高考数学知识点复习测试题1-20

高考数学知识点复习测试题1

第2讲 等差数列

★ 知 识 梳理 ★

1.等差数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.

2.通项公式与前n 项和公式

⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.

⑵前n 项和公式2)(1n n

a a n S +=或d n n na S n )1(2

11-+=. 3.等差中项 如果b A a ,,成等差数列，那么

A 叫做a 与b 的等差中项. 即：A 是a 与b 的等差中项?b a A +=2?a ，A ，b 成等差数列.

4.等差数列的判定方法

⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）?{}n a 是等差数列；

⑵中项法：21

2+++=n n n a a a (+∈N n )?{}n a 是等差数列. 5.等差数列的常用性质

⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；

⑵在等差数列

{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .

⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a ) ⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；

⑸若等差数列

{}n a 的前n 项和n S ，则??????n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则n n a a S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；

当项数为)(12+∈-N n n ，则n

n S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇.

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式并能解决实际问题；理解等差中项的概念,掌握等差数列的性质.

2.难点：利用等差数列的性质解决实际问题.

3.重难点：正确理解等差数列的概念，灵活运用等差数列的性质解题.

⑴求等差数列的公差、求项、求值、求和、求n S 最值等通常运用等差数列的有关公式及其性质. 问题1：已知n m ≠,且n a a a m ,,,,321和n b b b b m ,,,,,4321都是等差数列，则=--2313b b a a 分析：问题转化为：在n m ,插入若干个数，使其成等差，利用等差数列公差的求法公式解答. 解析：设等差数列n a a a m ,,,,321和n b b b b m ,,,,,4321的公差分别是21,d d

则1132d a a =-，14d m n =-，∴2

13m n a a -=-， 同理，得5223m n d b b -==-，∴=--2313b b a a 2

5. ⑵求“首末项和为常数”的数列的和，一般用倒序相加法.

问题2：已知函数.424)(x x x f +=则 ①=+)3

2()31(f f ； ②=+++)2009

2008()20092()20091(f f f . 分析：①可以直接代入计算，也可以整体处理；②寻找规律，整体处理.

解析： x

x

x f 424)(+=，经计算，得1)1()(=-+x f x f ， ∴=+++)2009

2008()20092()20091(f f f 100411004=?.

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点1等差数列的通项与前n 项和

题型1已知等差数列的某些项，求某项

【例1】已知{}n a 为等差数列，20,86015==a a ，则=75a

【解题思路】可以考虑基本量法，或利用等差数列的性质 【解析】方法

1： 154,156420598141160115==????=+==+=d a d a a d a a ∴2415

474156474175=?+=

+=d a a 方法2： 15

44582015601560=-=--=a a d ， ∴241541520)6075(6075=?+=-+=d a a 方法3：令b an a n +=，则38,45162060815==???

?=+=+b a b a b a ∴243

84516757575=+?=+=b a a 方法4： {}n a 为等差数列，

∴7560453015,,,,a a a a a 也成等差数列，设其公差为1d ，则15a 为首项，60a 为第4项. ∴438203111560=?+=?+=d d d a a

∴2442016075=+=+=d a a

方法5： {}n a 为等差数列，∴),75(),,60(),,15(756015a a a 三点共线 ∴2415

204582060751560757560751560=?-=-?--=--a a a a a a 【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法.

题型2已知前n 项和n S 及其某项，求项数.

【例2】⑴已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ；

⑵若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n .

【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式d n a a n

)1(1-+=求出1a 及d ，代入n S 可求项数n ； ⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出n a a +1，代入n S 可求项数n .

【解析】⑴设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则3,186

893111-==????-=+=+d a d a d a ∴7,663)1(231821==?=--

=n n n n n S n ⑵ 124,363214321=+++=+++---n n n n a a a a a a a a

3423121---+=+=+=+n n n n a a a a a a a a

∴40160)(411=+?=+n n a a a a ∴39780207802

)(1=?=?=+=n n a a n S n n 【名师指引】解决等差数列的问题时，通常考虑两种方法：⑴基本量法；⑵利用等差数列的性质. 题型3求等差数列的前n 项和

【例3】已知n S 为等差数列

{}n a 的前n 项和，212n n S n -=. ⑴求

321a a a ++； ⑵求

10321a a a a ++++ ； ⑶求n

a a a a ++++ 321. 【解题思路】利用n S 求出n a ，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.

