2012届高三数学全国高考模拟重组预测试卷3B

试卷类型：Ｂ

2012届高三全国高考模拟重组预测试卷三

数学

答案

适用地区：大纲地区

考查范围：集合、简易逻辑、函数、函数极限、导数、数列、三角、向量、不等式 、解析几何、立体几何

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上．在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．[2011·安徽卷] 集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，S ＝{1,4,5}，T ＝{2,3,4}，则S ∩(?U T )等于( )

A ．{1,4,5,6}

B ．{1,5}

C ．{4}

D ．{1,2,3,4,5}

2． [2011·江西重点中学盟校联考]设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是（ ）

①,m n α⊥若//α，则m n ⊥； ②,,//αγβγαβ⊥⊥若则； ③//,//,//m n m n αα若则 ； ④,αββγαγ⊥⊥若//,//,m 则m ．

A ．①和②

B ．②和③

C ．③和④

D ．①和④

3．[2011·四川卷] 函数y ＝???

?12x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )

4．（理）[2011·四川卷] 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )

A ．0

B ．3

C ．8

D ．11

(文)[2011·四川卷] 数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )

A ．3×44

B ．3×44＋1

C ．44

D ．44＋1

5．[2011·湖北八校联考]在△ABC 中，角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若

120,C c =?=，则（ ）

A ．45

B >? B ．45A >?

C ．b a >

D ．b a <

6．设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆F 2，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M 点，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率e 为（ ）

A ．3－1

B ．2－3

C ．22

D ．2

3 7．[2011·

湖北卷] 设球的体积为V 1，它的内接正方体的体积为V 2，下列说法中最合适的是( )

A ．V 1比V 2大约多一半

B ．V 1比V 2大约多两倍半

C ．V 1比V 2大约多一倍

D ．V 1比V 2大约多一倍半

8．[2011·湖北八校联考]已知(,)P x y 是圆22

(3)1x y +-=上的动点，定点

(2, 0), (A B -，则P A P B ?的最大值为（ ） A ．4 B ．0 C ．12- D ．12

9． [2011·全国卷] 已知直二面角α－l －β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足．点B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足．若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则D 到平面ABC 的距离等于( )

A ．23

B ．33

C ．63

D ．1 10．[2011·四川卷] 在抛物线y ＝x 2＋ax －5(a ≠0)上取横坐标为x 1＝－4，x 2＝2的两点，过这

两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2＋5y 2＝36相切，则抛物线顶点的坐标为( )

A ．(－2，－9)

B ．(0，－5)

C ．(2，－9)

D ．(1，－6) 11． [2011·江西重点中学盟校联考]P 的坐标(,)x y 满足4,,1,x y y x x +≤??≥?

?≥?

过点P 的直线l 与圆

22:14C x y +=

相交于A 、B 两点，则AB 的最小值是（ ）

A ．

B ．4

C ．

D ．3

12

． (理)若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14

,又双曲线在第一象限上有一点P 满足12PF PF -=12,F F 分别为双曲线的左、右焦点

),且12PF F

V 的面积为4,则原点O 到直线2PF 的距离为( )

A ．1

B ．2

C ．

(217 D ． (417+

(文)若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14,又双曲线在第一象限上有一点P 满足12PF PF -=12,F F 分别为双曲线的左、右焦点),

且12PF F

V 的面积为4,则2PF =( )

A ．4

B ．2

C ．

D ．

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卷相应位置上）

13．[2011·浙江五校联考]设,,a b c 为三个非零向量，且,2,2++==-=0a b c a b c ，则

+b c 的最大值是 ．

14．[2011·上海静安区调研]在平行四边形ABCD 中，AB =1，AC =3，AD =2；线段 PA ⊥平行

四边形ABCD 所在的平面，且PA =2，则异面直线PC 与BD 所成的角等于 ．（用反三角函数表示）

15．（理）[2011·重庆卷] 设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)

内，则圆C 的半径能取到的最大值为________．

（文）[2011·重庆卷] 过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为________．

16．(理)[2011·全国卷] 已知点E 、F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1、CC 1上，且B 1E

＝2EB ，CF ＝2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于________．

(文)[2011·全国卷] 已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 29－y 227＝1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为(2,0)，AM 为∠F 1AF 2的平分线，则|AF 2|＝________．

三、解答题(本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)

17．（本小题满分12分）[2011·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ????x ＋7π4＋cos ???

