世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业（三十一） 5.4

圆学子梦想 铸金字品牌

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课时提升作业(三十一)

数 列 求 和

(25分钟 60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.设数列{(-1)n}的前n项和为Sn,则对任意正整数n,Sn= ( )

【解析】选D.因为数列{(-1)n}是首项与公比均为-1的等比数列, 所以Sn=

=

.

【加固训练】若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=( ) A.15 B.12 C.-12 D.-15 【解析】选A.因为an=(-1)n(3n-2),

所以a1+a2+…+a10=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15. 2.(2015·青岛模拟)已知Sn=

+

+

+…+

,若Sm=10,则m=

( )

A.11 B.99 C.120 D.121 【解析】选C.因为+

-=

=-1.由已知得

=

-,所以Sm=

-+

-+…

-1=10,所以m=120.故选C.

3.设f(n)=2+24+27+210+…+23n+10(n∈N*),则f(n)等于 ( )

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A.(8n-1) B.(8n+1-1) C.(8n+3-1) D.(8n+4-1)

【解析】选D.由题意知f(n)可看作以2为首项,23为公比的等比数列的前n+4项和,所以f(n)=

}的前n项和

4.(2015·杭州模拟)已知函数f(x)=x2+2bx过(1,2)点,若数列{为Sn,则S2016的值为 ( ) A.C.

B. D.

【解析】选D.由已知得b=,所以f(n)=n2+n, 所以

=

=

=-, -=1-=

.

所以S2016=1-+-+…+

5.数列{an}的通项公式an=ncos,其前n项和为Sn,则S2016等于( ) A.2016 B.1008 C.504 D.0 【解析】选B.因为an=ncos, 所以当n为奇数时,an=0, 当n为偶数时,an=

所以S2016=a1+a2+a3+a4+a5+…+a2016 =a2+a4+a6+a8+…+a2016

=-2+4-6+8-10+12-14+…+2016

=(-2+4)+(-6+8)+(-10+12)+…+(-2014+2016)=2×504=1008.故选B.

【加固训练】(2015·合肥模拟)已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),Sn是

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其中m∈N*,

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数列{an}的前n项和,则S2016=( ) A.22016-1 B.3×21008-3 C.3×21008-1 D.3×22016-2

【解析】选B.依题意得an〃an+1=2n,an+1〃an+2=2n+1,于是有

=2,即

=2,数

列a1,a3,a5,…,a2n-1,…是以a1=1为首项、2为公比的等比数列;数列a2,a4,a6,…,a2n,…是以a2=2为首项、2为公比的等比数列,于是有S2016=(a1+a3+a5+…+a2015)+(a2+a4+a6+…+a2016)=二、填空题(每小题5分,共15分) 6.设f(x)=

,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求得

+

=3×21008-3,故选B.

f(-12)+f(-11)+f(-10)+…+f(0)+…+f(11)+f(12)+f(13)的值为 . 【解析】抓住求和式子与函数f(x)=

的特征,我们对自变量进行配对,当自

+

=

+

变量之和为1时,研究函数值之和,即f(x)+f(1-x)=×答案:

=,共计配成13对,故所求的和为

.

7.(2015·郑州模拟)设数列{an}的通项公式为an=2n-10(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15|= .

【解析】由an=2n-10(n∈N*)知{an}是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由an=2n-10≥0得n≥5, 所以当n<5时,an<0,

当n≥5时,an≥0,所以|a1|+|a2|+…+|a15|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+…+a15)=20+110=130. 答案:130

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【加固训练】(2015·郑州模拟)若数列{an}是1,1+++…+

,,…,

,…,则数列{an}的前n项和Sn= .

=

【解析】an=1+++…+=2所以Sn=2=2

,

=2=2n-2+

.

=2

答案:2n-2+

8.(2015·厦门模拟)设f(x)是定义在R上恒不为零的函数,且对任意的x,y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y),若a1=,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是 .

【解析】由已知可得a1=f(1)=,a2=f(2)=[f(1)]2=a3=f(3)=f(2)〃f(1)=[f(1)]3=所以Sn=+=

=1-+

+…+

,

,

,…,an=f(n)=[f(1)]n=

,因为n∈N*,

所以≤Sn<1. 答案:

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.(2015·洛阳模拟)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.

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(1)求an及Sn. (2)令bn=

(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.

