2018年江苏师范大学F52常微分方程之常微分方程复试核心题库

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2018年江苏师范大学F52常微分方程之常微分方程复试核心题库（一） (2)

2018年江苏师范大学F52常微分方程之常微分方程复试核心题库（二） (10)

2018年江苏师范大学F52常微分方程之常微分方程复试核心题库（三） (19)

2018年江苏师范大学F52常微分方程之常微分方程复试核心题库（四） (29)

2018年江苏师范大学F52常微分方程之常微分方程复试核心题库（五） (38)

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2018年江苏师范大学F52常微分方程之常微分方程复试核心题库（一）

特别说明：

1-本资料为学员内部使用，整理汇编了2018考研复试重点题及历年复试常考题型。

2-资料仅供复试复习参考，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权、请联系我们立即处理。 ————————————————————————————————————————

一、计算题

1． 给定方程组

这里是区间上的连续

矩阵.设

是

的一个基解矩阵，n 维向

量函数

在

上连续

试证明初值问题

的惟一解

是积分方程组

的连续解.反之的连续解也是初值问题

的解.

【答案】因为是（5. 15）式的一个基解矩阵，令

这里是待定的n 维列向量函数. 假设有形如的解，将代入

中的方程组得

又因为所以

因为在

是非奇异的，所以

存在，用

乘式两边后再积分可得

代回（5. 15）式即得

即

也是

的解.

反之，设

是的连续解，对

式两端微分可得

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而且

因而

的连续解也是初值问题

的解.

2． 求一曲线，使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标.

【答案】满足条件的曲线的方程为

可以变形为

两边同乘以

则得到

即

积分之，即得

或者

3． 试证：对于二阶齐次线性微分方程

其中为连续函数，

⑴若.则

是方程的解；

（2） 若存在常数m 使得

则方程有解

（3） 若是方程的两个线性无关的解，则方程的系数

由

惟一确定，且

没有共同的零点.

【答案】若代入方程左端，则

故

是方程.

的解.

（2）若.

则

因此

由于m 满足条件所以.是方程的解.

（3） 由于

是方程的两个线性无关解，所以有

由于，是已知的，故

都是可以求出来的，可以认为

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第 4 页，共 42 页 它们也是已知的，这样，上面的方程组就成了关于

的二元一次代数方程组，由克莱

姆法则得

已知条件

没有共同的零点保证了表达式中的分母不为零，

从而

由惟一确定. 4． 试详细讨论教材中两种群模型（6.52）中的被捕食-捕食模型的各种情形.

【答案】这里仅考虑r>0的情况.不妨设x 为食饵，y 为捕食者，若下面系统表示为捕食者一食饵系统，则有下面集中情况：

（1）当r>0,s>0时，表示捕食者y 可以依赖系统以外的食物为生：

①b>0,c<0,a>0,d>0,x ,y 均有密度制约；

②b>0,c<0,a=0,d>0,y 有密度制约；

③b>0,c<0,a>0,d=0,x 有密度制约；

④b>0,c<0,a=0,d=0,x ,y 均无密度制约?

（2）当r>0,s<0时,表示捕食者y 不能完全依赖系统以外的食物为生：

①b>0,c>0,a>0,d<0,x ,y 均有密度制约；

②b>0,c>0,a=0,d<0,y 有密度制约；

③b>0,c>0,a>0,d=0,x 有密度制约；

④b>0,c>0,a=0,d=0,x ,y 均无密度制约。

5． 试确定下列方程组的周期解、极限环，并讨论极限环的稳定性：

（1）

（2）

（3）

【答案】（1）作变换原方程组可化为

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求解上面方程组，得到两个特解

故原方程组有一奇点（0,0）,一个周期解容易判断周期解

是半稳定的

极限环.

（2）作变换

原方程组可化为

求解上面方程组，得到特解为

故原方程组有惟一的周期解容易判断此周期解是稳定的极限环.

（3）作变换

，

，原方程组可化为

易见原方程组有一奇点（0,0），两个周期解 先考虑r=l 内部轨线，由知轨线沿顺时针方向.又由且

易知

同样在

r=l 外部的轨线，有

因而r=l 是稳定极限环.

再对r=3内部轨线

，

由

-知轨线沿反时针方向.

又由

>

且

易知

同样在r=3的外部轨线，

有

因此r=3是不稳定极限环.

6． 试用计算机绘出Lorenz 方程（1.26）在参数

和初值（1,1,0

）下不同参数

的轨线图貌.

【答案】（1

）当参数且初值为（1,1,0）时，方程（1.26）的轨线图形

为

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