信号分析第二章答案

信号分析与处理的课后习题答案是高等教育出版社的教科书

第二章习题参考解答

2.1 求下列系统的阶跃响应和冲激响应。 (1) y(n)

1

y(n 1) x(n) 3

1

h(n 1) (n) 3

解 当激励为 (n)时，响应为h(n)，即：h(n) 由于方程简单，可利用迭代法求解：h(0)

1

h( 1) (0) 13，

h(1)

111

h(0) (1) h(0) 333，

2

11 1 h(2) h(1) (2) h(1)

333 …，

1

由此可归纳出h(n)的表达式：h(n) ()n (n)

3

利用阶跃响应和冲激响应的关系，可以求得阶跃响应：

11 ()n 1

1311s(n) h(k) ()k [ ()n] (n)

1223k k 031 3

n

n

(2) y(n)

1

y(n 2) x(n) 4

解 (a)求冲激响应

11

h(n 2) (n)，当n 0时，h(n) h(n 2) 0。 44

111

特征方程 2 0，解得特征根为 1 , 2 。所以：

42211

h(n) C1()n C2( )n …(2.1.2.1)

22

11

通过原方程迭代知，h(0) h( 2) (0) 1，h(1) h( 1) (1) 0，代入式

44

h(n) (2.1.2.1)中得：

C1 C2 1

11

C1 C2 0 22

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解得C1

1 C2

2， 代入式(2.1.2.1)： h(n) 12(12)n 12( 1

2

)n,n 0 …(2.1.2.2)

可验证h(0)满足式(2.1.2.2)，所以：

h(n) 1[(1)n ( 1222

)n] (n)

(b)求阶跃响应

通解为 s11c(n) C1(2)n C2( 2

)n

特解形式为 s1p(n) K，sp(n 2) K，代入原方程有 K 4K 1，完全解为 s(n) s1

14c(n) sp(n) C1(2)n C2( 2)n 3

通过原方程迭代之s(0) 1，s(1) 1，由此可得

C4

1 C2

3

1 12C14

1 2C2 3

1 解得C11

1 2，C2 6

。所以阶跃响应为：

n

s(n) h(k) [41111

k 0

3 2(2)n (6)( 2)n] (n)

(3) y(n) x(n) 2x(n 1) x(n 2)

解 h(n) (n) 2 (n 1) (n 2)

n

s(n) h(k) (n) 2 (n 1) (n 2)

k 0

(4)

dy(t)

dt 5y(t) x(t) 解 dh(t)dt

5h(t) (t)

当t>0时，原方程变为：dh(t)

dt

5h(t) 0。

h(t) ce 5t

(t) …(2.1.3.1)

h'(t) 5ce

5t

(t) ce 5t (t) 5ce 5 (t) c (t) …(2.1.3.2)

即K 43

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将(2.1.3.1)、 (2.1.3.2)式代入原方程，比较两边的系数得：c 1

h(t) e 5t (t)

阶跃响应：s(t)

t

t1 5

h( )d e ( )d [1 e 5t] (t)

5

2.2 求下列离散序列的卷积和x(n)*h(n)。

1 1

(1) x(n)

1 0

解 用表格法求解

n 1n 0

n 1

其它

1 0 h(n) 2

1 0

n 0n 1n 2 n 3

其它

n 0

(2) x(n) 1,0,1,2

n 2

h(n) 2,1,1, 1

n

1

解 用表格法求解

n 0

(3) x(n)和 h(n)如题图2.2.3所示

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n x(n)

1 1

n

h(n)

解 用表格法求解

题图2.2.3

(4) x(n) (n) (n 1) 解

h(n) (n) (n 6)

n 0

x(n) h(n) (n) (n 6

) (n 1) (n 7) (n

) (n 6) 2[ (n 1) (n 6)]

(5) x(n) (n 2) (n 5)

解 x(n) h(n) ()n 2 (n 2) ()n 5 (n 5)