?a3?a1?2d?7,

?a5?a7?2a1?10d?26,【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,则由已知得?解得??a1?3,所以an=3+2(n-1)=2n+1, d?2.?Sn=3n+×2=n2+2n.

(2)由(1)知an=2n+1,

即数列{bn}的前n项和Tn=

.

【误区警示】(1)在解答本题时有两点容易造成失分:

①利用方程的思想联立求解在计算上容易出现失误,不能准确求出首项a1和公差d;

②在求解数列{bn}的前n项和时,不能熟练准确地利用裂项方法.

(2)解决等差数列问题时,还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注: ①对通项公式与前n项和公式记忆错误; ②基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确;

③判断一个数列是否为等差数列时,易忽略验证第一项.

【加固训练】(2015·漳州模拟)在数列{an}和{bn}中,已知a1=2,a2=6,

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an+2an=3(n∈N*),bn=,

(1)求证:数列{bn}是等比数列. (2)求数列{an}的通项公式. (3)若pn=

,Sn为数列{pn}的前n项和,求Sn.

(n∈N*), =3,

【解析】(1)因为an+2an=3所以

=

=

=

所以数列{bn}是以3为公比的等比数列. (2)由(1)可得到bn=b1qn-1=qn-1=×3n-1=3n, 所以bn=所以=31, =32, =33, ……

=3n-1,

所以×××…×所以=31+2+3+…+(n-1)=

=31×32×33×…×3n-1, .

=2×

.

=3n,

又因为a1=2,所以an=a1×(3)由(2)得:an=2×所以pn==

=-=,

,

=

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所以Sn=p1+p2+p3+…+pn =

+

+

+…+

=2-=

.

10.(2014·安徽高考)数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*. (1)证明:数列{}是等差数列. (2)设bn=3n·

,求数列{bn}的前n项和Sn.

【解析】(1)由已知可得

所以{}是以1为首项,1为公差的等差数列. (2)由(1)得=1+(n-1)=n, 所以an=n2,从而bn=n〃3n,

Sn=1〃31+2〃32+3〃33+…+n〃3n, ①

3Sn=1〃32+2〃33+3〃34+…+(n-1)〃3n+n〃3n+1.② ①-②可得-2Sn=31+32+33+…+3n-n〃3n+1 =

-n〃3n+1=

【加固训练】已知数列{an}是首项为a1=,公比为q=的等比数列,设bn+2=3lo

an(n∈N*),数列{cn}满足cn=an·bn.

(1)求数列{bn}的通项公式. (2)求数列{cn}的前n项和Sn. 【解析】(1)由题意,知an=又bn=3lo

an-2,

(n∈N*),

故bn=3n-2(n∈N*).

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(2)由(1),知an=bn=3n-2(n∈N*), 所以cn=(3n-2)×所以Sn=1×+4×于是Sn=1×

,

(n∈N*). +7×

+7×+

+…+(3n-5)×

+…+(3n-5)×+…+

-(3n-2)×

+(3n-2)×+(3n-2)×

,

.

+4×

两式相减,得Sn=+3=-(3n+2)×所以Sn=-×

.

(n∈N*).

(20分钟 40分)

1.(5分)(2015·重庆模拟)已知数列{an}:,+,++,…,+++…+,…,那么数列{bn}=A.

B.

的前n项和Sn为 ( )

C.

D.=,所以bn=

=

=4(-),

【解析】选B.an=

2.(5分)已知数列2008,2009,1,-2008,-2009,…,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2015项之和S2015等于

( )

A.2008 B.2010 C.1 D.0 【解析】选C.由已知得an=an-1+an+1(n≥2), 所以an+1=an-an-1.

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故数列的前8项依次为2008,2009,1,-2008,-2009,-1,2008,2009. 由此可知数列为周期数列,周期为6,且S6=0.

因为2015=6×335+5,所以S2015=S5=2008+2009+1+(-2008)+(-2009)=1.

【加固训练】在数列{an}中,a1=1,an+1=(-1)n(an+1),记Sn为{an}的前n项和,则S2015= .

