泰勒公式在若干数学分支中的应用

泰勒公式在若干数学分支中的应用

周小哲

(渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国)

摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，是拉格朗日中值定理的一个推广，它包含了丰富的数学思想，包括：整体与部分，具体与抽象，近似与精确，虚与实，确定与不确定，已知与未知，一与多，变化与静止，简单与复杂的辨证关系，因此它为复杂的计算问题打开了简易之门，并且在数学、物理、经济等领域均有广泛的应用。本文章阐述了泰勒公式在各种数学分支的应用，并做了详细的归纳。例如本文介绍了泰勒公式在函数极限、函数极值、不等式证明、级数与无穷积分敛散性的判断、定积分的计算等几个重要方面的具体应用，除此之外还对行列式计算、函数值的近似计算与误差估计以及金融数学债券定价作了介绍。由于泰勒公式的种种特殊性质，使泰勒公式在许多领域都有广泛的应用前景和推广价值，这无疑会给解决高等数学问题带来极大的方便。

关键词：数学分析 泰勒公式 极限 应用

Taylor Formula in certain mathematics branch application

Zhou Xiao zhe

(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract:The Taylor formula is in a mathematical analysis important formula,is a Lagrange theorem of mean promotion.It has contained the rich mathematics thought,including:Whole and part,concrete and abstract,approximate and precise,empty and solid,the determination and indefinite,known and unknown,one and many,change and static,simple and complex dialectical relations,so it has opened up the door of facility for difficult actuarial problem.It has very widely applications at mathematics,physics and economy domain.The text mainly expouds taylor formula’s applications in sloving mathematics problem,and give reader particular sum up.Example the text mainly introduce taylor formula’s application in limit of function,extreme value of function,proved some the inequality, The progression and the infinite integral collect the divergencejudgement, Definite integral computationIn addition, but also to the determinant computation, the functionvalue approximate calculation and the error estimate as well as thefinancial mathematics bond fixed price has made the introduction. Because Taylor formula all sorts of special nature, enable the Taylorformula all to have the widespread application prospect and thepromoted value at many domains, this can give the solution highermathematics question without doubt to bring enormous convenient.

Key word: Mathematical analysis Taylor formula limit application

引言

不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似表示一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便，一般说来，

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在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算，如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对统一计算与证明等一系列问题都有重要意义。

泰勒公式在各个数学分支中都起着无与伦比的作用，也为数学领域的许多问题开辟了道路，其实践意义是非常巨大的。

在代数中，有关利用代数知识计算行列式的方法很多，但应用微积分的方法计算行列式极为少见，本文从泰勒公式入手，引入利用泰勒公式展开式计算行列式的方法，以之丰富行列式的计算方法。

在数学分析中，运用泰乐公式求极限有时会令较为繁琐的求解过程转化为简单明了的求解方法，除此之外，泰勒公式在函数极值、级数与无穷积分敛散性的判断、定积分的计算等方面也有重要意义。

在高等数学中，常常要证明一些不等式，应用泰勒公式证明不等式很方便，在欲证明的不等式中含有一阶以上导数一般可用泰勒公式，特别是在一直某点的函数值（或导数值）的情况。

另外，在金融数学中，自20世纪90年代以来，VaR模型被广泛采用，在此模型中常见的计算方法——参数法就是由资产价值函数的泰勒展开来计算的。并且泰勒公式在债券定价中也发挥着不可替代的作用，它促进了分析问题，解决问题及综合运用知识能力的提高。

一、泰勒公式

首先，由导数定义可知函数f在点x0处可导，则有

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f'?x0??limf?x??f?x0?x?x0?x?0 （1）

若limx?x0f?x??0，则称当x?x0时f为g的高阶无穷小量。记作：g?x?f?x????g?x???x?x0?

由（1）式得limx?x0f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??0

x?x0则有f?x??f?x0??f'?x0??x?x0????x?x0? 即f?x??f?x0??f'?x0??x?x0????x?x0?。

即在点x0附近，用一次多项式f?x0??f'?x0??x?x0?逼近函数f?x?时，其误差为?x?x0?的高阶无穷小量，然而取一次多项式逼近在很多时候是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并误差为

???x?x0??，其中n为多项式的次数，先讨论n次多项式函数

2nnpn?x??a0?a1?x?x0??a2?x?x0??...?an?x?x0?