?x －3π4，x ∈R ． (1)求f (x )的最小正周期和最小值；

(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2

．求证：[f (β)]2－2＝0．

（1）设总造价为S 元,AD 边的长为x m,试建立S 与x 的函数关系式;

（2）计划至少要投入多少元,才能建造这个休闲小区．

(1)当CF ＝1时，求证：EF ⊥A 1C ；

(2)设二面角C －AF －E 的大小为θ，求tan θ的最小值．

（文）[2011·湖北卷] 如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱AA 1上，点F 在侧棱BB 1上，且AE ＝22，BF ＝2．

(1)求证：CF ⊥C 1E ；

(2)求二面角E －CF －C 1的大小．

20．（本小题满分12分）

[2011·重庆卷] 如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，AB ⊥BC ，AD ＝CD ，∠CAD ＝30°．

(1)若AD ＝2，AB ＝2BC ，求四面体ABCD 的体积；

(2)若二面角C －AB －D 为60°．求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值．

21．（本小题满分12分） [2011·湖北八校联考]已知双曲线22

1x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆221x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分

别为111222(,),(,)P x y P x y ．

（１）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值；

（２）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ,

那么12k k ?是定值吗？证明你的结论．

22．（本小题满分12分）[2011·湖北卷] 平面内与两定点A 1(－a,0)、A 2(a,0)(a >0)连线的斜率

之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上A 1、A 2两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线．

(1)求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系；

(2)当m ＝－1时，对应的曲线为C 1；对给定的m ∈(－1,0)∪(0，＋∞)，对应的曲线为C 2．设F 1、F 2是C 2的两个焦点，试问：在C 1上，是否存在点N ，使得△F 1NF 2的面积S ＝|m |a 2．若存在，求tan ∠F 1NF 2的值；若不存在，请说明理由．

试卷类型：Ｂ

2012届高三全国高考模拟重组预测试卷三参考答案

数学

1．【答案】B

【解析】S ∩(?U T )＝{1,4,5} ∩{1,5,6}＝{1,5}．

2．【答案】D

【解析】②中,αβ可能相交，故②错；③中，,m n 可能相交或异面，故③错；①④是正确的．

3．【答案】A

【解析】由y ＝???

?12x ＋1可得其反函数为y ＝log 12(x －1)(x >1)，根据图象可判断选择答案A.另外对于本题可采用特殊点排除法．

4．(理)【答案】B

【解析】由数列{b n }为等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12可知数列公差d ＝2，所以通项b n ＝－2＋(n －3)×2＝2n －8＝a n ＋1－a n ，所以a 8－a 1＝2×(1＋2＋3＋…＋7)－8×7＝0，所以a 8＝a 1＝3.

(文)【答案】A

【解析】 由a n ＋1＝3S n ?S n ＋1－S n ＝3S n ?S n ＋1＝4S n ，所以数列{S n }是首项为1，公比为4的

等比数列，所以S n ＝4n －1，所以a 6＝S 6－S 5＝45－44＝3×44，所以选择A.

5．【答案】C

【解析】由正弦定理，有sin sin c b C B

=，即20s i n b B =，所以

12s i n ,422B ?=∈ ??

．所以()30,45B ∈??．所以90A B <

6．【答案】A

【解析】易知圆F 2的半径为c ，（2a －c ）2+c 2=4c 2，（a c ）2+2（a

c ）－2=0，由01e <<，故e ＝

a

c =3－1． 7．【答案】D 【解析】设球的半径为R ，则V 1＝43πR 3.设正方体的边长为a ，则V 2＝a 3.又因为2R ＝3a ，

所以V 1＝43π? ????32a 3＝32πa 3，V 1－V 2＝? ??

