东北三省三校2015届高三第一次高考模拟考试 文科数学试卷 Word版

哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学

2015年高三第一次联合模拟考试

文科数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1．已知集合A?{0,b},B?{xx2?3x?0,x?Z},若AA．1 2．复数2?i1?2i?

B??，则b等于

C．3

D．1或2

B．2

A．i B．-i C．2(2?i) D．1 + i

3．ΔABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“a > b”是“cos2A < cos2B”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．向量a，b满足|a|?1，|b|?2，(a?b)?(2a?b)，则向量a与b的夹角为

A．45°

B．60°

C．90°

D．120°

5．实数m是区间?0,6?上的随机数，则关于x的方程x2?mx?4?0有实根的概率为

11A． B．

436 32 C．

1 22 2 正视图

22D．

2 36．已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是

A．B．26 3侧视图

36C．

2

6D． 2 俯视图

（第6题图）

x27．椭圆?y2?1两个焦点分别是F1、F2圆上任意一点，则PF1?PF2的取值范围是

4A．?1,4?

B．?1,3?

C．??2,1?

D．??1,1?

8．半径为1的球面上有四个点A、B、C、D，O为球心，AB过点O，CA = CB，DA = DB，DC = 1，则三棱锥A - BCD的体积为

3A．

63B．

3开始 输入t C．3 9．已知数列{an}满足

D．6

lna1lna2lna3???258?lnan3n?2?3n?12S?0 k?1 S?S?sink? 3否 （n?N*），则a10 =

A．e26 B．e29 C．e32 D．e35

10．执行如图所示的程序框图，要使输出的S值小于1，则输入的t值不能是下面的

A．8 B．9 C．10 D．11 11．若函数f(x)?2x3?3mx2?6x在区间?2,???上为增函数，则实数m的取值范围是

A．???,2?

B．???,2?

k?k?1 k?t 是 输出S 结束 5C．(??,)

25D．(??,]

212．函数f(x)?lg(x?1)?sin2x的零点个数为

A．9

B．10

C．11

D．12

第II卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13．若等差数列{an}中，满足a4?a6?a2010?a2012?8，则S2015=__________。 ?3?2x?y?914．若变量x，y满足约束条件?，则z?x?2y的最小值为__________。

6?x?y?9?y2x2?1，点P与双曲线C的焦点不重合．若点P关于双曲线C的上、下15．已知双曲线C：?164焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点为P1，则

P=__________。 1A?PB116．若函数f(x)满足：

（i）函数f(x)的定义域是R；

（ii）对任意x1,x2?R有f(x1?x2)?f(x1?x2)?2f(x1)f(x2)； （iii）f(1)?3。 2则下列命题中正确的是__________。（写出所有正确命题的序号）

①函数f(x)是奇函数；②函数f(x)是偶函数；③对任意n1,n2?N，若n1?n2，则f(n1)?f(n2)；④ 对任意x?R，有f(x)??1.

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）

已知ΔABC的面积为2，且满足0?AB?AC?4，则AB和AC的夹角为θ。 （1）求θ的取值范围； （2）求函数f(?)?2sin2(?4??)?3cos2?的取值范围。

18．（本小题满分12分）

空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150~200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200~300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2015年1月某日某省x个监测点数据统计如下： 空气污染指数 （单位：μg/m3） 监测点个数 ?0,50? 15 ?50,100? 40 ?100,150? y ?150,200? 10 （1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；

频率 组距 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0 50 100 150 200 空气污染指数 （μg/m）

3

（2）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意

选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？ 19．（本小题满分12分）

E如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD = 60°，四边形BDEF是正方形，且DE⊥平面ABCD。

（1）求证：CF∥平面AED； （2）若AE?2，求多面体ABCDEF的体积V。

FDC AB 20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知动圆过点(2,0)，且被y轴所截得的弦长为4。

（1）求动圆圆心的轨迹C1的方程;

（2）过点P(1,2)分别作斜率为k1，k2的两条直线l1，l2，交C1于A，B两点（点A，B异于点P），若k1 + k2 = 0，且直线AB与圆C2：(x?2)2?y2?

