割圆术及极限方法

割圆术及极限方法

第三讲 割圆术及极限方法

实验目的

1．介绍刘徽的割圆术．

2．理解极限概念.

3．学习matlab求函数极限命令。

实验的基本理论及方法

1．割圆术

中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率．刘微先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积，其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积． “割之弥细，所失弥少．割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想．

刘徽先将直径为2的圆分割为6等分，再分割成12等分，24等分，...，这样继续下去，并利用勾股定理计算其面积，从而求出圆周率的近似值，他一直计算到圆内接正192边形的面积。

2．斐波那奇数列和黄金分割

,,

3．学习matlab命令.

matlab求极限命令可列表如下:

表2.1

割圆术及极限方法

matlab代数方程求解命令solve调用格式.

Solve(函数

4．理解极限概念.

数列收敛或有极限是指当无限增大时，与某常数无限接近或趋向) 给出的根. 于某一定值，就图形而言，也就是其点列以某一平行与轴的直线为渐近线. 例2.1.观察数列

解:输入命令:

>>n=1:100；xn=n./(n+1) 当时的变化趋势.

得到该数列的前100项，从这前100项看出，随的增大，

画出的图形.

stem(n，xn)

或

for i=1:100;

plot(n(i),xn(i),’r’)

hold on

end 与1非常接近，

其中for … end语句是循环语句,循环体内的语句被执行100次,n(i)表示n的第i个分量.由图可看出，随的增大，点列与直线无限接近，因此可得结论:

割圆术及极限方法

.

对函数的极限概念，也可用上述方法理解.

例2.2.分析函数解:

画出函数在，当上的图形. 时的变化趋势.

>>x=-1:0.01:1;y=x.*sin(1./x);plot(x,y) 从图上看，次振荡.作出随着的减小，振幅越来越小趋近于0，频率越来越高作无限的图象.

hold on；plot(x，x，x，-x)

例2.3.分析函数解:输入命令: 当时的变化趋势.

>>x=-1:0.01:1;y=sin(1./x);plot(x,y) 从图上看，当时，在-1和1之间无限次振荡，极限不存在.仔细观察该图象，发现图象的某些峰值不是１和-１，而我们知道正弦曲线的峰值是１和-１，这是由于自变量的数据点选取未必使

加数据点，比较它们的结果． 取到１和-１的缘故，读者可试增

例2.4.考察函数解:输入命令: 当时的变化趋势.

>>x=linspace(-2*pi,2*pi,100);y=sin(x)./x;plot(x,y) 从图上看，在附近连续变化，其值与1无限接近，可见

.

割圆术及极限方法

例2.5.考察解:输入命令: 当时的变化趋势.

>>x=1:20:1000;y=(1+1./x).^x;plot(x,y) 从图上看，当5．求函数极限 时，函数值与某常数无限接近，我们知道，这个常数就是.

例2.6.求. 解:输入命令:

>>syms x;f=1/(x+1)-3/(x^3+1);limit(f,x,-1) 得结果ans=-1.画出函数图形. >>ezplot(f);hold on;plot(-1,-1,’r.’) 例2.7.求

解:输入命令:

>>limit((tan(x)-sin(x))/x^3)

得结果:ans=1/2

例2.8.求

解:输入命令:

>>limit(((x+1)/(x-1))^x,inf)

得结果:ans=exp(2)

例2.9.求

解:输入命令:

割圆术及极限方法

>>limit(x^x,x,0,’right’)

得结果:ans =1

例2.10.求

解:输入命令:

>>limit((cot(x))^(1/log(x)),x,0,’right’) 得结果:ans=exp(-1)

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