2018版高考数学复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和教师用书理新人教版

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第六章 数列 6.3 等比数列及其前n 项和教师用书 理 新人教版

1．等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．

2．等比数列的通项公式

设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q

n －1. 3．等比中项

如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．

4．等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．

(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .

(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，??????1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，????

??a n b n 仍是等比数列．

5．等比数列的前n 项和公式

等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，

当q ＝1时，S n ＝na 1；

当q ≠1时，S n ＝a 1 1－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q

. 6．等比数列前n 项和的性质

公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n

.

【知识拓展】

等比数列{a n }的单调性

(1)满足????

? a 1>0，q >1或????? a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列． (2)满足????? a 1>0，0<q <1

或????? a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列． (3)当????? a 1≠0，q ＝1时，{a n }为常数列．

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(4)当q <0时，{a n }为摆动数列．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *

，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × )

(2)G 为a ，b 的等比中项?G 2＝ab .( × )

(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × )

(4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × )

1．(教材改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14

，则公比q 等于( ) A ．－12

B ．－2

C ．2

D.12

答案 D 解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12

. 2．(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( )

A ．21

B ．42

C ．63

D ．84

答案 B

解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，得3(1＋q 2＋q 4

)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B.

3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( )

A ．31

B ．32

C ．63

D ．64

答案 C

解析 根据题意知，等比数列{a n }的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C.

4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．

答案 27,81

解析 设该数列的公比为q ，由题意知，

243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.

∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.

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5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5

S 2

＝________.

答案 －11

解析 设等比数列{a n }的公比为q ，

∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4

＝0.

∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，

∴S 5S 2＝a 1 1－q 5

1－q ·1－q

a 1 1－q 2

＝1－q 51－q 2＝1－ －2

5

1－4＝－11.

题型一 等比数列基本量的运算

例1 (1)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于(

) A ．2 B ．1 C.12D.18

(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n

a n

＝________.

答案 (1)C (2)2n －1

解析 (1)由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 2

4，

又a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 2

4＝4(a 4－1)，

解得a 4＝2.设等比数列{a n }的公比为q ，

则由a 4＝a 1q 3，得2＝14q 3

，解得q ＝2，

所以a 2＝a 1q ＝12.故选C.

(2)∵????? a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴?????

a 1＋a 1q 2

＝52， ①

a 1q ＋a 1q 3

＝54， ②

由①除以②可得1＋q

2

q ＋q 3＝2，

解得q ＝12，代入①得a 1＝2，

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∴a n ＝2×(12)n －1＝42n ， ∴S n ＝2×[1－ 12 n ]1－12

＝4(1－12n )， ∴S n a n ＝4 1－12n 4

2n ＝2n －1. 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．

(1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )

A.152

B.314

C.334

D.172

(2)(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.

答案 (1)B (2)3n －1

解析 (1)显然公比q ≠1，由题意得????? a 1q ·a 1q 3＝1，a 1 1－q 3 1－q

＝7， 解得????? a 1＝4，q ＝12或????? a 1＝9q ＝－13(舍去)，

∴S 5＝a 1 1－q 5 1－q ＝4 1－125 1－12

＝314. (2)由3S 1,2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3，

可得a 3＝3a 2，所以公比q ＝3，

故等比数列通项a n ＝a 1q n －1＝3n －1.

题型二 等比数列的判定与证明

例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.

(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；

(2)求数列{a n }的通项公式．

(1)证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2，

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得a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2.

∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.

又????? S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2 n ≥2 ， ②

由①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)，

∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)．

∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)，

故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列．

(2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2

n －1， ∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34

， 故{a n 2n }是首项为12，公差为34

的等差数列． ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14

， 故a n ＝(3n －1)·2

n －2. 引申探究

若将本例中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变，求数列{a n }的通项公式． 解 由已知得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n .

∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1＋1，

∴a n ＋1＝2a n ＋1，

∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ≥2，(*)

又a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋2，即a 2＋1＝2(a 1＋1)，

∴当n ＝1时(*)式也成立，

故{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，

∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n

－1. 思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．

已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.

(1)证明：{a n ＋12

}是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.

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证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3(a n ＋12

)． 又a 1＋12＝32

， 所以{a n ＋12}是首项为32

，公比为3的等比数列． 所以a n ＋12＝3n 2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12. (2)由(1)知1a n ＝23n －1

. 因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3

n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13

n －1 ＝32(1－13n )<32

， 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32

. 题型三 等比数列性质的应用

例3 (1)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5

，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________. (2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3

＝________. 答案 (1)50 (2)34

解析 (1)因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5， 所以a 10a 11＝e 5.

所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20

＝ln(a 1a 2…a 20)

＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]

＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)

＝10ln e 5＝50ln e ＝50.

(2)方法一 ∵S 6∶S 3＝1∶2，∴{a n }的公比q ≠1. 由a 1 1－q 6 1－q ÷a 1 1－q 3 1－q ＝12，得q 3＝－12， ∴S 9S 3＝1－q 91－q 3＝34.

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方法二 ∵{a n }是等比数列，且S 6S 3＝12

，∴公比q ≠－1， ∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即(S 6－S 3)2

＝S 3·(S 9－S 6)，

将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34

. 思维升华 等比数列常见性质的应用

等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．

(1)已知在等比数列{a n }中，a 1a 4＝10，则数列{lg a n }的前4项和等于( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1 (2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18

B ．－18 C.578

D.558 答案 (1)C (2)A

解析 (1)前4项和S 4＝lg a 1＋lg a 2＋lg a 3＋lg a 4＝lg(a 1a 2a 3a 4)，又∵等比数列{a n }中，a 2a 3＝a 1a 4＝10，

∴S 4＝lg 100＝2.