1相切，求ΔPAB的面积。 2

21．（本题满分12分）

已知实数a为常数，函数f(x)?xlnx?ax2．

（1）若曲线y?f(x)在x = 1处的切线过点A(0,?2)，求a值； （2）若函数y?f(x)有两个极值点x1,x2(x1?x2)． 11①求证：??a?0；②求证：f(x1)?0，f(x2)??。

22

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。 22．（本小题满分10分）

选修4-1：几何证明选讲

A 如图，在ΔABC中，∠ABC = 90°，以AB为直径的

圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接ODE 交圆O与点M。

O （1）求证：DE是圆O的切线；

M

（2）求证：DE · BC = DM · AC + DM · AB。

C D B

23．（本小题满分10分）

选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是??2cos?，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的?3x?t?m??2正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是?（t为参数）

1?y?t??2（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

（2）设点P(m,0)，若直线l与曲线C交于A，B两点，且|PA|?|PB|?1，求实数m的值。

24．（本小题满分10分）

选修4-5：不等式选讲

设函数f(x)?|2x?1|?|x?2|。 （1）解不等式f(x)?0；

（2）若?x0?R，使得f(x0)?2m2?4m，求实数m的取值范围。

2015年东北三省三校第一次高考模拟考试

文科数学参考答案

一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D A C C B B C A C 二、填空题

13．4030 14．-6 15．-16 三、解答题 17．解：

（1）设ΔABC中，角A、B、C的对边分别为 a、b、c，

则由已知：12bcsin??2，0?bccos??4， 可得，tan??1，所以：??[??4,2) （2）f(?)?2sin2(?4??)?3cos2??[1?cos(?2?2?)]?3cos2?

?(1?sin2?)?3cos2??sin2??3cos2??1?2sin(2???3)?1 ∵??[????24,2)，∴2??3?[6,?3)，∴2?2sin(2??π3)?1?3

即当??5?12时，f(?)?max?3；当??4时，f(?)min?2 所以：函数f(?)的取值范围是[2,3] 18．（本小题满分12分） 解：（1）

0.003?50?15x?x?100 15?40?y?10?100?y?35 40100?50?0.008 35100?50?0.007 10100?50?0.002

频率 组距 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 空气污染指数 0 50 100 150 200 （?g/m3）

10 11 12 A D D 16．②③④

……4分

……6分

……8分

……12分

……2分 ……5分

（2）设A市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4,5,从中任取2个的基本事件分别为

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种， ……8分 其中事件A“其中至少有一个为良”包含的 基本事件为

(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共7种， ……10分

所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是P(A)?19．（本小题满分12分）

（1）证明：?ABCD是菱形，?BC//AD. 又BC?平面ADE，AD?平面ADE，

?BC//平面ADE. ……2分 又BDEF是正方形，?BF//DE.

BF?平面ADE，DE?平面ADE，

?BF//平面ADE. ……4分 BC?平面BCF，BF?平面BCF BCBF?B，

7. ……12分 10EFDABC?平面BCF//平面AED.

由于CF?平面BCF，知CF//平面AED. ……6分 （2）解：连接AC，记ACBD?O. ?ABCD是菱形，AC⊥BD，且AO = BO． 由DE?平面ABCD，AC?平面ABCD，DE?AC.

