第2-3次作业答案（平面力系）

第1章 刚体的受力分析

5. 一齿轮受到与它相啮合的另一齿轮的作用力 Fn =1000N，齿轮节圆直径

D=0.16m，压力角（啮合力与齿轮节圆切线间的夹角）

，求啮合力Fn对轮心O之矩。

解：解法一 利用定义式计算

解法二 利用合力矩定理计算

将合力Fn在齿轮啮合点处分解为圆周力Ft和Fr，则

由合力矩定理得：

6. 刹车踏板如图所示，已知F=300N，与水平线夹角? =30o，a=0.25m，b=c=0.05m，推杆顶力为水平方向。试求踏板平衡时，推杆顶力Fs的大小。

解：踏板AOB为绕定轴O转动的杠杆，力F 对O点矩与力FS对O点矩平衡。

力F作用点A坐标为 x?b?0.05m力F在 x﹑y 轴上的投影为

???Fx??Fcos30??260N??F??Fsin30??150N?y?y?a?0.25m力F对O点的矩

MO(F)?xFy?yFx?[0.05?(?150)?0.25?(?260)]N?m?57.5N?mOi i?1由杠杆平衡条件

M(F)57.5得到 F?o?N?1149N?Mcn(F)?0

S0.057．两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 F1= F2=1.5 kN，F3 =F4= 1 kN，求作用在板上的合力偶矩。

解：由式 M = M1 + M2

则

M =-F1 · 0.18 –F3 · 0.08 =-350 N· m

负号表明转向为顺时针。

第2-3章 平面力系

平面汇交力系和力偶系

1. 圆柱的重量G=2.5kN，搁置在三角形槽上，如图所示。若不计摩擦，试用几何法求圆柱对三角槽壁A、B处的压力。

解：（1）画圆柱受力图，如图2-1a所示，其中重物重力G垂直向下，斜面约束反力FNA、FNB沿分别垂直与各自表面。

a) b)

图2-1

（2）选比例尺，如图2-1b所示。

（3）沿垂直方向作ab代表重力G，在a点作与ab夹角为400的射线ac，在b点作与ab夹角为600的射线bc，得到交点c。则bc、ca分别代表FNA和FNB。量得bc、ca的长度，得到FNA=1.63kN、FNB=2.2kN。

2. 如图所示，简易起重机用钢丝绳吊起重量G=10kN的重物。各杆自重不计，A、B、C三处为光滑铰链联接。铰链A处装有不计半径的光滑滑轮。求杆AB和AC受到的力。

解：画A处光滑铰链销钉受力图（见图2-2），其中 重物重力G垂直向下；

AD绳索拉力FT沿AD方向，大小为G； AB杆拉力FBA沿AB方向；

AC杆受压，推力FCA沿CA方向。

以A为原点建立Axy坐标系，由平衡条件得到如下方程：

图2-2

?Fix?0,i?1nFCAsin450?FBA?FTsin300?0 (a)

?Fiy?0,i?1nFCAcos450?FTcos300?G?0 (b)

由(b)式得FCAG(cos300?1)??26.4kN，代入（a）式得 0cos45FBA?FCAsin450?FTsin300?26.4?0.707?10?0.5?13.66kN

所以杆AB受到的力FBA?13.66kN，为拉力；杆AC受到的力FCA?26.4kN，为压力。

3. 锻压机在工作时，如图所示，如果锤头所受工件的作用力偏离中心线，就会使锤头发生偏斜，这样在导轨上将产生很大的压力，加速导轨的磨损，影响工件的精度。已知打击力P=150kN，偏心距e=20mm,锤头高度h=0.30m。试求锤头加给两侧导轨的压力。

解：画锤头受力图，如图2-3所示，锤头受打击力F=150kN，工件的反作用力F’，两侧导轨的对锤头压力FN1、FN2。由平衡条件得到：

?Fix?0,i?1nFN1?FN2；

?Fiy?0,i?1nF'?F

（FN1、FN2）构成一力偶，力偶矩M1?FN1?h；（F’、F）构成一力偶，力偶矩M2?Fe。由平面力偶系平衡条件得：

图2-3

FN1?FN2?Fe/h=10kN

''故锤头加给两侧导轨的压力大小为FN1=FN2=10kN，方向与FN1、FN2相反。

平面一般力系

4. 拖车的重量W=250kN，牵引车对它的作用力F=50kN，如图所示。当车辆匀速直线行驶时，车轮A、B对地面的正压力。

图2-4

解：画拖车受力图，如图2-4所示，拖车受6个力的作用：

牵引力F，重力G，地面法向支撑力FNA、FNB，摩擦力FA、FB。 由平面一般力系平衡条件得到：

?Fix?0,i?1nn?FA?FB?F?0

?Fiy?0,i?1nFNA?FNB?G?0

?MA(Fi)?0,i?1FNB?(4?4)?G?4?F?1.5?0

联立上述三式，解得FNB?134.4kN,FNA?115.6kN。所以当车辆匀速直线行驶时，车轮A、B对地面的正压力分别为115.6kN、134.4kN。

5. 图中所示飞机起落架，已知机场跑道作用于轮子的约束反力ND铅直向上，作用线通过轮心，大小为40kN。图中尺寸长度单位是毫米，起落架本身重量忽略不计。试求铰链A和B的约束反力。