(6) x(n) (n 2) (n 5) 解 参见右图。

当n 4时：x(n) h(n) 0 当 3 n 3时：

n 2

1

h(n) ()n (n)

2

12

12

h(n) (n 1) (n 8)

x(n) h(n)

m 1

x(n m)h(m) n 4

n 2m n 4

当4 n 5时：x(n) h(n) 当6 n 11时：

x(n m)h(m) 7

x(n) h(n)

m n 4

x(n m)h(m) 12 n

7

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当n 11时：x[n] h[n] 0

x(n) h(n) 0 n 4 7

x(n) h(n)

12 n 0

3 n 3

4 n 5 6 n 11n为其它值

(7) x(n) n[ (n) (n 3)]， h(n) (n) (n 5) 解 参见右图：

当n 0时：x(n) h(n) 0 当0 n 2时： x(n) h(n)

m 02

x(m)h(n m) m

m 02

nn

(1 n)n

2

当3 n 4时：x(n) h(n) 当5 n 6时：x(n)

h(n)

m 02

x(m)h(n m) m 3

m 0

m n 4

x(m) h(n m) m

m n 4

2

(n 4 2)[2 (n 4) 1](n 2)(7 n)

22

当n 6时：x[n] h[n] 0

n(n 1) 2 3

x(n) h(n)

(n 2)(7 n) 2 0

n

0 n 23 n 45 n 6n为其它值

(8) x(n) 2[ (n 2) (n 6)]， h(n) (n 2) (n 6)

解 参见右图

当n 4时：h(n) x(n) 0 当4 n 7时：x(n) h(n)

n 2

m 2

x(m)h(n m)

n 2m 2

2m 2n 1 4

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当8 n 10时：x(n) h(n) 当n 11时：x(n) h(n) 0

m n 5

2m

5

2n 5(211 n 1)

2n 1 4

x(n) h(n) 2n 5(2n 9 1)

0

n

n

4 n 78 n 10 n为其它值

1 1

(9) x(n) (n)， h(n) (n)

3 2 解 x(n) h(n)

m

x(m)h(n m)

11

()m (m) ()n m (n m)

2m 3

n

m 0

(3)m (2)n m (n)

11

1nn2m

() () (n)

2m 03

11

[3()n 2()n] (n)

23

1

(10) x(n) (n) (n 3)， h(n) (n)

2 解 x(n) h(n)

n

m

x(m)h(n m)

[ (m) (m 3)](2)n m (n m)

n

1

m

n

1n m1

(n) ()n m (n 3) ()

m 02m 32

1

[2 ()n] (n) [2 23 n] (n 3)

2

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1n 2 () 2

1

或写作：h(n) x(n) 23 n ()n

2

0

2.3 求下列连续信号的卷积。

0 n 2n 3n 1

1

(1) x(t) 2

0 2h(t)

0

其它

0 t 11 t 2，

其它

x( )

2 1

0 1 2

h( )

-2 -1 0

1 t 3

解 参见右图：

当t 0时： x[t] h[t] 0

当0 t 1时：x(t) h(t) 2 d 2t

0t

当1 t 2时：

x(t) h(t) 2d 4d 2 4(t 1) 4t 2

1

1

t

当2 t 3时：x(t) h(t) 2d 4d 2(3 t) 4 10 2t

t 22

1

12

当3 t 4时：x(t) h(t) 4d 4(4 t) 16 4t

t 2

当t 4时： x(t) h(t) 0

2t

4t 2

x(t) h(t) 10 2t

16 4t 0

0 t 1

1 t 22 t 33 t 4t为其它值

(2) x(t)和 h(t)如图2.3.2所示

x(t)

h(t)

t -3 -2 -1 0 t 0 1 2

题图2.3.2

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解 当t 2时：x(t) h(t) 0 当 2 t 1时：x(t) h(t)

t 1

3d

t 2

当 1 t 0时： x(t) h(t) t 1t 2d 1

当0 t 1时： x(t) h(t

1

t 2

d 1 t

当t 1时： x(t) h(t) 0

t 2 2 t 1

x(t) h(t)

