高考数学经典试题

高考数学经典试题

1. 下表给出一个“等差数阵”：

4 7 7 12 （ ） （ ） （ ） ?? （ ） （ ） （ ） ?? a1j aaa?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ij2j （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ?? （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ?? ?? ai1 3j4j?? ai2 ?? ai3 ?? ai4 ?? ai5 ?? ?? ?? ?? aij ?? ?? ?? ?? ?? ?? 其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．（1）写出a45的值； （2）写出a的计算公式；（３）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．讲解 学会按步思维，从图表中一步一步的翻译推理出所要计算的值．

（1） 按第一行依次可读出：a13?10,a14?13，a15?16；按第一行依次可读出：a23?17,a24?22，

a25?27；最后，按第５列就可读出：a35?38,a45?49．

（２）因为该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列，所以它的通项公式是：

?4?3(j?1) a而第二行是首项为7，公差为5的等差数列，于是它的通项公式为： 1j?7?5(j?1) a ?? 通过递推易知，第i行是首项为4的等差数i?1?3(i?1)，公差为22j列，故有aij?4?3(i?1)?(2i?1)(j?1)?i(2j?1)?j.

（３）先证必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得Ni．从而 ?(2j?1)?j，这说明正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之(2i?1)(2j?1)2N?1?2i(2j?1)?2j?1?积．再证充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数

k，l，使得2N?1?(2k?1)(21l?)，从而

，由此可见N在该等差数阵中．综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是N?kl(21?)?l?akl2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.

2. 求?xy?lg?4x?4????yy?2x?3?? ??3,?1???1,??? 。

223. “渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数（如2578），在二位的“渐升数”中任取一数比

1

37大的概率是

1736 。

1x4. 函数y?ax?a?1?及其反函数的图象与函数y?的值等于_________。 (a?的图象交于A、B两点，若AB?22，则实数a?2?1?2?1)

5. 从装有n?1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球?0?m?n,m,n?N?，共有Cnm?1种取法。在这Cnm?1种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，共有C10?Cnm种取法；另一类是取出的m个球有m?1个白球和1个黑球，共有C11?Cnm?1种取法。显然

C1?Cn?C1?Cn0m1m?1?Cn?1，即有等式：Cn?Cn2m?2mmm?1?Cn?1成立。试根据上述思想化简下列式子：

mCn?Ck?Cnm1m?1?Ck?Cn???Ck?Cnkm?k? Cn?k ?1?k?m?n,k,m,n?N?。

m6. 某企业购置了一批设备投入生产，据分析每台设备生产的总利润y（单位：万元）与年数x?x?N?满

足如图的二次函数关系。要使生产的年平均利润最大，则每台设备应使用 （ C ）

（A）3年 （B）4年 （C）5年 （D）6年

7. （14分）已知函数f(x)?x?k?k?22

?k?Z?，且f(2)?（2）试判断是否存在正f(3)（1）求k的值；

??17?。若存在，求出这个8??数p，使函数g(x)?1?p?f(x)??2p?1?x在区间??1,2?上的值域为??4,p的值；若不存在，说明理由。

222解：（1）∵f(2)?f(3)，∴?k?k?2?0，即k?k?2?0，∵k?Z，∴k?0或1（2）f(x)?x，

2?2p?1?4p?12p?1?1?2?g(x)?1?p?x??2p?1?x??p?x??；当，即????1,2p?,???时，???2p?4p2p?4??224p?14p?178,p?2,g(?1)??4,g(2)??1；当

2p?12p??2,???时，∵p?0，∴这样的p不存在。当

2p?12p17?1?,g(2)??4，这样的p不存在。综上得，????,?1?，即p??0,?时，g(?1)?84??2p? 。

28. （14分）如图，设圆?x?2??y?3的圆心为C，此圆和

2

抛物线y2?px?p?0?有四个交点，若在x轴上方的两个交 点为A、B，坐标原点为O，?AOB的面积为S。 （1） 求P的取值范围；

（2） 求S关于P的函数f(p)的表达式及S的取值范围； （3） 求当S取最大值时，向量CA,CB的夹角。

解：（1）把 y2?px 代入?x?2??y2?3 得 x2??p?4?x?1?0

2?p2?8p?12?0???0?? 由 ?x1?x2?0， 得 ?4?p?0 ，即 p??0,2?

?x?x?0?p?0?12? （2）设Ax1,px1??px1,Bx2,??px2，AB的方程：y?px1?x2?px1?px1?x1?x2px1?px2?x?x1?