解：取轮子和AC为分离体，画轮子和 AC杆受力图（见图2-5），分离体受到： 机场跑道作用于轮子的约束反力FND， 铅直向上；

A处受到光滑铰链销钉的作用力FAx、FAy； BC杆为二力杆，故分离体C点受到BC杆 作用力FBC沿CB方向，假设为拉力。 由tan??500?1000，解得??31.6。

650n

图2-5

由平面一般力系平衡条件得到：

?Fix?0,i?1FAx?FBCsin??FNDsin150?0

?Fiy?0,i?1nnFAy?FBCcos??FNDcos150?0

?MO(Fi)?0,i?1?FAx?(600?650)?FBCcos??100?FBCsin??600?0

联立上述三式，解得铰链A的约束反力FAx=-15.57kN,FAy=-64.5kN，BC杆对C点作用力FBC=28.8kN。所以铰链B的约束反力FB=FBC=28.8kN，方向与FBC相同。

静定与超静定问题、物系的平衡

6. 下图所示的6种情形中哪些是静定问题？哪些是静不定问题？

解：（a）静不定问题； （d）静不定问题； （b）静定问题； （e）静定问题； （c）静不定问题； （f）静定问题

7. 试求如图所示静定梁在支座A和C处的全部约束反力。其中尺寸d、载荷集度q、力偶M已知。

（1）

（2）

?Fix?0,i?1nFAx?0

?Fiy?0,i?1nFAy?F1'?F2'?FNB?0, FAy=53.8kN

n取AC梁为研究对象，由?MC(Fi)?0得：

i?1MA?FAy?4?F1'?1?0，MA=205kN?m

所以A两处的约束反力FAx?0 ，FAy=53.8kN ，MA=205kN?m；B两处的约束反力FNB=6.25kN。

14. 平面桁架的荷载及结构尺寸如下图所示，求各杆的内力。

先求支座反力：

n

图2-14a

以整体桁架为研究对象，参见图2-14a，由?MA(Fi)?0得到

i?1

?30?3?20?(3?4)?20?3?FB?(3?4?3)kN?m?0, FB?29kN

由?Fiy?0得到：

i?1nFA?(?30?20)kN?FB?0， FA=21kN

??arctan?450,??arctan?36.90

求各杆内力：作A、C、D、E、H、B节点受力图，如图2-14b所示，对各杆均假设为拉力，从只含两个未知力的节点开始，逐次列出各节点的平衡方程，求出各杆内力。

3334

图2-14b

节点A：

?Fiy?0,i?1nnFA?FN7sin??0,FN7??FA/sin???29.7kN（压）

?Fix?0， FN7cos??FN9?0， FN9??FN7cos??41kN

i?1节点C：

?Fix?0， FN4?FN7cos??0， FN4?FN7cos???21kN（压）

i?1n?Fiy?0,i?1n?FN7sin??FN8?0,FN8??FN7sin??21kN

节点D：

?Fiy?0, FN8?FN5sin??30kN?0， FN5?15kN

i?1n?Fix?0， FN5cos??FN6?FN9?0， 即FN6?29kN

i?1n节点H：

?Fiy?0, FN5?0

i?1n?Fix?0， FN2?FN6?29kN

i?1n节点B：

?Fix?0， ?FN2?FN1cos??0， FN1??FN2/cos??41kN

i?1n?Fiyi?1n?0以及节点E的平衡方程可作为校核计算结果的正确性。

将计算结果列表如下： 杆号 内力大小/kN 内力 性质 1 41 压力 2 29 拉力 3 0 4 21 压力 5 15 拉力 6 29 拉力 7 29.7 压力 8 21 拉力 9 41 拉力 15. 求下图所示桁架中1、2、3各杆的内力，F为已知，各杆长度相等。

(a)

(b)