1 1 t 0

1 t0 t 1

0

t取其它值

(3) x(t) (t 1) (t 2)， h(t) e 2t

(t)

解 x(t) h(t) e 2(t 1) (t 1) e 2(t 2) (t 2)

(4) x(t) (t 1) 2 (t)cos t， h(t) sin(

t ) 解 x(t) h(t) sin[

(t 1) ] 2sin( t )

(5) x(t) (t) (t 1)， h(t) (t 1)[ (t 1) (t 2)]解 参见右图。当t 1时：x(t) h(t) 0 当1 t 2时： x(t) h(t) t

1( 1)d 12t2 t 3

2

当2 t 3时： x(t) h(t) 2 1( 1)d 92 1

2

t2t

当t 3时： h(t) x(t) 0

1t2

t 31 t 2

22 x(t) h(t) 92 1

2t2

2 t 3

0t为其它值

(6) x(t) (t) (t 2)， h(t) e

t

(t)

解 x(t) h(t)

e ( ) [ (t ) (t 2)]d

h( )

3 2 0 1 2 x( )

-1 0

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e d

t

t 2

ed

1

(1 e t) (t)

1

[1 e (t 2)] (t 2)

(7) x(t) (t) (t 4)， h(t) (t)

解 x(t) h(t)

x( ) h(t )d

[ ( ) ( 4)] (t )d

t

d (t) d (t 4)

4

t

t (t) (t 4) (t 4)

(8) x(t) e

t

(t)， h(t) sin t (t)

解 x(t) h(t)

x(t )h( )d

sin ( ) e (t ) (t )d

e t sin e d (t)

t

[

2 2

sin t

2 2

(cos t e t)] (t)

(9) x(t) e (t)， h(t)

t

n 0

(t n)

tn 0

解 x(t) h(t) e (t)

t

n 0

(t n) e

(t) (t n) e (t n) (t n)

n 0

2.4 试求题图2.4示系统的总冲激响应表达式。

题图2.4

解 h(t) h5(t) h1(t) [h2(t) h3(t) h4(t)]

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2.5 已知系统的微分方程及初始状态如下，试求系统的零输入响应。 (1)

dy(t)

5y(t) x(t)； y(0 ) 3 dt

解 y(t) ce 5t， y(0) c 3， y(t) 3e 5t

(2)

d2y(t)dt2

5

dy(t)dx(t)

6y(t) x(t)； y(0 ) 1，y'(0 ) 2 dtdt

解 y(t) c1e 2t c2e 3t，y'(t) 2c1e 2t 3c2e 3t，

y(0 ) c1 c2 1，y'(0 ) 2c1 3c2 2，可定出c1 5,c2 4

y(t) 5e 2t 4e 3t t 0

(3)

d2y(t)dt2

4

dy(t)

4y(t) x(t)； y(0 ) 1，y'(0 ) 1 dt

解 y(t) (c1 c2t)e 2t，y'(t) c2e 2t 2(c1 c2t)e 2t

y(0 ) c1 1，y'(0 ) c2 2c1 1，可定出c1 1,c2 1 y(t) (1 t)e 2t

t 0

2.6 某一阶电路如题图2.6所示，电路达到稳定状态后，开关S于t 0时闭合，试求输出响应uo(t)。

解 由于电容器二端的电压在ｔ＝０时不会发生突变，所以u0(0 ) 4V。 根据电路可以立出ｔ＞０时的微分方程：

u(t)du(t)du0(t)