逐次求它在点x0处的各阶导数，得到 pn?x0??a0，

p'n?x0??a1，

p''n?x0??2!a2n，…，

f'?x0?f''?x0?f???x0?2nTn?x??f?x0???x?x0???x?x0??...??x?x0?，

1!2!n!即

np'n?x0?p''n?x0?p??n?x0?，a2=，…, an=. a0=pn?x0?，a1=1!2!n!由此可见，多项式pn?x?的各项系数由其在点x0的各阶导数值所唯一确定。

对于一般函数f，设它在点x0存在直到n阶的导数，有这些导数构造一个n次多项式

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f'?x0?f''?x0?f???x0?2nTn?x??f?x0???x?x0???x?x0??...??x?x0?，

1!2!n!n称为函数f在点x0处的泰勒（Taylor）多项式，Tn?x?的各项系数

f?k?k!?x0??k?1,2,...,n?称为泰勒系数。

定理1.（泰勒定理）若函数f?x?在x0存在n阶导数，则对于

x???x0?，有

nf?x??Tn?x?????x?a?? （2） ??f'?x0?f''?x0?f???x0?2n其中Tn?x??f?x0???x?x0???x?x0??...??x?x0?

1!2!n!n定理中（2）式称为函数f在点x0处的泰勒公式，f?x??Tn?x?称为

n泰勒公式的余项，记作Rn?x?，形如??x?a??的余项称为佩亚诺型???（Peano）余项.

特别是，当x0=0时泰勒公式的特殊形式：

f''?0?2f???0?nf?x??f?0??f'?0??x?x0??x?...?x???xn?称为（带有

2!n!n佩亚诺余项的）麦克劳林公式

定理2.若函数在?a,b?上存在直至n阶的连续导函数，在?a,b?内存在?n?1?阶导函数，则对任意给定的x，x0??a,b?,至少存在一点???a,b?,使得

f'?x0?f''?x0?f?n??x0?f?n?1????2nn?1f?x??f?x0???x?x0???x?x0??...??x?x0???x?x0?

1!2!n!?n?1?! 此式同样称为泰勒公式，它的余项为

f?n?1????n?1 Rn?x?=f?x??Tn?x?=?x?x0?，

?n?1?!?=x0+??x?x0??0???1?，称为拉格朗日型余项。所以上式又称为带有

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拉格朗日型余项的泰勒公式。 当x0=0时得到

f''?0?2f?n??0?nf?n?1???x?n?1f?x??f?0??f'?0??x?x0??x?...?x?x?0???1?

2!n!n?1!??称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式。

定理3 设函数f在区间I有n?1阶连续导数，a,x?I，则

f(x)?f(a)?f?(a)(x?a)?? 1!n(n?1)(1?t)f(a?t(x?a))dt ?01n?1f(n)(a)(x?a)?(x?a)n?n!n!(3)

换句话说，在这种情况下，泰勒公式的余项表示为

(x?a)n?1Rn(x)?n!(4)

n(n?1)(1?t)f(a?t(x?a))dt?01

(3)式称为带积分型余项的泰勒公式，(4)式称为积分形式的余项。特别地，当a?0时，我们称之为带积分余项的马克劳林公式：

f?(0)f(n)(0)nxn?1f(x)?f(0)?x???x?1!n!n!在定理3中，对余项

n(n?1)(1?t)f(0)?dt ?01(x?a)n?1Rn(x)?n!n(n?1)(1?t)f(a?t(x?a))dt ?01用积分中值定理可得

(1??)n(n?1)Rn(x)?f(a??(x?a))(x?a)n?1,(0???1)

n!这种形式的余项称为柯西型余项，我们得到了带柯西型余项的泰勒公

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式：

f?(a)f(n)(a)f(x)?f(a)?(x?a)???(x?a)n

1!n!(1??)n(n?1)?f(a??(x?a))(x?a)n?1，(0???1)

n!特别地，当a?0时，我们称之为带柯西型余项的马克劳林公式：

f?(0)f(n)(0)n(1??)n(n?1)f(x)?f(0)?x???x?f(0)xn?1

1!n!n!二、泰勒公式的应用：

（一）泰勒公式在求极限方面的应用：

对有些极限问题，利用泰勒公式是十分有效的方法，要比诸如洛必达法则、等价无穷小代换等方法来的更简便，因为洛必达法则虽然能成功的解决确定不定式的极限问题，但有时需要连续计算多次导数之比才见分晓，甚至不太好求。 例1 求极限limx?0cosx?ex4?x22

解：本题可用洛必达法则求解，而用此方法则令求解过程较为繁琐，那么我们可用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为x4，则用麦克劳林公式表示极限的分子（取n?4）

x2x4 cosx= 1?????x5?

