江西省南昌十九中2013届高三第三次月考数学

江西省南昌十九中2013届高三第三次月考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（每题5分，共50分） 1．（5分）定义集合A、B的一种运算：A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，若A={1，2，3}，B={1，2}，则A*B中的所有元素之和为（ ） 21 18 14 9 A．B． C． D． 考点： 元素与集合关系的判断． 专题： 计算题． 分析： 根据新定义A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，把集合A与集合B中的元素分别代入再求和即可求出答案． 解答： 解：∵A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，A={1，2，3}，B={1，2}， ∴A*B={2，3，4，5}， ∴A*B中的所有元素之和为：2+3+4+5=14， 故选C． 点评： 本题考查了元素与集合关系的判断，属于基础题，关键是根据新定义求解． 2．（5分）（2011?辽宁）设函数f（x）=则满足f（x）≤2的x的取值范围是

（ ） A．[﹣1，2] B． [0，2] C． [1，+∞） D． [0，+∞） 考点： 对数函数的单调性与特殊点． 专题： 分类讨论． 分析： 分类讨论：①当x≤1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可． ﹣解答：解 ：当x≤1时，21x≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0， ∴0≤x≤1． 当x＞1时，1﹣log2x≤2的可变形为x≥， ∴x≥1， 故答案为[0，+∞）． 故选D． 点评： 本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解． 3．（5分）（2009?重庆）设△ABC的三个内角A，B，C，向量

，若

A． B． =1+cos（A+B），则C=（ ）

C． D． ，

考点： 三角函数的化简求值．

专题： 计算题． 分析： 利用向量的坐标表示可求可得sin（C+解答： 解：因为=又因为所以又C=π﹣（B+A） 所以因为0＜C＜π，所以 =，由0＜C＜π可求C =1+cos（A+B），结合条件C=π﹣（A+B）故选C． 点评： 本题主要以向量的坐标表示为载体考查三角函数，向量与三角的综合问题作为高考的热点，把握它的关键是掌握好三角与向量的基本知识，掌握一些基本技巧，还要具备一些运算的基本技能． 4．（5分）已知奇函数f（x）定义在（﹣1，1）上，且对任意的x1，x2∈（﹣1，1）（x1≠x2），都有

A．（，1） 成立，若f（2x﹣1）+f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（ ） B． （0，2） C． （0，1） D． （0，） 考点： 奇偶性与单调性的综合． 专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： 先确定函数f（x）在（﹣1，1）上单调递减，再利用函数是奇函数，即可将不等式转化为具体不等式，从而可求x的取值范围． 解答： 解：∵对任意的x1，x2∈（﹣1，1）（x1≠x2），都有成立， ∴函数f（x）在（﹣1，1）上单调递减 ∵函数是奇函数 ∴f（2x﹣1）+f（x﹣1）＞0等价于f（2x﹣1）＞f（1﹣x） ∴，∴0＜x＜ 故选D． 点评： 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查解不等式，考查学生的计算能力，确定函数的单调性是关键．

5．（5分）已知三角形△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这

个三角形的周长是（ ） 18 21 24 15 A．B． C． D． 考点： 数列与三角函数的综合． 专题： 综合题． 分析： 设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，则a﹣b=b﹣c=2，a=c+4，b=c+2，因为sinA=，所以A=60°或120°．若A=60°，因为三条边不相等，则必有角大于A，矛盾，故A=120°．由余弦定理能求出三边长，从而得到这个三角形的周长． 解答： 解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0， 设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C， 则a﹣b=b﹣c=2， a=c+4，b=c+2， ∵sinA=， ∴A=60°或120°． 若A=60°，因为三条边不相等， 则必有角大于A，矛盾，故A=120°． cosA= == =﹣． ∴c=3， ∴b=c+2=5，a=c+4=7． ∴这个三角形的周长=3+5+7=15． 故选D． 点评： 本题考查三角形的周长的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．解题是要认真审题，注意余弦定理的合理运用． 6．（5分）（2012?安徽模拟）设函数

是定义在R上的函数，其中f（x）的导函

数f'（x）满足f'（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（ ） 2201222012 A．f（2）＞ef（0），f（2012）＞ef（0） B． f（2）＞ef（0），f（2012）＜ef（0） 201222012 f（2）＞e2f（0）C．，f（2012）＜ef（0） D． f（2）＜ef（0），f（2012）＞ef（0） 考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 计算题．