【解析】4. 212n n S n -=，

∴当1=n 时，1111211=-==S a ，

当2≥n

时，n n n n n S S a n n n 213)1()1(12)12(221-=-+---=-=-， 当1=n

时，1111213a ==?-， ∴n a n 213-=. 由0213≥-=n a n ，得213≤n ，∴当61≤≤n 时，0>n a ；当7≥n 时，0

27331223321321=-?==++=++S a a a a a a ； ⑵)(10987632110321a a a a a a a a a a a a +++-++++=++++

52)101012()6612(2222106=-?--?=-=

S S ； ⑶当61≤≤n 时，232132112n n a a a a a a a a n n -=++++=++++ ，

当7≥n 时，)(876321321n n a a a a a a a a a a a +++-++++=++++

.7212)12()6612(222226+-=---?=-=

n n n n S S n 【名师指引】含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.

【新题导练】

1.已知{}n a 为等差数列，q a p a n m ==,（k n m ,,互不相等），求k a . 【解析】

n m k m q n k p a n k q a n m q p n k a a n m a a k k n k n m --+-=?--=--?--=--)()( 2.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，100,7,141===n S a a ，则=n .

【解析】设等差数列的公差为d ，则23171414=-=--=a a d 101002)1(2

1=?=?-+

=n n n n S n . 3.已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为165，求这5个数.

【解析】设这5个数分别为.2,,,,2d a d a a d a d a ++--则 ?

??=+=????=+++++-+-=+++++-+-1651051165)2()()()2(5)2()()()2(2222222d a a d a d a a d a d a d a d a a d a d a 解得4,1±==d a

当4,1==d a 时，这5个数分别为：9,5,1,3,7--；

当4,1-==d a 时，这5个数分别为：.7,3,1,5,9--

4.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，10,10010010==S S ，求110S .

【解析】方法1：设等差数列的公差为d ，则??

???=-=????=+=+1001099

50111049501001004510111d a d a d a ∴1101091102

11101110-=??+=d a S ； 方法2： 2902

)(90100111001110100-=+?-=+=-a a a a S S ∴1102

)(1102)(110100*********-=+=+=a a a a S . 考点2 证明数列是等差数列

【例4】已知n S 为等差数列

{}n a 的前n 项和，)(+∈=N n n S b n n . 求证：数列{}n b 是等差数列.

【解题思路】利用等差数列的判定方法⑴定义法；⑵中项法.

【解析】方法1：设等差数列{}n a 的公差为d ，d n n na S n )1(2

11-+=， ∴d n a n S b n n )1(2

11-+==

∴2)1(2121111d d n a nd a b b n n =---+=-+（常数）

∴数列{}n b 是等差数列. 方法2： d n a n S b n n )1(2

11-+==

， ∴nd a b n 2

111+=+，d n a b n )1(2112++=+ ∴1111222)1(21)1(21++=+=-++++=+n n n b nd a d n a d n a b b ， ∴数列{}n b 是等差数列.

【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有：

⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）?{}n a 是等差数列；

⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )?{}n a 是等差数列；

⑶通项公式法：b kn a n +=（b k ,是常数）?{}n a 是等差数列；

⑷前n 项和公式法：Bn An S n

+=2（B A ,是常数，0≠A ）?{}n a 是等差数列. 【新题导练】

5.设n S 为数列

{}n a 的前n 项和，)(+∈=N n pna S n n ，.21a a = ⑴求常数p 的值；

⑵求证：数列{}n a 是等差数列.

