中考数学锐角三角函数与圆综合训练题

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2015 年春季人教版中考数学锐角三角函数与圆综合训练题

1、如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD． （1）求证：CD=CA?CB； （2）求证：CD是⊙O的切线；

（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的长．

2

2、如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3． （1）求证：点F是AD的中点； （2）求cos∠AED的值；

（3）如果BD=10，求半径CD的长．

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3、如图11，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF． （1）求证：直线PA为⊙O的切线；

（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明； （3）若BC＝6，tan∠F＝

4、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K． （1）求证：KE=GE；

（2）若KG=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由； （3） 在（2）的条件下，若sinE=

2A F C 图11

O D E P 1，求cos∠ACB的值和线段PE的长． 2B 3，AK=23，求FG的长． 5

5、如图11，AB是⊙O的弦，D是半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于F，且CE=CB。（1）求证：BC⊙O是的切线；（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=径。

参考答案： 1

5，求⊙O的半13学习好资料 欢迎下载

.考点： 分析： （1）通过相似三角形（△ADC∽△DBC）的对应边成比例来证得结论； （2）如图，连接OD．欲证明CD是⊙O的切线，只需证明CD⊥OA即可； （3）通过相似三角形△EBC∽△ODC的对应边成比例列出关于BE的方程，通过解方程来求线段BE的长度即可． 解答： （1）证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C， ∴△ADC∽△DBC， ∴=，即CD=CA?CB； 2 （2）证明：如图，连接OD． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠1+∠3=90°． ∵OA=OD， ∴∠2=∠3， ∴∠1+∠2=90°． 又∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1， ∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°， ∴OD⊥OA． 又∵OA是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （3）解：如图，连接OE． ∵EB、CD均为⊙O的切线， ∴ED=EB，OE⊥DB， ∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°， ∴∠ABD=∠OEB， ∴∠CDA=∠OEB． 而tan∠CDA=， ∴tan∠OEB==， ∵Rt△CDO∽Rt△CBE， ∴===， ∴CD=8， 在Rt△CBE中，设BE=x， 222∴（x+8）=x+12， 解得x=5． 即BE的长为5．

2、相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形． （1）由AD是△ABC的角平分线，∠B=∠CAE，易证得∠ADE=∠DAE，即可得ED=EA，又由ED是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得EF⊥AD，由三线合一的知识，即可判定点F是AD的中点； （2）首先连接DM，设EF=4k，df=3k，然后由勾股定理求得ED的长，继而求得DM与ME的长，由余弦的定义，即可求得答案； （3）易证得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：（5k）=k?（10+5k），解此方程即可求得答案． 2学习好资料 欢迎下载

（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠1=∠2， ∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3， ∴∠ADE=∠DAE， ∴ED=EA， ∵ED为⊙O直径， ∴∠DFE=90°， ∴EF⊥AD， ∴点F是AD的中点； （2）解：连接DM， 设EF=4k，df=3k， 则ED==5k， ∵AD?EF=AE?DM， ∴DM=∴ME=∴cos∠AED====k， =k， ； （3）解：∵∠B=∠3，∠AEC为公共角， ∴△AEC∽△BEA， ∴AE：BE=CE：AE， 2∴AE=CE?BE， ∴（5k）=k?（10+5k）， ∵k＞0， ∴k=2， ∴CD=k=5． 3【解析】（1）要证PA是⊙O的切线，只要连接OB，再证∠PAO＝∠PBO＝90°即可．（2）OD，OP分别是Rt△OAD，Rt△OPA的边，而这两个三角形相似且这两边不是对应边，所以可证得OA2＝OD·OP，再将EF＝2OA代入即可得出EF，OD，OP之间的等量关系．（3）利用tan∠F＝据AD＝BD，OD＝

21，得出AD，OD之间的关系，据此设未知数后，根21BC＝3，AO＝OC＝OF＝FD－OF，将AB，AC也表达成含未知数的代数式，再在Rt△ABC2中运用勾股定理构建方程求解．

【答案】解：（1）证明：如下图，连接OB，

∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°．

∵OA＝OB，BA⊥PO于D，∴AD＝BD，∠POA＝∠POB． 又∵PO＝PO，∴△PAO≌△PBO．

∴∠PAO＝∠PBO＝90°．∴直线PA为⊙O的切线．

A F C O D E B P

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（2）EF2＝4OD·OP．

证明：∵∠PAO＝∠PDA＝90°，

∴∠OAD＋∠AOD＝90°，∠OPA＋∠AOP＝90°． ∴∠OAD＝∠OPA．∴△OAD∽△OPA．∴又∵EF＝2OA，∴EF2＝4OD·OP．

（3）∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，∴OD＝设AD＝x，∵tan∠F＝

OAOD＝，即OA2＝OD·OP． OPOA1BC＝3． 21，∴FD＝2x，OA＝OF＝2x－3． 2在Rt△AOD中，由勾股定理 ，得(2x－3)2＝x2＋32． 解之得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去）． AD＝4，OA＝2x－3＝5．

∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°． 而AC＝2OA＝10，BC＝6， ∴cos∠ACB＝

63＝． 105∵OA2＝OD·OP， ∴3(PE＋5)＝25． ∴PE＝

10． 34、解析：利用切线的性质和等边对等角可以证明∠EGK=∠EKG，然后根据等角对等边，即可证明第（1）小题；对于第（2）小题，可以先由等积式得到比例式，然后得到三角形相似，根据角的关系可以判断两条直线的位置关系；对于第（3）小题，可以先利用方程的思想求出相关线段的长，然后利用三角函数求FG的长。 答案：（1）如下图，连接OG，

∵EG是⊙O的切线∴OG⊥GE∴∠OGK+∠EGK＝90°∵CD⊥AB∴∠OAG+∠AKH＝90°∵OG=OA∴∠OGK=∠OAG∴∠EGK=∠AKH=∠EKG∴KE=GE；

（2）AC∥EF 理由如下：

∵KG=KD·GE，GE=KE∴∴△KGD∽△KGE ∴∠KGD＝∠E ∠KGD＝∠C ∴∠E＝∠C ∴AC∥EF

（3）∵在（2）的条件下， ∴AC∥EF

∴∠CAF＝∠F，∠E＝∠C ∵sinE=

2KGKE? KDKG3 5

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∴sinC=

343,sinF=,tanE=tanC= 554连接BG，过G作GN⊥AB于N，交⊙O于Q 则弧BQ=弧BG ∴∠BGN＝∠BAG 设AH=3k，则CH=4k

CH216k216kBH+AH25k===于是BH=，OG= AH3k326∵EG是切线，CD⊥AB ∴∠OGF＝90° ∴∠FOG+∠F=∠E+∠F ∴∠FOG=∠E ∴NG=OGsin∠FOG=

25k35k?= 652∴BN=OB-ON=OG-OGcos∠FOG=∴BG=NG2+BN2=25k?4?5k?1-?= 6?5?65k10 6Q

N

点评：本题的第（3）小题是一道大型综合题，且运算量较大，属于较难题；但是，前两个小题比较基础，同学们

应争取做对。

5、【解析】（1）连接OB，证OB⊥BC，即证∠OBE+∠EBC=90°。通过OA=OB，CE=CB，∠AED=∠BEC，可将∠OBE、∠EBC分别转化为∠A、∠AED，结合CD⊥OA可证∠OBE+∠EBC=90°；

（2）连接OF，由CD垂直平分OA得AF=OF=OA，再结合圆心角与圆周角关系易求∠ABF的度数；，∴ （3）作CG⊥BE于G，得∠A=∠ECG，CG是BE垂直平分线，由CD=15，BE=10，sinA=度，通过△ADE∽△CGE可求AD，从而计算半径OA。

【答案】（1）证明：连接OB。∵OA=OB，∴∠A=∠OBE。∵CE=CB，∴∠CEB=∠EBC，∵∠AED =∠EBC，∴∠AED = ∠EBC，又∵CD⊥OA ∴∠A+∠AED=∠OBA+∠EBC=90°，∴BC⊙O是的切线；

5，可求EG、CE、CG、DE长13学习好资料 欢迎下载

（2）∵CD垂直平分OA，∴OF=AF，又OA=OF，∴OA=OF=AF，∴∠O=60°，∴∠ABF=30°；

（3）作CG⊥BE于G，则∠A=∠ECG。∵CE=CB，BD=10，∴EG=BG=5，∵sinECG=sinA=

5，∴CE=13，CG=12.又13CD=15，∴DE=2。∵ADE∽△CGE，∴

244848ADDEAD2??，∴AD=，∴OA=，即⊙O的半径是。 ，即

555CGEG125

【点评】本题将多个知识点结合在一起，问题设计层层递进，梯度鲜明，是一道中档偏上的题，有一定区分度．我们必须学会由已知条件寻找相应的定理、性质的基本图形，以及在不能直接根据已知条件解决问题时，要学会运用转化的思想。

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