DE?平面BDEF，BD?平面BDEF，DEBD?D，

?AC?平面BDEF于O，

即AO为四棱锥A?BDEF的高. ……9分

由ABCD是菱形，?BCD?60，则?ABD为等边三角形，由AE?2，则

AD?DE?1，

AO?3133，SBDEF?1，VBDEF?SBDEF?AO?， V?2VBDEF?. ……12分 236320．（本小题满分12分）

解：（1）

222??(x?2)?y?r2设动圆圆心坐标为(x,y)，半径为r，由题可知??y?4x； 222??2?x?r?动圆圆心的轨迹方程为y2?4x ……4分

（2）设直线l1斜率为k,则l1:y?2?k(x?1);l2:y?2??k(x?1). 点P（1,2）在抛物线y?4x上

2?y2?4x???ky2?4y?8?4k?0 ?y?2?k(x?1)

设A(x1,y1),B(x2,y2),??0恒成立，即?k?1??0,有k?1

2?y1yP?8?4k,kyP?2,?y1?4?2k, k(k?2)2代入直线方程可得x1? ……6分 2k(2?k)24?2k同理可得 x2? ……7分 ,y?2k2?k4?2k4?2k?y2?y1?kk????1 ……9分 2x2?x1(k?2)?(k?2)2k2kAB不妨设lAB:y??x?b. 因为直线AB与圆C相切，所以当b?3时, 直线AB过点P,舍 当b?1时, 由?|b?2|2?,解得b?3或1, 22?y??x?12?y?4x?x2?6x?1?0；??32,|AB|?1?1?32?8

P到直线AB的距离为d?2，△PAB的面积为42. ……12分

21．解：

（1）由已知：f?(x)?lnx?1?2ax(x?0)，切点P(1,a) ……1分 切线方程：y?a?(2a?1)(x?1)，把(0,?2)代入得：a = 1 ……3分 （2）（I）依题意：f?(x)?0有两个不等实根

设g(x)?lnx?2ax?1，则：g?(x)?1?2a(x?0) x①当a?0时：g?(x)?0，所以g(x)是增函数，不符合题意； ……5分 ②当a?0时：由g?(x)?0得：x??列表如下：

x g?(x) g(x) (0,?1) 2a?1 2a(?1,??) 2a1?0 2a+ ↗ 0 极大值 - ↘ 依题意：g(?111)?ln(?)?0，解得：??a?0 2a2a2

1综上所求：??a?0，得证； ……8分

2（注：以下证明为补充证明此问的充要性，可使其证明更严谨，以此作为参考，学生证明步骤写出上述即可）

方法一：当x?0且x?0时lnx???，2ax?1?1，?当x?0且x?0时g(x)???

?g(x)在(0,?当x??1)上必有一个零点． 2a112?x1/时，设h(x)?lnx?x，h(x)?? ?2ax2x2xx h/(x) h(x) ?0,4? ＋ ↗ 4 ０ 极大值 ?4,??? － ↘ ?x?4时，h(x)?h(4)?ln4?2?0即lnx?x ?x?4时，g(x)?lnx?1?2ax?x?2ax?1

设t?x，x?2ax?1?2at2?t?1由a?0，x???时，2at2?t?1?0

?g(x)?0?g(x)在(?1,??)上有一个零点 2a1 综上，函数y?f(x)有两个极值点时??a?0，得证．

2方法二

f(x)?xlnx?ax2有两个极值点,即f/(x)?lnx?1?2ax(x?0)有两个零点,

即?2a?lnx?1有两不同实根. xlnx?1/?lnx设h(x)?,h(x)?,

xx2//当h(x)?0时，0?x?1；当h(x)?0时，x?1

x h/(x) h(x) ?0,1? ＋ ↗ 1 ０ 极大值 ?1,??? － ↘ 当x?1时h(x)有极大值也是最大值为f(1)?1??2a?1，a??1 2

1?h()?0，故h(x)在?0,1?有一个零点

e当x?1时，?lnx?0?lnx?11lnx?1?lim?0 ?0且limxxx???x???x?x?1时0?h(x)?h(1)?1

??2a?0,?a?0

综上函数y?f(x)有两个极值点时?