【解析】⑴ n n

pna S =，21a a =，∴111=?=p pa a ⑵由⑴知：n n

na S =， 当2≥n 时，0))(1()1(111=--?--=-=---n n n n n n n a a n a n na S S a ， ∴)2(01≥=--n a a n n ，∴数列{}n a 是等差数列.

考点3 等差数列的性质

【例5】⑴已知n S 为等差数列

{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ； ⑵已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .

【解题思路】利用等差数列的有关性质求解.

【解析】⑴1100112

2112)(116611111==?=+=a a a a S ； ⑵方法1：令Bn An S n

+=2，则 n m m n B m n A n

Bm Am m Bn An -=-+-????=+=+)()(2222. m n ≠，∴1)(-=++B m n A ，

∴)()()(2n m n m B n m A S n m +-=+++=+；

方法2：不妨设n m >

m n a a n m a a a a a S S m n m m n n n n m -=+-=

+++++=-+-+++2))((11321 . ∴211-=+=+++m n n m a a a a ， ∴)(2))((1n m a a n m S n m n m +-=++=

++； 方法3： {}n a 是等差数列，∴?

?????n S n 为等差数列 ∴??

? ??++??? ????? ??+n m S n m m S m n S n n m m n

,,,,,三点共线. ∴)(n m S n

m n n m S n m n m m n n m n m +-=?-

+=--++. 【名师指引】利用等差数列的有关性质解题，可以简化运算.

【新题导练】

6.含12+n 个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ）

.A n n 12+ .B n n 1+ .C n n 1- .D n

n 21+ 【解析】（本两小题有多种解法） 2))(1(12112531++++=

++++=n n a a n a a a a S 奇 2)(222642n n a a n a a a a S +=

++++= 偶，n n a a a a 22121+=++∴n n S S 1+=偶奇.∴选B.

7.设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=5

5b a . 【解析】12652525514225143)12(2)12(7551212=+?-?=?+-=+-+-==--b a n n n n T S b a n n n n ∴填1265.

考点4 等差数列与其它知识的综合

【例6】已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，n n S n 211212+=；数列{}n b 满足：113=b ， n n n b b b -=++122，其前9项和为.153

⑴求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；

⑵设n T 为数列

{}n c 的前n 项和，)12)(112(6--=n n n b a c ，求使不等式57k T n >对+∈?N n 都成立的最大正整数k 的值.

【解题思路】⑴利用n a 与n S 的关系式及等差数列的通项公式可求；⑵求出n T 后，判断n T 的单调性.

【解析】⑴ n n S n 2

11212+=， ∴当1=n 时，611==S a ；

当2≥n 时，5)1(211)1(2121121221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n 当1=n 时，1651a ==+，∴5+=n a n ； 222

112+++++=?-=n n n n n n b b b b b b ，∴{}n b 是等差数列，设其公差为d .

则3,515336911211

1==????=+=+d b d b d b ， ∴23)1(35+=-+=n n b n .

⑵ [][]1)23(211)5(26)12)(112(6-+-+=--=n n b a c n n n 1

21121)12)(12(2+--=+-=n n n n ∴1211)121121()7151()5131()311(+-=+--++-+-+-=n n n T n +∈N n ，∴n T 是单调递增数列.

∴当1=n 时，()323111min =-

==T T n ∴57k T n >对+∈?N n 都成立()38573257min ?>?k k k T n ∴所求最大正整数k 的值为37.

【名师指引】本题综合考察等差数列、通项求法、数列求和、不等式等知识，利用了函数、方程思想，这是历年高考的重点内容.

【新题导练】

8.已知n S 为数列

{}n a 的前n 项和，31=a ，)2(21≥=-n a S S n n n . ⑴求数列

{}n a 的通项公式； ⑵数列{}n a 中是否存在正整数k ，使得不等式1+>k k

a a 对任意不小于k 的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k ，若不存在，说明理由.