分析： 根据函数的导数为F′（x）＜0，可得函数是定义在R上的减函数，故有F（2）＜F（0）， 22012推出f（2）＜ef（0）．同理可得f（2012）＜ef（0），从而得出结论． 解答： 解：函数的导数为F′（x）==＜0， 故函数是定义在R上的减函数， ∴F（2）＜F（0），即2＜， f（2）＜ef（0）． 2012同理可得f（2012）＜ef（0）． 故选B． 点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，导数的运算法则的应用，属于中档题． 7．（5分）（2012?安徽模拟）函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（ ）

A． B． x=1 C． x=2 D． 考点： 余弦函数的对称性． 专题： 计算题． 分析： 函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，求出φ，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，求出函数的周期，然后得到ω，求出对称轴方程即可． 解答： 解：函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，所以φ=，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为， 所以T=4，ω=，所以函数的表达式为：y=﹣sin，所以，显然x=1是它的一条对称轴方程．

故选C 点评： 本题是基础题，考查函数解析式的求法，三角函数的对称性的应用，考查发现问题解决问题的解决问题的能力． 8．（5分）（2012?张掖模拟）设实数x，y满足 ，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D． 考点： 简单线性规划． 专题： 数形结合． 分析： 先根据约束条件画出可行域，设 ，再利用z的几何意义求最值，表示的是区域内的点与点O连线的斜率．故 z的最值问题即为直线的斜率的最值问题．只需求出直线OQ过可行域内的点A时，从而得到z的最大值即可． 解答： 解：作出可行域如图阴影部分所示： 目标函数 ═≥2 当且仅当 =1时，z最小，最小值为：2． 又其中 可以认为是原点（0，0）与可行域内一点（x，y）连线OQ的斜率． 其最大值为：2，最小值为：， 因此 的最大值为 ， 则目标函数 则故选C． 的取值范围是 点评： 巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非

线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 9．（5分）（2012?张掖模拟）函数f（x）=x+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，若数列{ A． B． }的前n项和为Sn，则S2012的值为（ ）

C． D． 2

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；数列与函数的综合． 专题： 计算题；导数的概念及应用． 分析： 对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在x=1处的斜率，然后根据直线平行时斜率相等的条件可求b，代入可求f（n），利用裂项求和即可求 解答：解 ：∵f（x）=x2+bx ∴f′（x）=2x+b ∴y=f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2+b ∵切线与直线3x﹣y+2=0平行 ∴b+2=3 ∴b=1，f（x）=x+x 2∴f（n）=n+n=n（n+1） ∴∴S2012==1﹣=1﹣= = 2故选D 点评： 本题以函数的导数的几何意义为载体，主要考查了切线斜率的求解，两直线平行时的斜率关系的应用，及裂项求和方法的应用． 10．（5分）（2012?泉州模拟）设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D且x1+x2=2a，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究并利用函数f

32

（x）=x﹣3x﹣sin（πx）的对称中心，可得

=（ ）

4023 8046 A．B． ﹣4023 C． D． ﹣8046 考点： 数列的求和；函数的值． 专题： 计算题． 分析：函 数（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）图象的对称中心的坐标为（1，﹣2），即x1+x2=2时，总有f（x1）+f（x2）=﹣4，再利用倒序相加，即可得到结论． 解答： 解：由题意可知要求的值， 易知，

所以函数（x）=x﹣3x﹣sin（πx）图象的对称中心的坐标为（1，﹣2）， 即x1+x2=2时，总有f（x1）+f（x2）=﹣4 ∴（∴）=﹣4×4023 =﹣8046 +f（）+…+f（）+f32故选D． 点评：本 题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=2，是解题的关键． 二、填空题（每题5分，共25分）

x

11．（5分）（2012?姜堰市模拟）函数f（x）=2+log2x（x∈[1，2]）的值域为 [2，5] ． 考点： 幂函数的概念、解析式、定义域、值域；指数函数的定义、解析式、定义域和值域． 专题： 计算题． 分析： 先确定原函数在[1，2]上的单调性，再由单调性求原函数的值域 x解答：解 ：∵y=2单调递增，y=log2x单调递增 x∴f（x）=2+log2x在[1，2]上单调递增 1∴f（x）的最小值为f（1）=2+log21=2+0=2 2最大值为f（2）=2+log22=4+1=5 x∴f（x）=2+log2x在x∈[1，2]时的值域为[2，5] 故答案为：[2，5] 点评： 本题考查指数函数幂函数的单调性，由单调性求最值．要研究指数函数和幂函数的单调性，须注意底数的范围，有时候须分类讨论．属简单题 12．（5分）若不等式，] ．

对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是 [﹣

考点： 函数恒成立问题． 专题： 计算题；压轴题；函数的性质及应用． 分析： 利用基本不等式，求出右边的最小值，可得关于a的不等式，即可求得实数a的取值范围． 解答： 解：∵|x+|=|x|+≥2 ∴不等式∴﹣2≤2a﹣1≤2 ∴ 对一切非零实数x恒成立，等价于|2a﹣1|≤2 ∴实数a的取值范围是[﹣，] 故答案为：[﹣，]． 点评： 本题考查恒成立问题，考查基本不等式求最值，考查学生分析解决问题的能力，正确求最值是关键．