??32π－1a 3≈1.7a 3. 8．【答案】D

【解析】设点()cos ,3sin P θθ+，则()2cos ,3sin PA PB θθ=---

()2cos ,3sin θθ----22cos 496sin sin 6sin 6θθθθ=-+++=+，故当sin 1θ=，即2π

θ=，也即点P 为()0,4时，()max 12PA PB =．

9．【答案】C

【解析】∵α⊥β，AC ⊥l ，∴AC ⊥β，则平面ABC ⊥β，在平面β内过D 作DE ⊥BC ，则DE

⊥平面ABC ，DE 即为D 到平面ABC 的距离，在△DBC 中，运用等面积法得DE ＝63，

故选C.

10．【答案】A

【解析】根据题意可知横坐标为－4,2的两点分别为(－4,11－4a )，(2，－1＋2a )，所以该割线的斜率为a －2，由y ′＝2x ＋a ＝a －2?x ＝－1，即有切点为(－1，－4－a )，所以切线方程为y ＋4＋a ＝(a －2)(x ＋1)?(a －2)x －y －6＝0，由切线与圆相切可知6(a －2)2＋1

＝365?a ＝4或a ＝0(舍去)，所以抛物线方程为y ＝x 2＋4x －5＝(x ＋2)2－9，所以抛物线顶点坐标为(－2，－9)．选择A.

11．【答案】B

【解析】作出41x y y x x +≤??≥??≥?

表示的可行域（图略），易知本题就是要求解可行域内哪一点

离原点最远，可知4,1x y x +=??

=?的交点()'1,3P 到原点的距离最远

，

则min 4AB ===．

12.(理)【答案】D

【解析】双曲线焦点到渐

近线的距离为d b ==,则12b c =,所以22224c b b

a ==+,即a

=．又122PF PF

a -==,解得

a =．所以1,2

b

c ==．设点()()0000,0,0P x y x y >>,则由1212001242

PF F S F F y y ===V ,所以02y =．将02y =代入双曲线2

2

13

x y -=．解得0x

=,

有20PF ex a =-==O 到直线2PF 的距离为h ,则由

212211222POF PF F S PF h S ====V V ,解得(417

h =． (文)【答案】D 【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为

d b =

=,则12b c =,所以

22224c b b a ==+,即a =．又122PF PF a -==,解得

a =．所以1,2

b

c ==．设点()()0000,0,0P x y x y >>,则由1212001242

PF F S F F y y ===V ,所以

02y =．将02y =代入双曲线2

213

x y -=．解得0x =,有

20PF ex a =-=

=

13．【答案】

【解析】由++=0a b c ，得+=-b c a ，所以2+=-=b c a ．又2-=b c ，故以,b c 为邻边组成的平行四边形是矩形．所以22

4+=b c ．所以()222

2+=++≤b c b c b c ()2228+=b c ，故+≤b c

14．【答案】3arccos

7

【解析】由2222214AB AC BC +=+==,可知AB AC ⊥,故以AB 为x 轴，AC

为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则()()0,3,2,2,PC BD =-=-,设

PC 与BD 的夹角为θ，则0,22,3,03c o s 777PC BD

PC BD θ--===．故3a r c c o s 7θ=．

15．(理)1

【解析】由题意知，半径取得最大值的圆的圆心必在x 轴上．

设圆心C (a,0)(0＜a ＜3)，则半径为3－a ，于是圆的方程为(x －a )2＋y 2＝(3－a )2， 将抛物线方程y 2＝2x 代入圆的方程得

(x －a )2＋2x ＝(a －3)2，即x 2－2(a －1)x ＋6a －9＝0，

由Δ＝4(a －1)2－4(6a －9)＝0，即a 2－8a ＋10＝0，解得a ＝4±6，

∵0＜a ＜3，∴a ＝4－ 6.

故圆C 的半径能取到的最大值为3－a ＝6－1.