224e?x22x2x4= 1?????x5?

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cosx?e?x22x4= ????x5?

12因而求得limx?0cosx?ex4x??x2?2x4????x5?1=lim124=? x?012x?x???1??例2 求极限lim?x?x2ln?1????

??1???1?1?1?x??1??1?1 解：ln?1??=????3?=?2???3?

2?x?x?x??x?x2x21?1?1??1?1?2?1 x?x2ln?1??x?x?????????3???3? ?2?x??x??2?x??x2x?1???1?1??1 则lim?x?x2ln?1??lim?????x????3??? x????x???2?x??2（二）泰勒公式在求极值方面的应用

函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数性态的一个重要特征，而求函数极值的方法有很多种，以下则是用泰勒公式来求高阶可导函数极值的方法。

现在，设函数 f在x0的某邻域内存在直到n?1阶导函数。且在x0处n阶可导，而f?k??x0??0?k?1,2,...,n?1?,f?n??x0??0 由以上条件，可得f在x0处的n阶泰勒公式

f'?x0?f''?x0?f???x0?2nnf?x??f?x0??x?x?x?x?...?x?x??x?x?0??0??0??0?1!2!n!n??由于f?k??x0??0?k?1,2,...,n?1?，因此

?f?n??x0??nf?x??f?x0??????1???x?x0? （1）

???n!?此时分n为奇数和偶数来求极值：

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1． 当n为偶数时，?x?x0??0，又因f?n??x0??0，故在x0的某个

n邻域中，

f?n?n!?x0?与

f?n?n!?x0????1?同号，所以当f?n??x0??0时，

（1）式取负值，从而对于x0的某个邻域内有f?x??f?x0??0，即f?x?在x0处取最大值，同样对于f?n??x0??0，可得f?x?在点x0处取极小值。

2． 当n为奇数时，由于?x?x0?的正负无法确定，由（1）知

f?x??f?x0?的正负也无法确定，因此f?x?在点x0处不取极

n值。

通过以上的论证得出以下定理：

定理4 （极值的第三充分条件）设f在x0的某邻域内存在直到

n?1阶导函数，在x0处n阶可导，且f?k??x0??0?k?1,2,...,n?1?,f?n??x0??0，

则

（i）

当n为偶数时，f在x0取得极值，且当f?n??x0??0时取极大值，f?n??x0??0时取极小值。

（ii）

当n为奇数时，f在x0不取极值。

2例3 求函数f?x??x3?x?5?的极值。 解：求此函数的一阶导数

f'?x??3x2?x?5??2x3?x?5??5x2?x?3??x?5?

2令f'?x??0，解得三个稳定点：0，3，5。 求函数f?x?的二阶导数，f'''?x??30?2x2?8x?5? 二阶导函数f''?x?在三个稳定点0，3，5的值分别是

f''?0??0,f''?3???90?0,f''?5??250?0

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于是，3是函数f?x?的极大点，极大值是f?3??108；

5是函数f?x?的极小点，极小值是f?5??0，在稳定点0暂不确定。 求函数f?x?的三阶导数，f'''?x??30?2x2?8x?5?

三阶导函数f'''?x?在稳定点0的值：f'''?0??150?0，于是稳定点0不是函数f?x?的极值点。 （三）泰勒公式与定积分计算

在计算定积分时，有的被积函数并非是初等函数，故用牛顿—莱布尼兹公式是无法求出其精确值的，这时运用泰勒公式将其展开不失为一个好办法，借两个例子说明： 例4 计算?10ln?1?x?dx xln?1?x?解：此题中并不是初等函数，故用泰勒公式将ln?1?x?展开为：

xx2x3ln?1?x??x???...