【解析】⑴当2≥n 时，)(22111----=?=n n n n n n n S S S S a S S ∴21111-=--n n S S ，且3111=S ，∴{}n a 是以2

1-为公差的等差数列，其首项为31. ∴n

S n n S S n n 356635)1(21111-=?-=--= ∴当2≥n 时，)

53)(83(18211--==-n n S S a n n n 当1=n 时，11018)53)(83(18a ≠=--，∴?????≥--=)2()

53)(83(18)1(3n n n n ； ⑵0)23)(53)(83(181>---=-+k k k a a k k ，得3

532<k ， ∴当3≥k 时，1+>k k a a 恒成立，所求最小的正整数.3=k

★ 抢 分 频 道 ★

基础巩固训练

1.(2009广雅中学)设数列

{}n a 是等差数列，且28a =-，155a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则 A ．1011S S = B ．1011S S > C ．910S S = D ．910S S <

【解析】C ．1091521015216292)(,22S S a d a S d a a a a S =?++=++=+=

另法：由28a =-，155a =，得713815)8(5=---=d ，7

6921=-=d a a ，计算知910S S = 2.在等差数列{}n a 中，1205=a ，则=+++8642a a a a .

【解析】480 .480458642

==+++a a a a a 3.数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n .

【解析】24 由492-=n a n

知{}n a 是等差数列，.250>?>n a n ∴.24=n 4.已知等差数列{}n a 共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是 .

【解析】4 已知两式相减，得.4205=?=d d

5.设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = .

【解析】

1)1(2

1++n n 利用迭加法（或迭代法），也可以用归纳—猜想—证明的方法. 6.从正整数数列 ,5,4,3,2,1中删去所有的平方数，得到一个新数列，则这个新数列的第1964项是 .

【解析】2008 综合拔高训练

7.(2009广雅中学)已知等差数列

{}n a 中，21920,28a a a =-+=-. ⑴求数列

{}n a 的通项公式； ⑵若数列{}n b 满足2log n n a b =，设12n n T b b b =，且1n T =，求n 的值.

【解析】⑴设数列{}n a 的公差为d ，则2,2228

8220111=-=????-=+-=+d a d a d a ∴242)1(222-=-+-=n n a n

⑵ 242log 2-=n b n ，∴2422-=n n b

∴n n n n n n n b b b b T 24)1(24)321(232122-+-++++===

令(1)240n n n +-=，得23=n

∴当23n =时，.1=n T 8.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，.16,2541==a a

⑴当n 为何值时，n S 取得最大值；

⑵求208642a a a a a +++++ 的值；

⑶求数列{}n a 的前n 项和.n

T 【解析】⑴ 等差数列{}n a 中，.16,2541==a a ∴公差3141

4-=--=a a d

∴283+-=n a n ，令90283≤?>+-=n n a n

∴当9≤n 时，0>n a ；当9>n 时，0

∴208642a a a a a +++++ 20)9325(10102

)(1011202-=?-==+=a a a ； ⑶由⑴得，当9≤n 时，0>n a ；当9>n 时，0

32+-=n n 9.(2009执信中学)已知数列

{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈ ⑴证明：数列

{}1n n a a +-是等比数列； ⑵求数列

{}n a 的通项公式； ⑶若数列{}n b 满足12111*44...4(1)(),n n

b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列. 【解析】⑴证明：2132,n n n a a a ++=-

∴)(2112n n n n a a a a -=-+++, 3,121==a a ,∴

)(2112++++∈=--N n a a a a n n n n {}1n n a a +∴-是以21a a -2=为首项，2为公比的等比数列。 ⑵解：由（I ）得*12(),n n n a a n N +-=∈

112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+

12*22 (21)

21().

n n n n N --=++++=-∈ ⑶证明：1211144...4(1),n n b b b b n a ---=+12(...)42,n n b b b n nb +++-∴=

122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①

12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②

②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即，1(1)20.n n n b nb +--+= ③

21(1)20.n n nb n b ++-++=

④ ④－③，得2120,n n n nb nb nb ++-+= 即，2120,n n n b b b ++-+= *211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈ {}n b ∴是等差数列.