② 证明：由①知:f(x),f(x) 变化如下:

/1?a?0，得证． 2x f/(x) f(x) (0,x1) x1 0 极小值 (x1,x2) + ↗ x2 0 极大值 (x2,??) ? ↘ ? ↘ 由表可知:f(x) 在[x1,x2] 上为增函数,

又f(1)?g(1)?2a?1?0 ,故x1?1?x2 ……10

分

所以：f(x1)?f(1)?a?0/,f(x2)?f(1)?a??1 21即f(x1)?0，f(x2)??． ……12分

222．选修4-1：几何证明选讲

证明：

（1）连结OE，∵点D是BC的中点，点O是AB的中点，

∴ OD平行且等于

1∠A=∠BOD， AC，∴

2AFE∠AEO = ∠EOD， ∵OA = OE，∴∠A = ∠AEO，∴∠BOD = O∠EOD ……3分 M在ΔEOD和ΔBOD中，∵OE = OB，∠BOD

C= ∠EOD，OD = OD， DB∴ΔEOD ≌ ΔBOD，∴∠OED = ∠OBD = 90°，即OE⊥BD

∵是圆O上一点，∴DE是圆O的切线 ……5分 （II）延长DO交圆O于点F ∵ΔEOD ≌ ΔBOD，∴DE = DB，∵点D是BC的中点，∴BC = 2DB，

∵DE、DB是圆O的切线，∴DE = DB，∴DE·BC = DE·2DB = 2DE2 ……7分 ∵AC = 2OD，AB = 2OF ∴DM · AC + DM · AB = DM · (AC + AB) = DM · (2OD + 2OF) = 2DM · DF ∵DE是圆O的切线，DF是圆O的割线， ∴DE2 = DM · DF，∴DE · BC = DM · AC + DM · AB ……10分 23．选修4-4： 坐标系与参数方程

解：（1）由 ??2cos?，得：?2?2?cos?，∴ x2?y2?2x，即(x?1)2?y2?1， ∴曲线C的直角坐标方程为(x?1)2?y2?1 ……3分 ?3x?t?m??2由?，得x?3y?m，即x?3y?m?0，

1?y?t??2∴直线l的普通方程为x?3y?m?0 ……5分 ?322x?t?m???3?1??222（2）将?代入(x?1)?y?1，得：?t??1， ?2t?m?1????21?????y?t??2整理得：t2?3(m?1)t?m2?2m?0，

由??0，即3(m?1)2?4(m2?2m)?0，解得：-1 < m < 3

设t1、t2是上述方程的两实根，则t1?t2??3(m?1)，t1t2?m2?2m ……8分 又直线l过点P(m,0)，由上式及t的几何意义得

|PA|?|PB|?|t1t2|?|m2?2m|?1，解得：m?1或m?1?2，都符合-1 < m < 3，

因此实数m的值为1或1?2或1?2 ……10分 24．选修4-5： 不等式选讲

解：（1）当x < -2时，f(x)?|2x?1|?|x?2|?1?2x?x?2??x?3， f(x)?0，即?x?3?0，解得x?3，又x??2，∴x??2；

当?2?x?1时，f(x)?|2x?1|?|x?2|?1?2x?x?2??3x?1， 2111f(x)?0，即?3x?1?0，解得x??，又?2?x?，∴?2?x??；

323当x?1时，f(x)?|2x?1|?|x?2|?2x?1?x?2?x?3， 21，∴x?3. ……3分 2f(x)?0，即x?3?0，解得x?3，又x?1??综上，不等式f(x)?0的解集为???,??3??

(3,??). ……5分

???x?3,x??2?1?（2）f(x)?|2x?1|?|x?2|???3x?1,?2?x?

2?1?x?3,x???25?1?∴f(x)min?f????. ……8分

?2?2∵?xx2m2?f(x)50?R，使得f(0)?2m2?4m，∴4m?min??2，

整理得：4m2?8m?5?0，解得：?152?m?2，

因此m的取值范围是(?12,52). 分 ……10

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