?x2?x?x1?， 即

x?y?px1?x2x1?0

即 px??x1?x2y?p6P6??px1x2?0， 即

p?x?6?p?y?p?0

2 点O到AB的距离d?，又AB??x1?x2?21?p???x1?x2??12?6p

∴S?12?12?6P?12P?2?P??， 即 S??0,?

2?2?5?1??3?5?,B?,?2?2??5?1?? 2??1??3?52S （3）取最大值时，P?1，解方程x?3x?1?0，得A?,?2? CA??????5?12?,?5?15?1?,CB?,??2??25?1??，CA?CB??1?1?0 2? ∴向量CA,CB的夹角的大小为90?。

9. （16分）前段时期美国为了推翻萨达姆政权，进行了第二次海湾战争。据美军估计，这场以推翻萨达

姆政权为目的的战争的花费约为540亿美元。同时美国战后每月还要投入约4亿美元进行战后重建。但是由于伊拉克拥有丰富的石油资源，这使得美国战后可以在伊获利。战后第一个月美国大概便可赚取约10亿美元，只是为此美国每月还需另向伊交纳约1亿美元的工厂设备维护费。此后随着生产的恢复及高速建设，美国每月的石油总收入以5000的速度递增，直至第四个月方才稳定下来，但维护费

还在缴纳。问多少个月后，美国才能收回在伊的“投资”？

解：设n个月后，美国才能收回在伊的“投资”，则10[1?1.5?1.5?1.5?n?3?]?n?540?4n

23 即28.75n?593.75，n?20.65，即21个月后，美国才能收回在伊的“投资”。

3

10. 数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,?的第2004项是____________。63 11. 在等比数列{an}中，a1?2010，公比q??的值为____________。8 12. 设函数f(x)?a|x|?bx(a,b为常数），且①f(?2)?0；②f(x)有两个单调递增区间，则同时满足上

,4t)(t?0)13，若bn?a1a2a3???an(n?N)，则bn达到最大时，n述条件的一个有序数对(a,b)为______________。满足(tC2有且仅有两个不同交点”的 A

的任一组解均可

13. 已知两条曲线C1:x2?y2?1,C2:ax2?bxy?x?0（a,b不同时为0）.则“a2?b2?1”是“C1与(A)充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 14. 已知二次函数f(t)?at2?A?{x|x?axbt?14a(t?R)有最大值且最大值为正实数，集合

?0}，集合B?{x|x2?b2}。

（1）求A和B；

（2）定义A与B的差集：A?B?{x|x?A且x?B}。

设a，b，x均为整数，且x?A。P(E)为x取自A?B的概率，P(F)为x取自A?B的概 率，写出a与b的三组值，使P(E)?2313，P(F)?，并分别写出所有满足上述条件的a（从

大到小）、b（从小到大）依次构成的数列{an}、{bn}的通项公式（不必证明）； （3）若函数f(t)中，a?an，b?bn

（理）设t1、t2是方程f(t)?0的两个根，判断|t1?t2|是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应

的值；若不存在，请说明理由。

（文）写出f(t)的最大值f(n)，并判断f(n)是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应

的值；若不存在，请说明理由。

（1）∵

f(t)?at2?bt?14a(t?R)有最大值，∴a?0。配方得

。

f(t)?a(t?b2a)?21?b4a，由14?ab?0?b?1。

∴A?{x|a?x?0}23，B?{x|?b?x?b} （2）要使P(E)?，P(F)?1。可以使①A中有3个元素，A?B中有2个元素， A?B中有1个元素。 3则a??4,b?2。②A中有6个元素，A?B中有4个元素， A?B中有2个元素。则a??7,b?3。

an??3n?1,bn?n?1。③A中有9个元素,A?B中有6个元素,A?B中有3个元素。则a??10,b?4。

（3）（理） ∵9n? 又

n??f(t)?01n，得?1n?bn?1?0。g(n)?|t1?t2|?(t1?t2)?4t1t2?2bn?1an2?n9n?6n?12?19n?1?6n，

14?29n??6，当且仅当n?13时等号成立。∴g(n)在N上单调递增。|t1?t2，又

|max?g(1)?。

limg(n)?01?bn4an，故没有最小值。

n12n?4 （文）∵g(n)????112?4n单调递增，∴

f(n)min?f(1)?14limf(n)?n??112，∴没有最大值。

15. 把数列???的所有数按照从大到小，左大右小的原则写成如下数表： 2n?1??k?11111351111111129791113第k行有2个数，第t行的第s个数（从左数起）记为A?t,s?，

1287则A?8,17??