13．（5分）已知数列{an}中，a1=1，当n∈N，n≥2时，an=

+

，则数列{an}的通项公式an=

．

考点： 数列递推式． 专题： 计算题． 分析： 由an=，a1=1可得==且an＞0，结合等差数列的通项公式可求解答： 解：an=，进而可求an ，a1=1 ∴==，an＞0 即 ∴数列{}是以1为首项以1为公差的等差数列 ∴ ∴ 故答案为：点评： 本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项，解题的关键是对已知条件变形构造等差数列，体会构造思想的应用 14．（5分）各项均为正数的等比数列{an}满足a1a7=4，a6=8，若函数

的导数为f′（x），则

=

．

考点： 导数的运算；数列与函数的综合． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 利用等比数列和等差数列的通项公式、导数的运算法则即可得出． 解答： 解：由各项均为正数的等比数列{an}满足a1a7=4，a6=8，设公比为q＞0，于是，

解得， ∴∴f（x）=∵∴故答案为=． =n×2′． …+n﹣3， ×21﹣n=， =． =点评： 熟练掌握等比数列和等差数列的通项公式、导数的运算法则是解题的关键． 15．（5分）A，B，C是圆O上的三点，∠AOB=120°，CO的延长线与线段AB交于点D，若

（m，n∈R），则m+n的取值范围是 [﹣2，﹣1] ．

考点： 向量在几何中的应用． 专题： 计算题；平面向量及应用． 分析： 利用已知条件，两边平方，结合基本不等式，即可求得结论． 解答： 解：设圆的半径为1，则由题意m≤0，n≤0 ∵∴==2，|OC|=|OB|=|OA|=1，∠AOB=120°， =m+n+2mn?cos120°=（m+n）﹣3mn=1．

222∴（m+n）=1+3mn≥1， ∴m+n≤﹣1， ∵（m+n）=1+3mn≤1+（m+n）， ∴（m+n）≤4 ∴m+n≥﹣2 ∴m+n的取值范围是[﹣2，﹣1] 故答案为：[﹣2，﹣1] 点评： 本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 三、解答题（共75分） 16．（12分）已知m的取值范围．

，q：1﹣m≤x≤1+m，若非P是非q的必要不充分条件，求实数

222

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；逻辑联结词“非”． 专题： 计算题． 分析： 由题意得p：﹣2≤x≤10，．由此可知实数m的取值范围是{m|m≥9}． 解答： 解：由题意得p：﹣2≤x≤10．∵非p是非q的必要不充分条件， ∴q是p的必要不充分条件，∴p?q，q推不出p， ∴p不属于q∴∴m≥9； ∴实数m的取值范围是{m|m≥9}． 点评： 本题考查不等式的基本性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答． 17．（12分）在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，

．

（Ⅰ）求an与bn；

（Ⅱ）设cn=an?bn，求数列{cn}的前n项和Tn． 考点： 等比数列的通项公式；等差数列的通项公式；数列的求和． 专题： 综合题；等差数列与等比数列． 分析： （1）根据b2+S2=12，{bn}的公比，建立方程组，即可求出an与bn； （2）由an=3n，bn=3n﹣1，知cn=an?bn=n?3，由此利用错位相减法能求出数列{cn}的前n项和Tn． 解答： 解：（1）∵在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn， 等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，． n∴b2=b1q=q，，（3分） 解方程组得，q=3或q=﹣4（舍去），a2=6（5分） ∴an=3+3（n﹣1）=3n，bn=3n﹣1．（7分） （2）∵an=3n，bn=3n﹣1， n∴cn=an?bn=n?3， ∴数列{cn}的前n项和 23nTn=1×3+2×3+3×3+…+n×3， 234n+1∴3Tn=1×3+2×3+3×3+…+n×3， 23nn+1∴﹣2Tn=3+3+3+…+3﹣n×3 ==﹣n×3n+1 ， ﹣n×3n+1

∴Tn=×3n+1﹣． 点评： 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质和错位相减法的合理运用． 18．（14分）已知函数