【解析】由a1=1,an+1=(-1)n(an+1)可得a1=1,a2=-2,a3=-1,a4=0,该数列是周期为4的数列,a2013=a1=1,a2014=a2=-2,a2015=a3=-1,所以S2015=503(a1+a2+a3+a4)+a2013+a2014+a2015 =503×(1-2-1+0)+1-2-1=-1008. 答案:-1008

【方法技巧】数列求和的思路

(1)等差数列和等比数列的前n项和公式是求和的基础.一般数列的求和问题往往通过变形整理,转化为这两类特殊数列的和的问题.例如,一类特殊数列的求和通过倒序相加法或错位相减法变形后,就可以转化为这两类数列的求和问题. (2)观察数列的特点是变形的基础.给定的数列有其自身的特点和规律,根据数列的特点和规律选择合适的方法变形是解题的突破口.

3.(5分)已知定义在R上的函数f(x)=ax(0

【解析】选B.由f(1)+f(-1)=,得a+a-1=,即a+=,解得a=2(舍去)或a=, 则数列{f(n)}是首项为a1=,公比q=的等比数列, 所以Sn=由1-=得

=×

=,

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=1-,

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解得n=5,故选B.

4.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn=3n,数列{bn}满足b1=-1,bn+1=bn+(2n-1)(n∈N*).

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式. (2)若cn=

,求数列{cn}的前n项和Tn.

【解析】(1)因为Sn=3n,所以Sn-1=3n-1(n≥2), 所以an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1(n≥2). 当n=1时,2×31-1=2≠S1=a1=3,

?3,n?1,所以an=? n?12?3,n?2.?又因为bn+1=bn+(2n-1),

所以b2-b1=1,b3-b2=3,b4-b3=5,…,bn-bn-1=2n-3. 以上各式相加得 bn-b1=1+3+5+…+(2n-3)=因为b1=-1,所以bn=n2-2n.

?3,n?1,2

所以数列{an}的通项公式为an=?数列{b}的通项公式为b=n-2n. nnn?12?3,n?2,?=(n-1)2.

???3,n?1,(2)由题意得cn=? n?1??2?n?2??3,n?2.当n≥2时,Tn=-3+2×0×31+2×1×32+2×2×33+…+2(n-2)×3n-1, 所以3Tn=-9+2×0×32+2×1×33+2×2×34+…+2(n-2)×3n, 相减得-2Tn=6+2×32+2×33+…+2×3n-1-2(n-2)×3n. 所以Tn=(n-2)×3n-(3+32+33+…+3n-1) =(n-2)×3n-=

.

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【加固训练】已知数列{an}和{bn},数列{an}的前n项和记为Sn.若点(n,Sn)在函数y=-x2+4x的图象上,点(n,bn)在函数y=2x的图象上. (1)求数列{an}的通项公式. (2)求数列{anbn}的前n项和Tn. 【解析】(1)由已知得Sn=-n2+4n, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+5. 又当n=1时,a1=S1=3,也符合上式, 所以an=-2n+5. (2)由已知得bn=2n,

结合(1)可得anbn=(-2n+5)2n,

所以Tn=3×21+1×22+(-1)×23+…+(-2n+5)2n ①, 2Tn=3×22+1×23+(-1)×24+…+(-2n+5)2n+1 ②, ②—①可得

Tn=-6+(23+24+…+2n+1)+(-2n+5)2n+1 =

+(-2n+5)2n+1-6

=(-2n+7)2n+1-14.

5.(13分)(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1. (1)证明{an+}是等比数列,并求{an}的通项公式. (2)证明:++…+<.

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【解题提示】(1)将an+1=3an+1进行配凑,得“an+1+”与“an+”的关系,得证,然后求得{an}的通项公式.

(2)求得{}的通项公式,然后证得不等式. 【解析】(1)因为a1=1,an+1=3an+1,n∈N*. 所以an+1+=3an+1+=3(an+).

所以{an+}是首项为a1+=,公比为3的等比数列. 所以an+=,所以an=(2)=

.

.

=1,当n>1时,

【加固训练】等差数列{an}的首项a1=3,且公差d≠0,其前n项和为Sn,且a1,a4,a13分别是等比数列{bn}的b2,b3,b4项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式. (2)证明:≤++…+<. 【解析】(1)设等比数列的公比为q, 因为a1,a4,a13分别是等比数列{bn}的b2,b3,b4, 所以(a1+3d)2=a1(a1+12d). 又a1=3,所以d2-2d=0,

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所以d=2或d=0(舍去). 所以an=3+2(n-1)=2n+1.

等比数列{bn}的公比为==3,b1==1. 所以bn=3n-1. (2)由(1)知Sn=n2+2n. 所以=

=

,

所以++…+ ===-因为所以-+

<. ≤+=,

≥,

所以≤++…+<.

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