(文)【答案】20x y -=

【解析】将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0配方得(x －1)2＋(y －2)2＝1，

∴该圆半径为1，圆心M (1,2)．

∵直线与圆相交所得弦的长为2，即为该圆的直径，

∴该直线的方程的斜率k ＝2－01－0

＝2， ∴该直线的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0.

16．(理)

【答案】3

【解析】

法一：在平面BC 1内延长FE 与CB 相交于G ，过B 作BH 垂直AG ，则EH ⊥AG ，故 ∠BHE 是平面AEF 与平面ABC 所成二面角的平面角．设正方体的棱长为a ，可得BE

＝a 3，BG ＝a ，所以BH ＝22a ，则tan ∠BHE ＝BE BH ＝a

322

a ＝23. 法二：设正方体的边长为3，建立以B 1A 1为x 轴，B 1C 1为y 轴，B 1B 为z 轴的空间直角

坐标系，则A (3,0,3)，E (0,0,2)，F (0,3,1)，则EA →＝(3,0,1)，EF →＝(0,3，－1)，设平面AFE

的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥EA →，n ⊥EF →，即3x ＋z ＝0且3y －z ＝0，取z ＝3，则x

＝－1，y ＝1，所以n ＝(－1,1,3)，又平面ABC 的法向量为m ＝(0,0,3)，所以面AEF 与

面ABC 所成的二面角的余弦值为cos θ＝m ·n |m ||n |＝31111，∴sin θ＝1－????311112＝2211

，所以tan θ＝23

. (文)【答案】6

【解析】根据角平分线的性质，|AF 2||AF 1|＝|MF 2||MF 1

|＝12.又|AF 1|－|AF 2|＝6，故|AF 2|＝6. 17．解： (1)∵f (x )＝sin ????x ＋7π4－2π＋sin ???

?x －3π4＋π2 ＝sin ????x －π4＋sin ???

?x －π4 ＝2sin ???

?x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.

(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45， cos βcos α－sin βsin α＝－45

. 两式相加得2cos βcos α＝0.

∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2

. ∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4

－2＝0. 18．解：（1）设DQ ＝y ,则x 2＋4xy ＝200,y ＝2

2004x x -．

S ＝4200x 2＋210×4xy ＋80×4×12y 2＝38000＋4000x 2＋2400000x

（0＜x ＜102）． （2）S ＝38000＋4000x 2＋2400000x

≥38000＋216×108＝118000,当且仅当4000x 2＝2400000x

,即x ＝10时,S min ＝118000（元）．即计划至少要投入11．8万元才能建造这个休闲小区．

19．（理）解：解法1：过E 作EN ⊥AC 于N ，连结EF .

(1)如图①，连结NF 、AC 1，由直棱柱的性质知，底面ABC ⊥侧面A 1C ，

又底面ABC ∩侧面A 1C ＝AC ，且EN ?底面ABC ，所以EN ⊥侧面A 1C ，NF 为EF 在侧面A 1C 内的射影，

在Rt △CNE 中，CN ＝CE cos60°＝1，

则由CF CC 1＝CN CA ＝14

，得NF ∥AC 1. 又AC 1⊥A 1C ，故NF ⊥A 1C ，

由三垂线定理知EF ⊥A 1C .

(2)如图②，连结AF ，过N 作NM ⊥AF 于M ，连结ME ，

由(1)知EN ⊥侧面A 1C ，根据三垂线定理得EM ⊥AF ，

所以∠EMN 是二面角C －AF －E 的平面角，即∠EMN ＝θ，

设∠F AC ＝α，则0°<α≤45°.

在Rt △CNE 中，NE ＝EC ·sin60°＝3，

在Rt △AMN 中，MN ＝AN ·sin α＝3sin α，

故tan θ＝NE MN ＝33sin α

.

解法2：(1)建立如图③所示的空间直角坐标系，则由已知可得A (0,0,0)，B (23，2,0)，C (0,4,0)，A 1(0,0,4)，E (3，3,0)，F (0,4,1)，

于是CA 1→＝(0，－4,4)，EF →＝(－3，1,1)，

则CA 1→·EF →＝(0，－4,4)·(－3，1,1)＝0－4＋4＝0，故EF ⊥A 1C .