(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且公比不等于－1，在等比数列中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比

数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以有8(S 9－S 6)＝(－1)2，S 9－S 6＝18

，即a 7＋a 8＋a 9＝18

.

13．分类讨论思想在等比数列中的应用

典例 (12分)已知首项为32

的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)证明：S n ＋1S n ≤136

(n ∈N *)． 思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；

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(2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明． 规范解答

(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，

所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4， 可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12

.[2分]

又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×? ????－12n －1＝(－1)n －1·3

2n .[3分]

(2)证明 由(1)知，S n ＝1－? ????－12n

，

S n ＋1

S n ＝1－? ????－12n ＋1

1－? ??

??－12n

＝????? 2＋1

2n 2n ＋1 ，n 为奇数，

2＋1

2n 2n －1 ，n 为偶数.[6

分] 当n 为奇数时，S n ＋1

S n

随n 的增大而减小，

所以S n ＋1

S n ≤S 1＋1S 1＝136

.[8分]

当n 为偶数时，S n ＋1

S n

随n 的增大而减小，

所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2

＝2512.[10分]

故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136

.[12分]

1．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 2

3＋2a 2a 6＋a 3a 7等于(

) A ．4 B ．6

C ．8

D ．8－4 2

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答案 C

解析 在等比数列中，a 3a 7＝a 25，a 2a 6＝a 3a 5，所以a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8.

2．(2016·珠海模拟)在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( ) A.32

B.23 C ．－23

D.23或－23 答案 C

解析 由????? a 1q ＝18，a 1q 3＝8解得????? a 1＝27，q ＝23或????? a 1＝－27，q ＝－23.

又a 1<0，因此q ＝－23

. 3．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( )

A ．12

B ．13

C ．14

D ．15 答案 C

解析 设数列{a n }的公比为q ，

由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，

可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q

3n －3＝324， 因此q 3n －6＝81＝34＝q 36

， 所以n ＝14，故选C.

*4.(2015·福建)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

答案 D

解析 由题意知：a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p ＞0，q ＞0，∴a ＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有a ，－2，b ；b ，－2，a .

∴????? ab ＝4，2b ＝a －2或????? ab ＝4，2a ＝b －2，解得????? a ＝4，b ＝1或????? a ＝1，b ＝4.

∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9，故选D.

5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一

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个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )

A ．192里

B ．96里

C ．48里

D ．24里

答案 B

解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12

， 依题意有a 1 1－126

1－12

＝378， 解得a 1＝192，则a 2＝192×12

＝96， 即第二天走了96里，故选B.

6．(2016·铜仁质检)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )

A.12

B.32 C ．1

D ．－32 答案 B

解析 因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝

π33. log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7) ＝log 3a 74＝7log 3π

33＝7π3

， 所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝

32. 7．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________. 答案 4

解析 因为????? 3S 3＝a 4－2， ①3S 2＝a 3－2， ②

由①－②，得3a 3＝a 4－a 3，即4a 3＝a 4，

则q ＝a 4a 3＝4.

8．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝________. 答案 150

解析 依题意，知数列{a n }的公比q ≠－1，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，

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因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2

＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，故S 40－S 30＝80，S 40＝150.

9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 答案 1

2n 解析 ∵a n ＋S n ＝1，①

∴a 1＝12

，a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)，② 由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即a n a n －1＝12

(n ≥2)， ∴数列{a n }是首项为12，公比为12

的等比数列， 则a n ＝12×(12)n －1＝12n . 10．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝

a n ＋1a n ，若

b 10·b 11＝2，则a 21＝________. 答案 1 024

解析 ∵b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3a 2，

∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2，∵b 3＝a 4a 3，

∴a 4＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2b 3·…·b n －1，

∴a 21＝b 1b 2b 3·…·b 20＝(b 10b 11)10＝210＝1 024.

11．已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和．

(1)求a n 及S n ；

(2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .

解 (1)因为{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. 故S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)

＝n a 1＋a n 2＝n 1＋2n －1 2＝n 2

. (2)由(1)得a 4＝7，S 4＝16.

因为q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，即q 2－8q ＋16＝0，

所以(q －4)2＝0，从而q ＝4.

又因为b 1＝2，{b n }是公比q ＝4的等比数列，

所以b n ＝b 1q n －1＝2·4n －1＝22n －1.

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从而{b n }的前n 项和T n ＝b 1 1－q n 1－q ＝23

(4n －1)． 12．(2016·全国丙卷)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.

(1)求a 2，a 3；

(2)求{a n }的通项公式．

解 (1)由题意，得a 2＝12，a 3＝14

. (2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．

因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12

. 故{a n }是首项为1，公比为12

的等比数列， 因此a n ＝12

n －1. 13．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝? ??

??12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *. (1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；

(2)求T 2n .

解 (1)∵a n ·a n ＋1＝? ??

??12n ， ∴a n ＋1·a n ＋2＝? ??

??12n ＋1， ∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12

a n . ∵

b n ＝a 2n ＋a 2n －1，

∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12

， ∵a 1＝1，a 1·a 2＝12

， ∴a 2＝12?b 1＝a 1＋a 2＝32

. ∴{b n }是首项为32，公比为12

的等比数列． ∴b n ＝32×? ????12n －1＝32n . (2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ，

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∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12

为首项，以12

为公比的等比数列， ∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )

＝1－? ????12n 1－12

＋12????

??1－? ????12n 1－12 ＝3－3

2n .

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