现代控制理论_线性控制系统的能控性与能观性例题

现代控制理论的讲义,从介绍现代控制理论的基础出发,详细介绍控制理论中的常用方法。最后有控制理论的习题和解决问题的专题讨论

第三章 线性控制系统 的能控性与能观性

现代控制理论的讲义,从介绍现代控制理论的基础出发,详细介绍控制理论中的常用方法。最后有控制理论的习题和解决问题的专题讨论

例

分析下列系统的能观测性y (t ) 0 4 5 x (t )

7 x (t ) x ( t ) 5 ( 1) 1 7 x (t ) x ( t ) 5 ( 2) 1

3 2 0 y (t ) x (t ) 0 3 1

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( 3) 3 1 0 0 3 1 (t ) 0 0 3 x (t ) x 2 1 0 2 2 1 0 2 x (t ) (t ) ( 4) x 3 3 0 3

1 1 1 1 0 y (t ) x (t ) 0 1 1 0 0

0 1 1 0 y (t ) x (t ) 0 1 1 1

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考察系统 2 1 1 (t ) x (t ) u(t ) x 1 3 1 y (t ) 1 0 x (t ) 1 0 的能观测性。 1 0 1 0 C N= = CA 2 1 2 1rankN = 2 = n 所以系统是能观测的。

例

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[例]:判别如下系统的能观测性：1 0 0 0 1 1 0 x 0 1 x, y x 1 2 1 2 4 3

解：

1 0 0 A 0 0 1 2 4 3

0 1 1 C 1 2 1

0 1 1 C 1 2 1 N CA 2 4 4 2 C A

前三行已使 rank N n 3

系统完全能观测！

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3.6 能控性与能观性的对偶关系 3.6.1 线性系统的对偶关系线性系统1、2如下： 1 A1x1 B1u1 x 1: y1 C1x1 2 A 2 x 2 B 2u 2 x 2: y C x 2 2 2

如果满足如下关系

A2 A ,

T 1

B2 C ,

T 1

C2 B

T 1

则称两系统是互为对偶的.

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u1(t)

x 1( t )

B

++

∫A

x 1( t ) C

y1(t)

y2(t)BT

x2(t)

∫AT

x2(t)

+ +

CT

u2(t)

从结构图上看，系统 1和其对偶系统 2的输入端和输出端互换， 信号传递方向相反，信号引出点和综合点互换，各矩阵转置。

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互为对偶关系的系统之间的性质1)互为对偶的系统，其传递函数阵是互为转置的。

W2 (s) C2 (sI A2 ) 1 B2

B (sI A ) C

T 1

B (sI A1 ) C1 (sI A1 ) T W1 (s)sI A2 sI AT 1

T 1

T 1 1

1 T

1

C B T 1

T 1

T 1

2)互为对偶的系统，其特征方程是相同的。T sI A1 sI A1 0

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3.6.2 对偶原理设 1 和 2 是互为对偶的两个系统，则 1的能控性等价于 2 的能观测性； 1 的能观

测性等价于 2 的能控性。[证明]: 若 1 能控，则能控性矩阵M1满秩。即

rankM1 rank B1

A1B1 A

n 1 1 1

B n

2 的能观测性矩阵为：

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T T C2 B1 B1 C A T T T B A ( A B ) 2 2 1 1 1 1 rank rank rankN2 rank

T n 1 T n 1 T n 1 C (A ) 2 2 B1 ( A1 ) ( A1 B1 )

n 1 rank B1 A1B1 A1 B1 rankM1 n

所以 2能观测。反之亦然。 利用对偶原理，把对系统能控性分析转化为对相应 对偶系统能观测性的分析，从而将控制问题和估计问 题联系到了一起。

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3.7 能控标准型和能观测标准型 一、单输入系统的能控标准型1、能控标准I型 Ax bu x 单输入线性定常系统： 能控 y cx

则存在线性非奇异变换： x Tc1x Ax b u x 将状态方程化为能控标准I型： y cx

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其中： 0 0 1 A Tc1 ATc1 0 a0 1 0 0 a1 0 1 a2 0 0 , 0 1 an 1 0 1 b Tc 1b 0 1

c cTc1 [ 0

1 n 1 ]

ai是 I A n an 1 n 1 a1 a0之系数

0 c( A n 1b an 1A n 2b a1b)

n 2 c( Ab an 1b) n 1 cb

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[例]:设线性定常系统用下式描述 Ax bu, x 1 1 式中： A 0 1 y cx 1 b 1 c 1 0

试将状态方程化为能控标准I型。

注意：非特别标明，能控标准型指的是能控标准I型。[解]: 1)判断系统能控性 1 M b Ab 1 0 1

rankM 2 n, 系统状态完全能控

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2)计算特征多项式det( I A) I A 2 1

故：a0 1, a1 03)计算变换阵，并化为能控标准I型 0 A a0 1 0 1 a1 1 0

0 c 1 Ax 1 0 y 1 x b u , x T Ab b c1

0b 1 0 0 A b 1 1 1c c0 T 0 1 c1

a1 1

0 0 1 1 1 0 1 1 1

c 0 1

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采用能控标准 型的A、b、c 求传递函数阵W ( s ) c ( sI A ) 1 b

n 1s n 1 n 2 s n 2 1s 0s n an 1s n 1 a1s a0

可见传递函数分母各项 系数是A 最后一行元素的负， 分子是c 阵的元素。

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[例]:写出以下传递函数的能控标准I型。s2 4s 5 G ( s) 3 s 6 s 2 11s 6

[解]: 先判断能控与能观，答案是肯定的。 所以：a0 6, a1 11, a2 6

0 5, 1 4, 2 10 0 1 0 0 , 1 0 1 a2 6 11 6 0 B 0 1

能控标准I型为： 0 A 0 a0C [ 0

1

0 a1

1 2 ] 5 4 1

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[例]:设线性定常系统用下式描述 Ax bu, x y cx 1 2 0 式中： A 3 1 1 0 2 0 2 b 1 1 c 0 0 1

试将状态方程化为能控标准I型。

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[解]:

故：a0 2, a1 9, a2 0

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2、能控标准II型x Ax bu 如果单输入线性定常系统： 是状态能控的， y Cx

则存在线性非奇异变换：x Tc 2 x [b, Ab, , An 1b]x 将状态方程化为能控标准II型： 0 0 1 0 1 A Tc 2 ATc 2 0 1 0 0 0 1 2 , 0 0 1 n 1 0

Ax b u x y Cx 1 0 1 b Tc 2 b 0

其中：

C CTc 2 [Cb, CAb, , CAn 1b] [ 0

1 n 1 ]

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xb8i.html