。

151719???16. 我边防局接到情报，在海礁AB所在直线l的一侧点M处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速派

出快艇前去搜捕。如图，已知快艇出发位置在l的另一侧码头P处，PA?8公里，PB?10公里，

?APB?60?。

4

（1）（10分）是否存在点M，使快艇沿航线P?A?M或P?B?M的路程相等。如存在，则建立适当的直角坐标系，求出点M的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形；如不存在，请说明理由。

（2）（4分）问走私船在怎样的区域上时，路线P?A?M比路线P?B?M的路程短，请说明理由。

解：（1）建立直角坐标系（如图），MA?MB?2，

点M的轨迹为双曲线的一部分，

AB?64?100?80?221，

21,b2即a?1,c??20

点M的轨迹方程为x?2y220?1?x?1,y?0?

（2）走私船如在直线l的上侧且在（1）中曲线的左侧的区域时，

路线P?A?M的路程较短。

理由：设AM的延长线与（1）中曲线交于点N， 则PA?AN?PB?BN

PA?AM?PA?AN?MN?PB?BN?MN ?PB?BM

17. 已知函数f(x)对任意的整数x,y均有f(x?y)?f(x)?f(y)?2xy，且f(1)?1。 （1）（3分）当t?Z，用t的代数式表示f(t?1)?f(t)； （2）（理）（10分）当t?Z，求f(t)的解析式； （文）（ 6分）当t?N，求f(t)的解析式；

（3）如果x???1,1?,a?R，且?f(1)?2??f(2)?2????f(2003)?2??f(2004)?2?a恒成立， 求a的取值范围。（理5分；文9分）

解：（1）令x?t,y?1,f(t?1)?f(t)?f(1)?2t,f(t?1)?f(t)?1?2t （2）（理）当t?Z?xxxx??0?时，f(0)?0,f(1)?f(0)?1,f(2)?f(1)?3,?,f(t)?f(t?1)?2t?1，

2 上述各式相加，得f(t)?t

当t?Z时，f(0)?f(?1)??1,f(?1)?f(?2)??3,f(?2)?f(?3)??5,?, f(t?1)?f(t)?2t?1??[2(?t)?1]

上述各式相加，得?f(t)??(?t)，即f(t)?t 综上，得t?Z,f(t)?t。

2 （文）t?N， f(t)?t

222? 5

36. 如图，已知多面体ABC—DEFG中，AB、AC、AD两两

互相垂直，平面ABC//平面DEFG，平面BEF//平面ADGC， AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则该多面体的体积为（ Ｂ ） A．2 C．6

37. （如图）正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1

及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹 是 （ A ） A．线段B1C B．线段BC1

C．BB1中点与CC1中点连成的线段 D．BC中点与B1C1中点连成的线段

22

B．4 D．8

?2，一条

38. （理）已知双曲线xa?yb22?1的离心率e

准线方程为x?22，直线l与双曲线右支及双曲线的渐

近线交于A、B、C、D四点，四个点的顺序如图所示. （Ⅰ）求该双曲线的方程；

（Ⅱ）求证：|AB|=|CD|；

（Ⅲ）如果|AB|=|BC|=|CD|，求证：△OBC的面积为定值.

（文）已知函数y?f(x)?ax其中b∈N且f(1)?522?1bx?c(a,b,c?R,a?0,b?0)

是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，

.

（Ⅰ）试求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）问函数f(x)图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标;若不存在，说

明理由.

caa2（理）解（Ⅰ）由已知

?2,c?22.?a?1,c?2.

∴所求双曲线的方程x2－y2=1??????????????????2分

（Ⅱ）解法一

y设l:x=my+b,(m≠±1) 由??y由????xb1?m?x?x?my?b,?b得A(b1?m,?b1?m).

?x?my?b得D(1?m).

?AD中点坐标为(b1?m2,bm1?m2)??????????????????4分

11

?x2?y2?1222由?得(m?1)y?2mby?b?1?0?x?my?b?BC中点坐标为(b1?m2?y1?y2?2mb1?m2

,bm1?m2)??????????????????6

分

∴AD中点与BC中点为同一点，又A、B、C、D四点共线，∴|AB|=|CD|.??7分 解法二：

当l倾斜角为90°时，设l:x=m,(m>1).

?A(m,m),D(m,?m),B(m,m?1),C(m,?m?1)?|AB|?|m?22m?1|?|CD|.??3

2分

当l倾斜角不是90°时，设l:y=kx+b,(k≠±1).