23x2x3x???...1ln?1?x?123则?0dx??0dx

xx ??10?xx2?11?2 ?1???...?dx?1?2?2?...?232312??sinxdx近似值。 x例5 求定积分的?10解：考虑sinx的泰勒公式展开式：

sinx?x?xx??3!5!2435sin(?x?7!sin(?x?7!7?)2x7 7?)2x6

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sinxxx?1???x3!5!所以

?10?sinxx3x5?11dx??x???0??0x3*3!5*5!??sin(?x?7!7?)2x6dx

因为sin(?x?误差R?sinx11117?dx?1?*?*?0.9461 )?1，故?10x3!35!5211*?0.5*10?3 7!7（四）利用泰勒公式判断敛散性 1、级数敛散性的判断 例6 讨论级数?(n?1?1n?1?ln)的敛散性。

nn分析：直接根据通项公式去判断该级数是正项级数还是非正项级数比较困难，因而也就无法恰当选择判敛方法，注意到ln若将其泰勒展开为的幂的形式，开二次方后恰与判敛容易进行。 解：因为

lnn?11111?1?1?ln?1????2?3?4??? nn?n?n2n3n4n1nn?11?ln(1?)nn1相呼应，会使n所以

lnn?11 ?nnun?1n?1?ln?0

nn故该级数为正项级数 ，又

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证明：设f?x??0?0?0?由于

x2f'?x??cosx?1?,2f''?x???sinx?x, f'''?x??1?cosx1?cos?x3x，让f?x?在0点展开，并取n?2，3!故f?0??f'?0??f''?0??0 ， 则

f?x??0?0?0?1?cos?x3x 3!13x. 3!当 x?0时，f?x??0，从而 sinx?x?评注：利用泰勒公式证明不等式，首先就要将函数在某点处展开，展开到几阶根据需要或题目条件而定，选择哪种类型的余项也需根据需要而定。

x2x例 14 求证：对于任意x?(??,??)，成立 e?1?x?e

2x证：利用ex带拉格朗日型余项的马克劳林公式（0???1）可得

x2x3xnxn?1?xe?1?x??????e

2!3!n!(n?1)!xx2222 ?1?x???xn?2?xn?1e?x

2!3!n!(n?1)!x222n?22n?1?x ?(1?x???x?xe)

23!n!(n?1)!xxx2?x ?(1?x????e)

2(n?2)!(n?1)!x2x ?e

2n?2n?1评注：上面的证明在用ex的带皮亚诺型余项的展开式时会更简

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单，证明中还用到了不等式证明，这里不加证明。

21?(n?2),该不等式用分析法容易n!(n?2)!（七）泰勒公式与行列式计算

在代数中，有关利用代数知识计算行列式的方法很多，但应用微积分的方法计算行列式的极为少见，下面从泰勒公式入手，介绍利用泰勒展开式计算行列式的方法，以之丰富行列式的计算方法，也使得微积分学与代数学两大学科分支更加紧密联系起来。

利用泰勒公式计算行列式的主要思路是：根据所求行列式的特点，构造相应的行列式函数，再把这个行列式函数按泰勒公式在某点展开，只要求出行列式函数的各阶导数值即可。

现在通过例子来具体说明求解过程：

xa例14 计算行列式D?a...abxa...abbx...abbb...a...............bbb的值 ...xn?n解：记D?fn?x?，将D按泰勒公式在a处展开：

f''n?a?f??n?a?2nfn?x??fn?a??fn'?a??x?a???x?a??...??x?a?

2!n!n根据行列式的性质，对于任何k?N，有

fk?a??a?a?b?k?1，又根据行列式求导法则，有

fn'?x??nfn?1?x?,f'n?1?x???n?1?fn?2?x?,...,f2'?x??2f1?x?,f1'?x??1，

所有fn?x?在x?a处的各阶导数为

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fn?k??a??n?n?1?...?n?k?1?a?a?b?n?k?1,?k?1,2,...,n?1?;

fn?n??a??n?n?1?...2?1,从而

n?n?1?nn?2n?32a?a?b??x?a??a?a?b??x?a??...1!2!

