为y??4525?x2，根据y?4525?x2，在0?x?5的范围

内算出几个点的坐标(x,y)：

x y 0 4 1 3.9 2 3.7 3 3.2 4 2.4 5 0 先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆：

2

y4-5O-45x

【方法总结】在画椭圆以及研究椭圆时，一定要注意椭圆性质的应用．

变式练习：1．写出椭圆25x2?y2?25的长半轴和短半轴的长、焦点和顶点坐标． 答案：长半轴的长是５，短半轴的长是１，焦点坐标是(0,?26),(0,26)，顶点坐

标是（－１，０），（１，０），（０，－５），（０，５）． 例2 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面

的一部分．过对对称的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上，由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知

BC?F1F2，

F1B?2.8cm，

F1F2?4.5cm．建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程．

xa22【审题要津】建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为值，即可写出椭圆的方程．

解：建立如图所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为

?yb22算出a,b,c的?1，

xa22?yb22?1．

在Rt?BF1F2中，|F2B|?|F1B|?|F1F2|22?2.8?4.5．

22由椭圆的性质知，|F1B|?|F2B|?2a，所以

a?12(|F1B|?|F2B|)?12(2.8?22.8?4.5)?4.1；

22b?a?b22?4.1?2.25x2?3.4．

y2222所以，所求的椭圆的方程为

4.1?3.4?1 ．

【方法总结】此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注明精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．

变式练习：１．中心在原点，长轴在x轴上，长轴长为18，且两焦点恰好将长轴三等

3

分，求此椭圆方程．

解：由已知a?9,c?3,则b2?所以，所求的椭圆的方程为

x22a?cy722222?72．

81??1 ．

２．如图所示，“神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面439km，远地点B距地面2384km，已知地球的半径R?6371km．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．

解：建立如图所示直角坐标系，使点A、B、F2在x轴上， 则 a?c＝|OA|－|OF2|＝|F2A|＝6371＋439＝6810

a?c＝|OB|＋|0F2|＝|F2B|＝6371＋2384＝8755

Bya+cF1OF2a-cAx解得a＝7782.5，c＝972.5

b?a?c22?(a?c)(a?c)?6810?8755?7722.

2卫星运行的轨道方程为

x227783?y27722?1 例3已知椭圆9x2?16y2?144，焦点为F1、若?F1PF2?60?，P是椭圆上一点．F2，求?PF1F2的面积．

【审题要津】S?PF1F2?12|PF1|?|PF2|sin?F1PF2?|PF1|?|PF2|．而由椭圆的方

程及椭圆的定义可知|PF1|?|PF2|?2a?8，在?PF1F2中，由余弦定理就可以求出|PF1|?|PF2|．

x2解：椭圆的标准方程为：

162?y292?1 ，则

a?4,b?3, ∴c?a?b?7．

∴|PF1|?|PF2|?2a?8，|F1F2|?2c?27． 在?PF1F2中，由余弦定理，得

|F1F2|?|PF1|?|PF2|?2|PF1|?|PF2|cos?F1PF2，

28?(|PF1|?|PF2|)?2|PF1|?|PF2|?2|PF1|?|PF2|cos?F1PF2

2222∴|PF1|?|PF2|＝12.

4

∴S?PF1F2?12|PF1|?|PF2|sin?F1PF2?33.

【方法总结】在椭圆上的一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的三角形中,由定义可得到|PF1|?|PF2|,面积中涉及到|PF1|?|PF2|,所以在解决相关问题时会考虑运用正、余弦

定理，如果?PF1F2是直角三角形，还会运用勾股定理，方法会社涉及到配方法、整体代换、解方程组等．

变式练习：点P是椭圆

x225?y29?1上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角

形面积为8，求点P的坐标．

解：由椭圆的方程知 a?5,b?3, ∴c?由S?PF1F2a?b22?4，|F1F2|?2c?8．

＝

12|F1F2|?|yP|?4|yP|?8，得 |yP|?2．

∵点P在椭圆上， ∴

xP225?49?1， 解得 xP??5353535．

5353所以，点P的坐标为(

5,2)或(5,?2)或(?5,2)或(?5,?2)．

1．椭圆4x2?2y2?1的焦点坐标是( Ｃ )． （A）(?2,0),(2,0) （B）(0,?2),(0,2) （C）(0,?),(0,) （D）(?222221122,0),(222,0)

2.已知两椭圆ax?y?8与9x?25y?100的焦距相等，则a的值为( Ａ ). (A)9或

917 (B)

x2342或

32 (C)9或

x1034 (D)

917或

32

3．已知椭圆C:

9?y2?1，直线l:?y?1，点P(2,?1)，则( Ａ )．

(A)点P在C内部，l与C相交 (B)点P在C外部，l与C相交

(C)点P在C内部，l与C相离 (D)点P在C外部，l与C相离

4．椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是（ Ｃ ）．

（A）

x216?y29?1或

x29?y216?1 （B）

5

x225?y29?1或

y225?x29?1

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