(2)设CF ＝λ(0<λ≤4)，平面AEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由(1)得F (0,4，λ)， AE →＝(3，3,0)，AF →＝(0,4，λ)，于是由m ⊥AE →，m ⊥AF →可得

????? m ·AE →＝0，m ·

AF →＝0，即??? 3x ＋3y ＝0，4y ＋λz ＝0，取m ＝(3λ，－λ，4)， 又由直三棱柱的性质可取侧面A 1C 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，

于是由θ为锐角可得cos θ＝|m·n||m|·|n|＝3λ2λ2＋4，sin θ＝λ2＋162λ2＋4，所以tan θ＝λ2＋163λ＝

13＋163λ2

， 由0<λ≤4，得1λ≥14，即tan θ≥13＋13＝63

， 故当λ＝4，即点F 与点C 1重合时，tan θ取得最小值

63. 19．（文）解法1：(1)证明：由已知可得CC 1＝32，CE ＝C 1F ＝22＋(22)2＝23，

EF ＝C 1E ＝22＋(2)2＝ 6.

于是有EF 2＋C 1E 2＝C 1F 2，CE 2＋C 1E 2＝CC 21，所以C 1E ⊥EF ，C 1E ⊥CE .

又EF ∩CE ＝E ，所以C 1E ⊥平面CEF .

又CF ?平面CEF ，故CF ⊥C 1E .

(2)在△CEF 中，由(1)可得EF ＝CF ＝6，CE ＝23，

于是有EF 2＋CF 2＝CE 2，所以CF ⊥EF .

又由(1)知CF ⊥C 1E ，且EF ∩C 1E ＝E ，所以CF ⊥平面C 1EF .

又C 1F ?平面C 1EF ，故CF ⊥C 1F .

于是∠EFC 1即为二面角E －CF －C 1的平面角．

由(1)知△C 1EF 是等腰直角三角形，所以∠EFC 1＝45°，即所求二面角E －CF －C 1的大小为45°.

解法2：建立如上图所示的空间直角坐标系，则由已知可得

A (0,0,0)，

B (3，1,0)，

C (0,2,0)，C 1(0,2,32)，E (0,0,22)，F (3，1，2)．

(1)C 1E →＝(0，－2，－2)，CF →＝(3，－1，2)，

∴C 1E →·CF →＝0＋2－2＝0，

∴CF ⊥C 1E . (2)CE →＝(0，－2,22)，设平面CEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )．

由m ⊥CE →，m ⊥CF →，得?????

m ·CE →＝0，m ·CF →＝0， 即??? －2y ＋22z ＝0，3x －y ＋2z ＝0，

可取m ＝(0，2，1)． 设侧面BC 1的一个法向量为n ，由n ⊥CB →，n ⊥CC 1→，及CB →＝(3，－1,0)，CC 1→＝(0,0,32)，

可取n ＝(1，3，0)，设二面角E －CF －C 1的大小为θ，于是由θ为锐角可得

cos θ＝|m·n ||m ||n |＝63×2＝22

，所以θ＝45°， 即所求二面角E －CF －C 1的大小为45°.

20．解：(1)如下图，设F 为AC 的中点，由于AD ＝CD ，所以DF ⊥AC .故由平面ABC ⊥平面ACD ，知DF ⊥平面ABC ，即DF 是四面体ABCD 的面ABC 上的高，且DF ＝AD sin30°＝1，AF ＝AD cos30°＝ 3.

在Rt △ABC 中，因AC ＝2AF ＝23，AB ＝2BC ，

由勾股定理易知BC ＝

2155，AB ＝4155

.

(2)解法一：如上图，设G ，H 分别为边CD ，BD 的中点，则FG ∥AD ，GH ∥BC ，从而∠FGH 是异面直线AD 与BC 所成的角或其补角．

设E 为边AB 的中点，则EF ∥BC ，由AB ⊥BC ，知EF ⊥AB .又由(1)有DF ⊥平面ABC ， 故由三垂线定理知DE ⊥AB .所以∠DEF 为二面角C －AB －D 的平面角，由题设知∠DEF ＝60°.

