4-2第二节 平面向量基本定理及其坐标运算练习题（2015年高考总复

第二节 平面向量基本定理及其坐标运算

时间：45分钟 分值：75分

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

→＝2PC→，点Q是AC的中1．在△ABC中，点P在BC上，且BP→→＝(1,5)，则BC→等于( ) 点，若PA＝(4,3)，PQ

A．(－2,7) C．(2，－7)

B．(－6,21) D．(6，－21)

→＝3PC→＝3(2PQ→－P→→－3P→解析 BCA)＝6PQA＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．

答案 B

2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，且2a＋3b＝( )

A．(－2，－4) C．(－4，－8)

B．(－3，－6) D．(－5，－10)

解析 由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)?m＝－4，从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．

答案 C

→＝a，OB→＝b，OC→＝c，3．(2014·昆明模拟)如右图所示，向量OA→＝－3CB→，则( ) A，B，C在一条直线上，且AC

1

13

A．c＝－2a＋2b 31

B．c＝2a－2b C．c＝－a＋2b D．c＝a＋2b

→＝－3CB→，∴OC→－OA→＝－3(OB→－OC→)． 解析 ∵AC

→＝－1OA→＋3OB→，即c＝－1a＋3b. ∴OC2222答案 A

→同方向4．(2013·辽宁卷)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB的单位向量为( )

34

A．(5，－5) 34C．(－5，5)

43B．(5，－5) 43

D．(－5，5) 3→→→解析 AB＝(3，－4)，则|AB|＝5，所以与AB同向的单位向量为(5，4

－5)．

答案 A

5．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则m的取值范围是( )

A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)

2

3m－2

解析 由题意知向量a，b不共线，故m≠2， 解得m≠2. 答案 D

6．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，→＝a，AC→＝b，则AD→＝( ) ∠BCD＝135°，记向量AB

?2?

?A.2a－1＋?b

2???2?

B．－2a＋?1＋?b

2???2??C．－2a＋1－?b

2???2?

D.2a＋?1－?b

2??

解析 根据题意可得△ABC为等腰直角三角形，由∠BCD＝135°，得∠ACD＝135°－45°＝90°，以B为原点，AB所在直线为x

3

轴，BC所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE⊥y轴2

于点E，则△CDE也为等腰直角三角形，由CD＝1，得CE＝ED＝2，

?22?则A(1,0)，B(0,0)，C(0,1)，D?，1＋?，

2??2

?22?→→→→→??.令AD＝λAB∴AB＝(－1,0)，AC＝(－1,1)，AD＝－1，1＋2??2

→， ＋μAC

?

则有?2

μ＝1＋?2，

答案 B

2

－λ－μ＝2－1，

?λ＝－2，得?2?μ＝1＋2.

?2?→?∴AD＝－2a＋1＋?b.

2??

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

x??

7．已知向量a＝?8，2?，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋

?

?

b)，则x＝________.

x??

??8－2x，－2解析 a－2b＝2?，2a＋b＝(16＋x，x＋1)， ?

?x?

由题意得(8－2x)·(x＋1)＝?2－2?·(16＋x)，

?

?

整理得x2＝16，又x>0，所以x＝4. 答案 4

8．已知n＝(a，b)，向量n与m垂直，且|m|＝|n|，则m的坐标为________．

解析 设m的坐标为(x，y)， 由|m|＝|n|，得x2＋y2＝a2＋b2.①

4

由m⊥n，得ax＋by＝0.②

???x＝b，?x＝－b，

解①②组成的方程组得?或?

???y＝－a?y＝a.

故m的坐标为(b，－a)或(－b，a)． 答案 (b，－a)或(－b，a)

→＝(1，－3)，OB→＝(2，－1)，OC→＝(k＋1，k－2)，9．已知向量OA

若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．

→，AC→不共线． 解析 若点A，B，C能构成三角形，则向量AB→＝OB→－OA→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， ∵AB

→＝OC→－OA→＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)， AC

∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1. 答案 k≠1

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)． (1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式； →＝2AB→，求点C的坐标． (2)若AC

→＝(2，－2)，AC→＝(a－1，b－1)， 解 (1)由已知得AB

→∥AC→， ∵A，B，C三点共线，∴AB∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.

→＝2AB→，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)， (2)∵AC

???a－1＝4，?a＝5，

∴?解得? ???b－1＝－4，?b＝－3.

∴点C的坐标为(5，－3)．

5

→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝3，∠AOB＝60°→⊥OC→，11．如右图，|OA，OB→＝xOA→＋yOB→.求x，y的值． 设OC

解

→过C作CD∥OB，交OA的反向延长线于点D，连接BC，由|OB→|＝3，OB→⊥OC→，得∠OCB＝30°|＝1，|OC.又∠COD＝30°，∴BC∥→＝OD→＋OB→＝－2OA→＋OB→.∴x＝－2，y＝1. OD，∴OC

12．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(2,1)，A(1,0)，B(cosθ，t)，

→，且|AB→|＝5|OA→|，求向量OB→的坐标； (1)若a∥AB

→，求y＝cos2θ－cosθ＋t2的最小值． (2)若a∥AB

→＝(cosθ－1，t)， 解 (1)∵AB

→，∴2t－cosθ＋1＝0，∴cosθ－1＝2t.① 又a∥AB

→|＝5|OA→|，∴(cosθ－1)2＋t2＝5.② 又∵|AB

由①②得，5t2＝5，∴t2＝1.∴t＝±1. 当t＝1时，cosθ＝3(舍去)； 当t＝－1时，cosθ＝－1.

6

→＝(－1，－1) ∴BO

cosθ－1(2)由(1)可知t＝2，

2

?cosθ－1?

2∴y＝cosθ－cosθ＋4

＝5314cos2θ－2cosθ＋4 ＝5?

26?14??

cosθ－5cosθ??

＋4 ＝5?

3?4??

cosθ－5?21?－5， ∴当cosθ＝315时，ymin＝－5. 7

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