10.(2008北京）数列

{}n a 满足),2,1()(,1211 =-+==+n a n n a a n n λ，λ是常数. ⑴当12=a 时，求λ及3a 的值；

⑵数列{}n a 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由； ⑶求λ的取值范围，使得存在正整数m ，当m n >时总有0

【解析】⑴由于),2,1()(,1211

=-+==+n a n n a a n n λ，且11=a ， 所以当12

=a 时，得λ-=-21， 故3=λ.从而3)1()322(23-=-?-+=a . ⑵数列{}n a 不可能为等差数列.证明如下： 由11=a ，n n a n n a )(21λ-+=+得

).2)(6)(12(),2)(6(,2432λλλλλλ---=--=-=a a a 若存在λ，使{}n a 为等差数列，则1223a a a a -=-，即 .31)2)(5(=?-=--λλλλ

于是.24)2)(6)(11(,213412-=---=--=-=-λλλλa a a a 这与{}n a 为等差数列矛盾，所以，对任意λ，{}n a 都不可能是等差数列.

⑶记),2,1(2 =-+=n n n b n λ根据题意可知，01λ且

)(2+∈+≠N n n n λ，这时总存在+∈N n ，满足：当 n n ≥时，b n ＞0；当1-≤ n n 时，.0

所以，由n n n a b a =+1及011>=a 可知，若 n 为偶数，则0< n a ，从而当 n n >时0 n a ，从而当 n n >时.0>n a 因此“存在+∈N m ，当m n >时总有0

记),2,1(2 ==k k n ，则λ满足：???<--+-=>-+=-0

12)12(02)2(21222λλk k b k k b k k 故λ的取值范围是).(242422+∈+<<-N k k k k k λ

高考数学知识点复习测试题2

第3讲 等比数列

★ 知 识 梳理 ★

1.等比数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数

列，常数q 称为等比数列的公比.

2.通项公式与前n 项和公式

⑴通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 .

⑵前n 项和公式：①当1=q 时，1na S n =

②当1≠q 时，q

q a a q q a S n n n --=--=11)1(11. 3.等比中项

如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.

即：G 是a 与b 的等差中项?a ，

A ，b 成等差数列?b a G ?=2. 4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：q a a n

n =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）?{}n a 是等比数列； ⑵中项法：221++?=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ?{}n a 是等比数列.

5.等比数列的常用性质

⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；

⑵在等比数列

{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为k q .

⑶),(+-∈?=N m n q a a m n m n

⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ?=?；

⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列.

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式、前n 项和公式并能解决实际问题；理解等比中项的概念,掌握等比数列的性质.

2.难点：利用等比数列的性质解决实际问题.

3.重难点：正确理解等比数列的概念，灵活运用等比数列的性质解题.

⑴求等比数列的公比、、求值、判定等比数列等通常运用等比数列的概念、公式及其性质. 问题1：已知等比数列{}n a 的前n 项和1-=n n p S (p 是非零常数),则数列{}n a 是( )

A.等差数列

B.等比数列

C.等差数列或等比数列

D.非等差数列

分析：先由n S 求出n a ，再根据等差、等比数列定义作出判定.

解析： 1-=n n p S ，∴)2()1(11≥-=-=--n p p S S a n n n n

∴当,1≠p 且0≠p 时，{}n a 是等比数列；∴当0=p 时，{}n a 是等差数列，选C.

⑵求实数等比数列的中项要注意符号，求和要注意分类讨论.

问题2：若实数数列4,,,,1321a a a 是等比数列，则=2

a . 分析：本题容易错认为，由等比数列的等比中项公式4122

?=a ，得.22±=a 解析： 4,,,,1321a a a 是等比数列，∴4122

?=a ，得.22±=a 又21,,1a a 是等比数列，∴R a a a ∈?=1221

,1，∴22=a .

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点1等比数列的通项与前n 项和

题型1已知等比数列的某些项，求某项

【例1】已知{}n a 为等比数列，162,262==a a ，则=10a

【解题思路】可以考虑基本量法，或利用等比数列的性质

【解析】方法1： 81162

2451612=????====q q a a q a a ∴13122

81162469110=?===q a q a a 方法2： 812162264===a a q ，∴13122811624610=?==q a a 方法3： {}n a 为等比数列 ∴13122216222261026102===?=?a a a a a a

【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法.