?y?xbb得A(,).?y?kx?b1?k1?k?y由????xbb

bk1?k2?y?kx?b得D(?1?k1?k,).?AD中点坐标为(,b1?k2).????4分

?x2?y2?12bk2222由?得(1?k)x?2bkx?b?1?0.(1?k?0)?x1?x2?. 21?k?y?kx?b?BC中点坐标为(bk1?k2,b1?k2).???????????????????6

分

∴AD中点与BC中点为同一点，又A、B、C、D四点共线，∴|AB|=|CD|.??7分 （Ⅲ）设A(a,a) D(b,－b) a>0, b>0 ∵|AB|=|BC|=|CD|

?xc?a?2b1?2?13(a?2b)yc?a?2b1?2?13(a?2b)

a?2ba?2b,)?????????????????????????9分 33a?2b2a?2b29)?()?1?ab??????11分 ∴点C在双曲线上 ?(338即C( 又S?OBC?13S?OAD?111?|OA|?|OD|?3262a?2b?13ab?38?????13分

∴△OBC的面积为定值.

（文）（Ⅰ）∵f(x)是奇函数 ∴f(―x)=―f(x)

即ax2?1bx?c??ax2?1?bx?c?bx?c?bx?c.?c?0????????2分

?a?0,b?0?f(x)?ax2?1bx?abx?1bx?2ab2，????????4分

当且仅当，x?1a时，等号成立.于是22ab2?2?a?b???????6分

2由f(1)?52得a?1b?c?52即b?1b?52?2b?5b?2?0

2 12

解得

12?b?2.1x又b?N?b?1a?1

?f(x)?x?????????????????????????????8分

（Ⅱ）设存在一点(x0,y0)在y=f(x)图象上,并且关于(1,0)的对称点

(2?x0、y0)也在y=f(x)图象上，???????????????????9分

x0?1x022 则

?y0(2?x0)?12?x02??y0????????????????11分

消y0得x0?2x0?1?0.?y?f(x)图象上存在两点x0?1?(1?22,?22)关于点

2,22),(1? （1，0）对称????????????????????????????13分 39. 对于函数f(x)=ax2+bx+c（a≠0）作代换x=g（t），则不改变函数f(x)的值域的代换是

A．g（t）=2t B．g(t)=|t|

34

C．g(t)=sint D．g(t)=log2t yb22 Ｄ

40. 若将离心率为的椭圆

xa22??1(a?b?0)绕着它的左焦点按逆时针方向旋转

?2 后，所得新椭

圆的一条准线方程是3y+14=0，则新椭圆的另一条准线方程是 Ｃ

A．3y?14?0 C．3y?50?0

B．3y?23?0

D．3y?32?0

41. 数列满足条件： ①任意连续二项的和大于零；②任意连续三项的和小于零.

则这样的数列最多有 项. 3

42. 设数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足关系

3tSn?(2t?3)Sn?1?3t(t?0,n?2,3,4?).

（Ⅰ）求证：数列{an}是等比数列；

1bn?1（Ⅱ）设数列{an}的公比是f（t）作数列{bn}，使b1?1,bn?f()(n?2,3,4,?)

求bn及lim

lganbnn??;

n?1（Ⅲ）求和：B20?b1b2?b2b3?b3b4???(?1)bnbn?1.

（I）证明：由已知得3tSn?1?(2t?3)Sn?2?3t(t?3,4,?)减去已知式，化得由已知式及a=1得a?2t?33t.?a2a1?2t?33t.anan?1?2t?33t.当n=2时，

2 13

数列{an}是以

2b1?1,bn?bn?13bn?11为首项，

2t?33t为公比的等比数列.（4分）（II）解：

23?3?23是以1为首项，

?bn?1.??bn?为公差的等差数列

bn?1?(n?1)23?2n?1332k?1又an?(2t?33t)n?1,?limlganbnlg(?limn??2t?3n??3t2n?13)n?1?（III）解：

lim3(n?1)2n?1k?1n??lg2t?33t?lg2t?33t.(9分)?(?1)bkbk?1?(?1)9(2k?1)(2k?3).当k为偶数时，

1949(?1)k?2bk?1bk?(?1)k?1bkbk?1?19(2k?1)(2k?1)?(2k?1)(2k?3)??(2k?1)

当n为偶数时，将相邻两项配对，则B当n为奇数时，

n??49[5?9?13???(2n?1)]??29n(n?3);

Bn?Bn?1?bnbn?1??

?2?x?a43. 设f(x)???f(x?1)29(n?1)(n?2)?19(2n?1)(2n?3)?2n?6n?792.（14分）

x?0x?0， 若f(x)?x有且仅有两解，则实数a的取值范围是：a?2

44.

A

14

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