u0(t) 2 [0 1 0] 4， 整理得 u(t) 2

2dtdt

t

齐次解：u0c(t) c1e

非齐次特解：设u0p(t) B 代入原方程可定出Ｂ＝２

u0(t) u0c(t) u0p(t) 2 c1e t

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u(0) 2 c1 4， 则：c1 2 0

t

u(t) 2(1 e)t 0. 0

2.7 RC积分电路如题图2.7所示，已知激励信号为x(t) (t) (t 2)，试求零状态响应uc(t)。

解 根据电路可建立微分方程：

duc1(t)11(t)

uc(t) e

dtRCRC

当e(t) (t)时：

duc1(t)dt

11 uc1(t) (t) RCRC

1

tRC

uc1(t) ce

1

1tRC

由uc1(0 ) uc1(0 ) 0可定出 c 1，

uc1(t) 1 e

t 0

1

(t 2)RC

根据系统的时不变性知，当e(t) (t 2)时：uc2(t) 1 e 当e(t) (t) (t 2) 时：uc(t) (1 e

2.8 求下列离散系统的零输入响应。 (1) y(n)

t 2.

11t (t 2)RC) (t) (1 eRC) (t

2).

51

y(n 1) y(n 2) 0； y( 1) 1，y( 2) 2 66

11

解 y(n) c1( )n c2( )n

23

由y( 1) 2c1 3c2 1，y( 2) 4c1 9c2 2 y(n)

54

可定出c1 , c2 ， ，23

41n51n

( ) ( )3322

n 0.

(2) y(n) 4y(n 1) 4y(n 2) 0； y( 1) 1，y( 2) 1

解 y(n) (c1 c2n)2n 由y( 1)

11

(c1 c2) 1，y( 2) (c1 2c2) 1， 可定出c1 0, c2 2.

24

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y(n) n 2n 1

n 0.

(3) y(n) 4y(n 1) 5y(n 2) 2y(n 3) 0； y(1) 1，y(2) 1，y(3) 3

解 特征方程 3 4 2 5 2 0，( 1)2( 2) 0 y(n) (c1 c2n) c32n 由 y(1) c1 c2 2c3 1 y(2) c1 2c2 4c3 1 y(3) c1 3c2 8c3 3 可定出c1 1,

2.9 求下列离散系统的完全响应。

，

1 2 1, 3 2

c2 2,c3 1.

y(n) 1 2n 2n

n 1.

1

y(n 1) 2n (n)； y( 1) 1 2

1

解 齐次方程通解：yc(n) c1( )n

2

(1) y(n)

非齐次方程特解：yp(n) c22n. 代入原方程得：c2

4. 5

14

y(n) c1( )n 2n

25

由 y( 1) 1 可定出 c1 y(n)

3

. 10n 0.

4n31 2 ( )n5102

(2) y(n) 2y(n 1) y(n 2) (n)； y( 1) 1，y( 2) 1

解 齐次方程通解：y(n) (c1 c2n)( 1)n

非齐次方程特解：yp(n) c3. 代入原方程定出 c3

1. 4

1

y(n) yc(n) yp(n) (c1 c2n)( 1)n .

493

由 y( 2) y( 1) 1 可定出 c1 ,c2 .

42

193

y(n) ( n)( 1)nn 0.

442

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2.10 试判断下列系统的稳定性和因果性。

1

(1) h(n) (n)

2

解 因果的；稳定的。

(2) h(n) (n 1)

n

解 因为冲激响应不满足绝对可和条件，所以是不稳定的；非因果的。

(3) h(n) 0.99 n

(n 1)

解 稳定的，非因果的。

(4) h(n) 2n

(n 2)

解 不稳定的，因果的。

(5) h(t) e3t

(t)

解 不稳定的，因果的。

(6) h(t) e t

(t) ( 为实数)

解 0时： 不稳定的，因果的； 0时： 稳定的，因果的； 0时： 不稳定的，因果的。

(7) h(t) e 3t

(1 t)

解 不稳定的，非因果的。

(8) h(t) e t

(t 1)

解 稳定的，非因果的。

2.11 用方框图表示下列系统。 (1)

y(n) 3y(n 1) 4y(n 3) x(n) 5x(n 4)