题型2 已知前n 项和n S 及其某项，求项数.

【例2】⑴已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，93=n S ，48=n a ，公比2=q ，则项数=n . ⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.

【解题思路】⑴利用等比数列的通项公式11-=n n q a a 及q

q a S n n --=1)1(1求出1a 及q ，代入n S 可求项数n ；⑵利用等差数列、等比数列设出四个实数代入已知，可求这四个数.

【解析】⑴由93=n S ，48=n a ，公比2=q ，得532248

293)12(111=?=????=?=--n a a n n n . ⑵方法1：设这四个数分别为d c b a ,,,，则???????=+=+=+=36

37

22c b b a bd c c a b ；

方法2：设前2个数分别为b a ,，则第43、个数分别为a b --3736，，则

???-=-+-=)

37()36()36(22a b b a b b ，解得???==1612b a 或?????==4

81499b a ； 方法3：设第32、个数分别为c b ，，则第1个数为c b -2，第1个数为b c 2

，则

???==??????=++-20163622c b c b b c c b 或?????==4

63481c b ； 方法4：设第32、个数分别为c b ，，设第4,1个数分别为c

a c c a ++2

2,2； 方法5：设第43、个数分别为d c ,，则设第2,1个数分别为c d --36,37，则

???===????-=+-=-25

1620)36()37()36(22d c c d c c d c 或.449,463==d c 【名师指引】平时解题时，应注意多方位、多角度思考问题，加强一题多解的练习，这对提高我们的解题能力大有裨益.

题型3 求等比数列前n 项和

【例3】等比数列 ,8,4,2,1中从第5项到第10项的和.

【解题思路】可以先求出10S ，再求出4S ，利用410

S S -求解；也可以先求出5a 及10a ， 由10765,,,,a a a a 成等比数列求解.

【解析】由2,121==a a ，得2=q ， ∴102321)21(11010=--=S ，152

1)21(144=--=S ，∴.1008410=-S S 【例4】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，13233331-+++++=n n a ，求n S

【解题思路】可以先求出n a ，再根据n a 的形式特点求解.

【解析】 2

12331)31(133331132-=--=+++++=-n n n n a ， ∴n n S n n n 2

131)31(32121)3333(2132---?=-++++= 即.4

32143--=n S n n 【例5】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，n n n a 3)12(?-=，求n S .

【解题思路】分析数列通项形式特点，结合等比数列前n 项和公式的推导，采用错位相减法求和.

【解析】 n n n a 3)12(?-=

∴n n n S 3)12(35333132?-++?+?+?= ，----------------①

14323)12(3)32(3533313+?-+?-++?+?+?=n n n n n S -------------②

①—②，得14323)12()3333(232+?--+++++=-n n n

n S 63)22(3)12(3

1)31(923111-?-=?----?+=++-n n n n n ∴.33)1(1+?-=+n n n S

【名师指引】根据数列通项的形式特点，等比数列求和的常用方法有：公式法、性质法、分解重组法、错位相减法，即数列求和从“通项”入手.

【新题导练】

1.已知{}n a 为等比数列，6,3876321=++=++a a a a a a ，求131211a a a ++的值.

【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，

6,3876321=++=++a a a a a a ，∴23

216545=++++=a a a a a a q ，∴131211a a a ++； 2.如果将100,50,20依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为 .

【解析】设这个常数为x ，则x x x +++100,50,20成等比数列，

∴)100)(20()50(2x x x ++=+，解得45=x ，∴1741852054

5204550==++=q . 3.已知n S 为等比数列

{}n a 的前n 项和，364,243,362===n S a a ，则=n ； 【解析】3,1243

3151612==????====q a q a a q a a 或3,11-=-=q a ， 当3,11==q a 时，63643

1)31(1=?=--=n S n n ； 当3,11-=-=q a 时，[]

n S n

n ?=+---=36431)3(11无整数解. 4.已知等比数列{}n a 中，21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 .