n?n?1?...2n?n?1?...2?1n?1n?a?x?a???x?a?n!?n?1?!fn?x??a?a?b?n?1?若a?b，则fn?x???x?b???x??n?1?b??；若a?b，则

a?x?b??b?x?a? fn?x??a?bnnn?1（八）泰勒公式在金融数学中的应用 1.在VaR计算中的应用

VaR模型，自20世纪90年代被引入到风险管理中，已经成为金融机构和监管当局所广泛采用的风险度量和管理工具，VaR模型的常见计算方法有参数法、历史模拟法和蒙特卡罗模拟法，其中的参数法就是由资产价值函数的泰勒展开来计算，并且依据函数展开阶数的不同，分为delta类方法和gamma类方法。考虑一个投资组合

TX??x1,x2,...xn,?，其中xi，i?1,2...,n表示第i种资产的投资权重。t时刻

所有资产的价值向量V??v1,v2,...,vn,?，组合X的价值为V??xivi，在

Ti?1n下一个时段?t内，组合价值变动为?V??xi?vi，假设每种资产价值

i?1n都由K个市场因子确定，且这K个市场因子服从联合正态分步，

TF??f1,f2,...,fn,?，则?V按照一阶泰勒展开得

nk?vi?F,t??v?F,t??V??xi?t??xi?i?fj ?t?fi?1i?1j?1jn- 18 -

由此得出delta参数法；若将投资组合的价值变动函数按照二阶泰勒公式展开，则得gamma参数法。 2．在债券定价中的应用

在债券的定价及投资组合风险值的计算中，平均期限是一个重要的概念，它衡量基础产品价格相对于基础利率变化的幅度。[5]一个20年期的债券也许只有17年的平均期限。这意味着，如果利率上升2%，该债券价格将下跌34%；而利率下跌1%时，债券价格则上升17%。若每次用VaR模型来进行计算，工作是十分烦琐的。举例来说，现有一个5年期的票面金额为100美元的债券，年利息为10美元。计算当利率从10%变化到11%或15%时，债券的价格变化如下表：

利率?r? 利息?s? 期限?t? 贴现因子Dfn 年金因子10% 10美元 5年 1?0.6209 5?1?r?11% 10美元 5年 1?0.5988 5?1?r?15% 10美元 5年 1?0.4972 5?1?r??1?Dfn? r3.791 62.09美元 37.91美元 100美元 3.6473 59.88美元 36.47美元 96.35美元 3.3520 49.72美元 33.52美元 83.24美元 零息票部分 年金?1?Dfn??s r债券价格 麦考雷（Macaulay）利用泰勒展开式的第一项求出该债券平均期限为3.791。用平均期限法的预计相对准确；但当利率变化较大时

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误差较大。麦考雷用凸性及凸性的修正值重新估计，得到了非常满意的结果。凸性（用?表示）表示的是泰勒展开式的第二项，再用

12?????r?进行调整（?r为利率变化），如下表：（该债券的凸性用泰2勒公式易算为19.37） 利率变化 平均期限 平均期限估计值 凸性 凸性调整值 平均期限和凸性 债券新价格 1% -3.791 -3.791% 19.37 0.097% -3.791%+0.097% 96.31美元 5% -3.791 -18.95% 19.37 2.421% -18.95%+2.421% 83.47美元 我们发现与债券的实际价格非常接近，但极大地减少了工作量。麦考雷正是通过泰勒展开式求出了修正的平均期限和凸性值；而布莱克（Black）和斯科尔斯（Scholes）利用它建立了著名的期权定价模型。

结束语

随着数学领域的飞速发展，许多数学家们研究出了许多的定理、公式，以便我们在解决数学疑难问题时有了多重选择。本文我们学习了泰勒公式及其它的应用，了解了在数学分析中应用泰勒公式解题是非常简便的，而次公式不仅仅只有本文介绍的八个方面的应用，它的应用非常的广泛，在各个学科中也有应用，如果能很好的应用它来解

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题，会使更多的人能更好的学好数学，数学领域会发展的更好。

参考文献：

[1] 华东师范大学数学系.数学分析（上册）.北京：高等教育出版社，2001.134—141 [2] 刘玉琏.数学分析讲义.北京：高等教育出版社，2004.230—239 [3] 郑玉仙，泰勒定理的妙用.高等数学研究.2006.1：46—48 [4] 钱吉林.数学分析题解精粹.崇文书局.2003.10：239—240

[5] Cormac Butler.风险值概论.上海财经大学出版社.2002.137—153.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xbag.html