图2-15

a，以整体桁架为研究对象，如图2-15a所示。

解：先求支座反力

nF 由?MA(Fi)?0得到： ?2F?1.5a?F?2.5a?FB?4a?0, FB?1.375i?1由?Fiy?0得到： FA?2F?F?FB?0， FA?1.625F

i?1n用假想截面将桁架截开，取左半部分，受力图如图2-15b所示，由平衡条件得到：

?MC(Fi)?0， ?FA?2a?2F?0.5a?FN1?asin??0，FN1??2.6F

i?1n?Fiyi?1n?0， FA?2F?FN2sin??0，FN2??(FA?2F)/sin??0.433F

?Fix?0， FN3?FN2cos??FN1?0， FN3??FN2cos??FN1?2.38F

i?1n所以桁架中１、２、３各杆的内力分别为FN1??2.6F（压），FN2?0.433F，

FN3?2.38F。

考虑摩擦时的平衡问题

16. 一物块重G=100 N，受水平力F=500 N作用，物块与墙面间的静摩擦因数为fs = 0.3（1）问物块是否静止，并求摩擦力的大小；（2）物块与墙面间的静摩擦因数为fs为多大物块可平衡？

解：（1）做物块受力图如图2-16所示

图2-16

?F?Fx?0FN?F?0FN?F?500N

y?0F1?W?0F1?W?100N

Fmax?fSFN?0.3?500?150N

因为F1?Fmax，所以物块处于平衡状态，摩擦力为F1，即100N。 （2）用摩擦关系式求fs的取值范围。 令F1?fSFN 解得：fS?0.2

17. 重物块重G，与接触面间的静摩擦系数为fs，力F与水平面间夹角为?，要使重物块沿着水平面向右滑动，问图示两种情况，哪种方法省力？

(a) (b)

解：重物块受力分析如图2-17所示。

is?FSx?fs??G?F?nis?? 图（a）：FN?G?F?nma图2-17

is?图（b）：FN?G?F?n故图（b）省力。

FSx?fs??G?F?nis?? ma

18. 如图所示，置于V型槽中的棒料上作用一力偶，当力偶的矩M=15N·m时，刚好能转动此棒料。已知棒料重P=400N，直径D=0.25m，不计滚动摩阻，求棒料与V型槽间的静摩擦因数fs。

解：取圆柱体为研究对象，受力如右图。列平衡方程： ?Fx?0，FSB?FNA?Pcos45??0 ?Fy?0，FNB?FSA?Psin45??0 ?MO?0，FSA摩擦定律： FSA?fsFNA

DD?FSB?M?0 22

FSB?fsFNB fs?2以上5式联立，解fs，可化得：

PDfscos45??1?0 M代入所给数据得：

2 fs?4.71fs?1?0

解得： fs?0.223

19. 如图所示，铁板重2kN，其上压一重5kN的重物，拉住重物的绳索与水平面成30°角，今欲将铁板抽出。已知铁板和水平面间的摩擦因数f1=0.20，重物和铁板间的摩擦因数f2=0.25，求抽出铁板所需力F的最小值。

解：画物块A的受力图（见图2-19a），

抽出铁板B时，铁板对重物A的摩擦力

FBA= f2FNB (a)

(a) (b)

图2-19

由平衡条件得到

?Fix?0， FBA?FTcos300?0 (b)

i?1n?Fiyi?1n?0， FTsin300?5kN?FNB?0 (c)

代(a)式入(b)式得

FNB?3.46FT (d)

由(c)、(d) 式得FT?1.26kN,FNB?4.36kN,FBA?1.09kN。

画物块B的受力图（见图2-19b）,由作用反作用定律可知：FAB=FBA，FNB=FNA。抽出铁板B时，地面对铁板的摩擦力

F??f1FN?0.2FN

由平衡条件得到

?Fix?0， F?FAB?F??0, F?1.09kN?0.2FNi?1n?0 (e)

?Fiyi?1n?0 FN?FNA?2kN?0, FN?6.36kN (f)

代 (f) 入(e)式得

F?2.36kN

所以抽出铁板B所需力F的最小值为2.36kN。

20. 起重绞车的制动器由有制动块的手柄和制动轮所组成，如图4—20所示。已知制动轮半径Ｒ＝0.5m，鼓轮半径r＝0.3ｍ，制动轮与制动块间的摩擦因数f＝0.4，提升的重量G＝1kN，手柄长l＝3m，a＝0.6m，b＝0.1m，不计手柄和制动轮的重量，求能够制动所需力F的最小值。

(a)

图2-20

(b)

解：取制动轮和重物为分离体。重物受力图如图2-20a所示，

由?MO(Fi)?0得到?F1R?Gr?0， 即 F1?Gr/R= 0.6kN

i?1n临界状态时摩擦力F1?fFN，即 FN?F1/f?Gr=1.5kN fR''讨论手柄，如图2-20b所示。由作用反作用定律可知：F1?F1，FN?FN。由

?MA(Fi)?0得到：?Fl?F1'b?FN'a?0

i?1n将F1、FN以及l、a、b的数值代入上式，得到F=280N。

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