【解析】∵等比数列()n a 中21a = ∴312321111S a a a a q q q q ??=++=++=++ ??

? ∴当公比0q >

时，31113S q q =++

≥+=； 当公比0q <

时，31111S q q ??=---≤-=- ???， ∴(][)3,13,S ∈-∞-+∞

5.已知n S 为等比数列

{}n a 前n 项和，0>n a ，80=n S ，65602=n S ，前n 项中的数值最大的项为54，求100S .

【解析】由0>n a ，80=n S ，65602=n S ，知1≠q ， ∴.65601)1(,801)1(2121=--==--=q

q a S q q a S n n n n ∴81821122=?=--=n n n

n n q q

q S S ，∴1>q ,又 前n 项中的数值最大的项为: 5411==-n n q a a ，∴3

21=q a ，∴.133,21001001-=?==S q a 考点2 证明数列是等比数列

【例6】已知数列{}n a 和{}n b 满足：λ=1a ，4321-+=+n a a n n ，)213()1(+--=n a b n n n ，其中λ为实数，+∈N n .

⑴ 对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列；

⑵ 试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论.

【解题思路】⑴证明数列

{}n a 不是等比数列，只需举一个反例；⑵证明数列{}n b 是等比数列，

常用：①定义法；②中项法. 【解析】⑴ 证明：假设存在一个实数λ，使

{}n a 是等比数列，则有3122a a a ?=， 即,0949

49494)494()332(222=?-=+-?-=-λλλλλλλ矛盾. 所以{}n a 不是等比数列.

⑵ 解：因为[]21)1(3)1()213()1(11++--=+--=++n a n a b n n n n n

[])1423

2()1(183)1(111+--=+--=

+++n a n a n n n n n n n b n a 3

2)213()1(321-=+--=+ 又)18(11+-=λb ，所以

当)(0,18+∈=-=N n b n λ，此时{}n b 不是等比数列；

当)8(,181+-=-≠λλb 时，由上可知)(32,01++∈-=∴≠N n b b b n n n ，此时{}n b 是等比数列. 【名师指引】等比数列的判定方法： ⑴定义法：q a a n

n =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）?{}n a 是等比数列； ⑵中项法：221

++?=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ?{}n a 是等比数列.

【新题导练】 6.已知数列{}n a 的首项123

a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．证明：数列1{1}n a -是等比数列；

【解析】 121n n n a a a +=+，∴ 111111222n n n n

a a a a ++==+?， ∴ 11111(1)2n n a a +-=-，又123

a =，∴11112a -=， ∴数列1{1}n a -是以12为首项，12为公比的等比数列. 考点3 等比数列的性质

【例7】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 .

【解题思路】结合题意考虑利用等比数列前n 项和的性质求解.

【解析】 {}n a 是等比数列，∴n n n n n S S S S S 232,,--为等比数列， ∴318236)60(5433=

?=-n n S S . 【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法. 【新题导练】

7.已知等比数列

{}n a 中，36)2(,04624=++>a a a a a n ，则=+53a a . 【解析】 {}n a 是等比数列，0>n a

∴?=+?=++36)(36)2(2534624a a a a a a 653=+a a .

考点4 等比数列与其它知识的综合

【例8】设n S 为数列

{}n a 的前n 项和，已知()21n n n ba b S -=- ⑴证明：当2b =时，

{}12n n a n --?是等比数列； ⑵求{}n a 的通项公式

【解题思路】由递推公式

{}0,,=n a S n n 求数列的通项公式)(n f a n =，主要利用： ???≥-==-)2()1(11n S S n S a n n

n ，同时注意分类讨论思想. 【解析】由题意知1

2a =，且 ()21n n n ba b S -=-，()11121n n n ba b S +++-=- 两式相减，得()()1121n n n n b a a b a ++--=-，即 12n n n a ba +=+ ①

⑴当2b =时，由①知 122n n n a a +=+

于是 ()()1122212n n n n n a n a n +-+?=+-+? ()12

2n n a n -=-? 又111210n a --?=≠，所以{}1

2n n

a n --?是首项为1，公比为2=q 的等比数列。 ⑵当2

b =时，由（Ⅰ）知1122n n n

a n ---?=，即()112n n a n -=+ 当2

b ≠时，由①得 1111122222n n n n n a ba b b

+++-

?=+-?-- 22n n b ba b =-?-122n n b a b ??=-? ?-??