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(2) 4d2y(t)dt2 dy(t)dt x(t) 3d2x(t)dt

2

(3) d4y(t)2dt

4

x(t) 2

dx(t)dt

2

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*2.12 根据系统的差分方程求系统的单位脉冲响应h(n)。 (1) y(n) 2y(n 1) x(n)

解 h(n) 2h(n 1) (n)

当n 0时： h(n) 2h(n 1) 0, h(n) c( 2)n (n)

由原方程知当n 0时：h(0) (0) 2h( 1) 1，由此可定出 c 1, h(n) ( 2)n (n)

(2) 6y(n) 5y(n 1) y(n 2) x(n) x(n 1)

解 h(n)

56h(n 1) 16h(n 2) 16 (n) 1

6

(n 1) 当n 1时： 齐次方程的通解为h(n) [c( 11

12)n c2( 3

)n]，由原方程迭代求解可得h[0],h[1]为：

h(0)

16 (0) 56h( 1) 16h( 2) 16 h(1) 16 (0) 56h(0) 11

6h( 1) 36

由此可以定出cc12

1,2:c1 2,c2 3

,

h(n) ( 12)n 1 23( 1

3

)nn 0.

*2.13 根据系统的微分方程求系统的单位冲激响应h(t)。

(1) dy(t)

dt 3y(t) x(t) 解 dh(t)dt

3h(t) (t)

当t 0时：dh(t)

dt 3h(t) 0，h(t) ce 3t，代入原方程可确定 h(t) e 3t

(t)

2(2)

dy(t)t)dt2

5

dy(dt 4y(t) dx(t)

dt

2x(t) 解

d2h(t)dt2

5

dh(t)dt 4h(t) d (t)

dt

2 (t) c 1

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当t 0时：

d2h(t)dt2

5

dh(t)

4h(t) 0 dt

h(t) [c1e t c2e 4t] (t)

h'(t) (c1 c2) (t) [c1e t 4c2e 4t] (t)

h"(t) (c1 c2) '(t) (c1 4c2) (t) (c1e t 16c2e 4t) (t) 1

代入原方程，比较两边系数得： c1 ,

3

12

h(t) (e t e 4t) (t)

33

*2.14 试求下列系统的零输入响应、零状态响应、强迫响应、自由响应。 (1)

c2

2

. 3

dy2(t)dt2

5

dy(t)dx(t)

4y(t) 2x(t)；x(t) e 3t (t)，y(0 ) 1，dtdt

y'(0 ) 1

解 (a)求强迫响应：

dx(t)

2x(t) 3e 3t 2e 3t; 假设特解为：dt

yp(t) Ae 3t

11

； 则强迫响应 yp(t) e 3t (t).

22

(a)求自由响应yc(t)：yc(t) c1e t c2e 4t, 利用冲激平衡法可知： y"(t) A (t) B (t)

代入原方程，可定出A y'(t) A (t).

可定出A 1；所以y(0 ) y(0 ) 1,完全解形式：y(t) c1e t c2e 4t

y'(0 ) y'(0 ) A 2

1 3t

e，由y(0 ) 1,y'(0 ) 2定出2

c1

114,c2 63

11 t4 4t1 3t

e e e 632114

所以自由响应为：yc(t) e t e 4t

63dx(t)

(b)求强迫响应： 2x(t) 3e 3t 2e 3t; 假设特解为：

dt

yp(t) Ae 3t

即完全响应为：y(t)

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11

； 则强迫响应 yp(t) e 3t (t).