．

（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；

（2）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a，b，c，若，f（A）=1，求b+c的最大值． 考点： 解三角形；三角函数中的恒等变换应用． 专题： 解三角形． 分析： （1）将f（x）解析式第一、三项结合，利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；由正弦函数的递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函数的递增区间； （2）由（1）确定的函数解析式，及f（A）=1，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，确定出sinA的值，及B+C的度数，用B表示出C，由a与sinA的值，利用正弦定理表示出b与c，代入b+c中，将表示出的C代入，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域即可求出正弦函数的最大值，即为b+c的最大值． 解答： 22解：（1）f（x）=cosx﹣sinx+2sinxcosx=cos2x+sin2x=2sin（2x+）， ∵ω=2，∴f（x）的最小正周期为T=π， 令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+（k∈Z），解得：kπ﹣，π+]，k∈Z； ）=， ≤x≤π+，k∈Z， 则f（x）的单调增区间为[kπ﹣（2）∵f（A）=2sin（2A+∴2A+∵a==，∴A=， ==）=1，∴sin（2A+， ，∴B+C=，sinA=∴由正弦定理得：==2， ∴b+c=2（sinB+sinC）=2[sinB+sin（=2（sinB+cosB）=2﹣B）]=2（sinB+）≤2， cosB+cosB） sin（B+． ∴当B=时，b+c最大为2点评： 此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的单调性，熟练掌

握定理及公式是解本题的关键． 19．（12分）已知函数

．

（1）当x∈[2，4]时．求该函数的值域；

（2）若f（x）≥mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围． 考点： 函数恒成立问题；二次函数在闭区间上的最值． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）令t=log4x，则可将函数在x∈[2，4]时的值域问题转化为二次函数在定区间上的值域问题，利用二次函数的图象分析出函数的最值，即可得到函数的值域； （2）令t=log4x，则可将已知问题转化为2t﹣3t+1≥2mt对t∈[1，2]恒成立，即对t∈[1，2]恒成立，求出不等号右边式子的最小值即可得到答案． 解答： 解：（1）， 此时，当t=时，y取最小值， ， 2当t=或1时，y取最大值0， ∴ （2）若f（x）≥mlog2x对于x∈[4，16]恒成立， 令t=log4x， 2即2t﹣3t+1≥2mt对t∈[1，2]恒成立， ∴易知对t∈[1，2]恒成立 在t∈[1，2]上单调递增 ∴g（t）min=g（1）=0， ∴m≤0． 点评： 本题考查的知识点是对数函数的性质，二次函数在闭区间上的最值问题，函数恒成立问题，函数的最值，是函数图象和性质的简单综合应用，难度中档 20．（15分）（2010?汕头模拟）如图，多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点．

（1）求证：MN∥平面CDEF； （2）求多面体A﹣CDEF的体积．

考点： 直线与平面平行的判定；由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 计算题；证明题． 分析： （1）通过三视图说明几何体的特征，证明MN平行平面CDEF内的直线BC，即可证明MN∥平面CDEF； （2）说明四边形 CDEF是矩形，AH⊥平面CDEF，然后就是求多面体A﹣CDEF的体积． 解答： 解：（1）证明：由多面体AEDBFC的三视图知，三棱柱AED﹣BFC中，底面DAE是等腰 直角三角形，DA=AE=2，DA⊥平面ABEF，侧面ABFE，ABCD都是边长为2的正方形． 连接EB，则M是EB的中点， 在△EBC中，MN∥EC， 且EC?平面CDEF，MN?平面CDEF， ∴MN∥平面CDEF． （2）因为DA⊥平面ABEF，EF?平面ABEF，∴EF⊥AD， 又EF⊥AE，所以，EF⊥平面ADE， ∴四边形 CDEF是矩形， 且侧面CDEF⊥平面DAE 取DE的中点H，∵DA⊥AE，DA=AE=2，∴， 且AH⊥平面CDEF． 所以多面体A﹣CDEF的体积． 点评： 本题是中档题，考查直线与平面平行的证明方法，几何体的体积的求法，考查计算能力． 21．（10分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R） （1）求f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）的图象在点（2，f）处切线的倾斜角为45°，且对于任意的t∈[1，2]，函数

在区间（t，3）上总不为单调函数，求m的取值范围．

考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系． 专题： 综合题；压轴题． 分析： （1）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间． （2）对函数求导，求出函数的单调区间，根据函数的单调区间得到若f（x）在[1，2]上不单调，只要极值点出现在这个区间就可以，得到对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，

从而求m的取值范围． 解答： 解：（1）， a＞0时，f（x）在（0，1]上单调递增，在[1，+∞）单调递减； a＜0时，f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）单调递增； a=0时，f（x）不是单调函数． （2）由f（′2）=1得a=﹣2，所以f（x）=﹣2lnx+2x﹣3，则故g′（x）=3x+（m+4）x﹣2 因为g（x）在（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2， ∴． 2， 由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立， 综上，． m的取值范围为：． 点评： 本题考查了函数的单调性，利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xap7.html