因此 11112222n n n n a b a b b ++??-?==-? ?--??()212n b b b -=?- 得 ()121122222n n n n a b b n b -=??=???+-≥???-?

【名师指引】退一相减是解决含有n S 的递推公式的重要手段，使其转化为不含n S 的递推公式，从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式时，重视首项是否可以吸收是易错点，同时重视分类讨论，做到条理清晰是关键.

【新题导练】

8.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N .

⑴ 设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；

⑵ 若)(1++∈≥N n a a n n ，求a 的取值范围．

【解析】⑴依题意，113n n n

n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+， 由此得1132(3)n n n n S S ++-=-．因此，所求通项公式为

13(3)2n n n n b S a -=-=-，+∈N n ． ① ⑵ 由①知 13(3)2n n n

S a -=+-，+∈N n ，于是， 当2≥n 时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-?---?

1223(3)2n n a --=?+-，

????????-+??? ???=?-+?=-----+3231222)3(3

422211a a a a n n n n n n ， 当2≥n 时，?≥+n n a a 19032312222-≥?≥???

?????-+??? ???--a a n n ，又2113a a a =+>． 综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，．

★ 抢 分 频 道 ★

基础巩固训练

1.设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，则数列{}n a 前7项的和为（ ）

.A 63 .B 64 .C 127 .D 128

【解析】C. 由16,151==a a ，得16154==a a q ，2=q ，.1271)1(717=--=q

q a S 2.设等比数列{}n a 的公比2q =， 前n 项和为n S ，则42

S a =（ ） .A 2 .B 4 .C 215 .D 2

17 【解析】C. .2

15)1(2211)1(1441124=-?-=--?=q q a q a a S 3.已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ）

.A 64 .B 81 .C 128 .D 243

【解析】A.22

132=++=a a a a q ，∴13111=?=+a q a a ，.6421177=?=-a 4.已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a =（ ）

A ．342n

??? ??? B ．243n ??? ??? C ．1342n -??? ??? D ．1243n -??? ???

【解析】C.5)4)(1()1(2=?+-=+a a a a ，23,41==q a ，∴1)23(4-?=n n a 5.已知{}n a 是等比数列，4

1252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（ ）

.A )41(16n -- .B )21(16n --

.C )41(332n -- .D )21(3

32n -- 【解析】C ． 4

1252==a a ，，∴.21,41==q a =++++13221n n a a a a a a )41(332n -- 6.(2009广雅中学)在等比数列中，已知910(0)a a a a +=≠，1920a a b +=，则99100a a += . 【解析】9

8b a ．利用100992019109,,,a a a a a a +++ 成等比数列，得99100a a +=98b a

综合拔高训练

7.(2009执信中学)

等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．

【解析】解：设数列{}n a 的公差为d ，则

3410a a d d =-=-， 642102a a d d =+=+， 1046106a a d d

=+=+． 由3610a a a ，，成等比数列得2310

6a a a =， 即2(10)(106)(102)d d d -+=+， 整理得210100d

d -=， 解得0d =或1d =． 当0d =时，20420200S a ==；当1d =时，14310317a a d =-=-?=， 于是20

12019202S a d ?=+207190330=?+=． 8.(2009金山中学)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1(1)3

n n S a n N *=-∈； ⑴求1a ，2a 的值；

⑵证明数列{}n a 是等比数列，并求n S ．

【解析】⑴由 111(1)3S a =- 得 112a =-