22

t 4t

(c)求零输入响应：yzin(t) c1e c2e

代入原方程，可定出A

由 y(0 ) y'(0 ) 1 可定出c1

52,c2 33

yzin(t) (e t e 4t) (t)

(d)求零状态响应

零状态响应＝自由响应＋强迫响应－零输入响应

114152121

＝e t e 4t e 3t (e t e 4t) e t e 4t e 3t

63233632

综上所求，有：

1141

y(t) e t e 4t e 3t

6 3 2

自由分量

强迫分量

5323

5 t2 4t1 t2 4t1 3te e e e e 36 32 3

零输入分量

零状态分量

(2) 6y(n) 5y(n 1) y(n 2) x(n) x(n 1)；x(n) (n)，y( 1) 1，

y( 2) 1

解法一 用z变换求解。方程两边进行z变换，则有：

6Y(z) 5z 1Y(z) 5y( 1) Z 2Y(z) z 1y( 1) y( 2) X(z)(1 z 1) Y(z)

1 z 16 5z 1 z 2

6 5z 1 z 2

1(z )z

z(z 1)z6 11(z 1)116(z )(z )(z )(z )

2323z 111 2z z

] [ ] [

11Z 1116z z z z 2323

零状态

零输入

X(Z)

5y( 1) y( 2) zy( 1)

y(n)

11 1 1 1

[( )n ()n 1] (n) [()n 2()n] (n) 6 3 2 3 2

零状态

零输入

信号分析与处理的课后习题答案是高等教育出版社的教科书

7 11311

〔()n ( )n] (n) (n)

6 3 6 2 6

自由响应

强迫响应

解法二：时域解法。

求强迫响应：

x(n) x(n 1) (n) (n 1)

当n 1时：x(n) x(n 1) 2 即为常值序列， 设特解为yp(n) A.，代入原方程可定出A

1 6

1. 6

当n 0时：仅在激励作用下，由原方程知6y(0) (0)，即：y(0)

特解yp(n)

求自由响应：

1

在n 0时均满足方程。 6

111

完全解：y(n) c1( )n c2( )n n 0.

236

631

由y( 1),y( 2)经迭代得：y(0) ,y(1)

536

137

由y(0),y(1)可定出完全解中系数c1,c2为：c1 ,c2

66

711311

y[n] ( )n ( )n n 0.

63626

71131

则自由响应分量为：y(n) [( )n ( )n] (n)

6362

零输入响应：

1n1

yzi(n) c2( )n n) c1(

32

由 y( 1) y( 2) 1 可以定出：c1 1,c2 2

零状态响应：

yzin(n) [(

1n1

) 2( )n] (n) 32

11 1

y2s(n) y(n) yzin(n) [1 ( )n ()n] (n)

632

*2.15 试证明线性时不变系统具有如下性质： (1) 若系统对激励x(t)的响应为y(t)，则系统对激励(2) 若系统对激励x(t)的响应为y(t)，则系统对激励

dx(t)dy(t)

的响应为； dtdt

t

x( )d 的响应为

t

y( )d 。

信号分析与处理的课后习题答案是高等教育出版社的教科书

证(1) 已知x(t) y(t)，根据系统的线性试不变性有：

11

[x(t) x(t t)] [y(t) y(t t)]；令 t 0，则有：x'(t) y'(t). t t

证(2) 已知x(t) y(t)，根据系统的线性试不变性有：

n t

t

x(n t) t

n t

y(n t) t

n t

t

令 t 0, 则n t ,x(n t) x( ), t d ，所以

t

t

t

x( )d

t

y( )d .

证毕。

*2.16 考察题图2.16(a)所示系统，其中开平方运算取正根。

(1) 求出y(t)和x(t)之间的关系；

(2) 该系统是线性系统吗，是时不变系统吗？

(3) 若输入信号x(t)是题图2.16(b)所示的矩形脉冲(时间单位：秒)，求响应y(t)。

解 (1) 由系统框图可得y(t) x(t) x(t 1)

(2) 由输入一输出关系可以看出，该系统不满足可加性，故系统是非线性的。 又因为当输入为x(t t0)时，输出为x(t t0) x(t t0 1) y(t t0），故系统是时不变的。

(3) 由输入一输出关系，可以求得输出为图示波形。

y(t)

1 t

0 1 2

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