设AD ＝a ，则DF ＝AD ·sin ∠CAD ＝a 2

. 在Rt △DEF 中，EF ＝DF ·cot ∠DEF ＝a 2·33＝36a ，从而GH ＝12BC ＝EF ＝36

a . 因Rt △ADE ≌Rt △BDE ，故BD ＝AD ＝a ，从而，在Rt △BDF 中，FH ＝12BD ＝a 2

. 又FG ＝12AD ＝a 2

，从而在△FGH 中，因FG ＝FH ，由余弦定理得 cos ∠FGH ＝FG 2＋GH 2－FH 22FG ·GH ＝GH 2FG ＝36

. 因此，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为36

.

解法二：如下图，过F 作FM ⊥AC ，交AB 于M ，已知AD ＝CD ，平面ABC ⊥平面ACD ，易知FC 、FD 、FM 两两垂直，以F 为原点，射线

FM 、FC 、FD 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系F －xyz .

不妨设AD ＝2，由CD ＝AD ，∠CAD ＝30°，易知点A ，C ，D 的坐标分别为A (0，－3，

0)，C (0，3，0)，D (0,0,1)，则AD →＝(0，3，1)．

显然向量k ＝(0,0,1)是平面ABC 的法向量．

已知二面角C －AB －D 为60°，故可取平面ABD 的单位法向量n ＝(l ，m ，n )，使得〈n ，k 〉＝60°，从而n ＝12

. 由n ⊥AD →，有3m ＋n ＝0，从而m ＝－36

. 由l 2＋m 2＋n 2＝1，得l ＝±63

. 设点B 的坐标为B (x ，y,0)，由AB →⊥BC →，n ⊥AB →，取l ＝63，有?????

x 2＋y 2＝3，63x －36(y ＋3)＝0， 解之得??? x ＝4

69，

y ＝739或??? x ＝0，y ＝－3(舍去)．

易知l ＝－

63

与坐标系的建立方式不合，舍去． 因此点B 的坐标为B ????469，739，0，所以CB →＝???

?469，－239，0.从而 cos 〈AD →，CB →〉＝AD →·CB →|AD →||CB →|

＝3????－2393＋1????4692＋??

??－2392＝－36， 故异面直线AD 与BC 所成的角的余弦值为36. 21．解：（１）l 与圆相切,1∴=22

1m k ∴=+． ① 由22,1,

y kx m x y =+??-=?得 222(1)2(1)0k x mkx m ---+=, 2222222212210,44(1)(1)4(1)80,10,1k m k k m m k m x x k ???-≠??∴=

+-+=+-

=>??+??=

21,k ∴<11k ∴-<<,故k 的取值范围为(1,1)-． 由于12212222,111mk x x x x

k k k +=∴-===---， 201k ≤< ∴当20k =时，21x x -取最小值． （２）由已知可得12,A A 的坐标分别为(1,0),(1,0)-， 121212,11y y k k x x ∴==+-，121212(1)(1)y y k k x x ∴?=+-1212()()(1)(1)

kx m kx m x x ++=+

- 2212121221()()1k x x mk x x m x x x x +++=+--22

222221211

m mk k mk m k k +?-?+=--

22222222

=22=

由①，得221m k -=，

12(3k k ∴?==-+为定值． 22．解：(1)设动点为M ，其坐标为(x ，y )，

当x ≠±a 时，由条件可得12MA MA k k ＝y x ＋a ·y x －a ＝y 2x 2－a 2

＝m ， 即mx 2－y 2＝ma 2(x ≠±a )，

又A 1(－a,0)、A 2(a,0)的坐标满足mx 2－y 2＝ma 2，

故依题意，曲线C 的方程为mx 2－y 2＝ma 2.

当m <－1时，曲线C 的方程为x 2a 2＋y 2

－ma 2

＝1，C 是焦点在y 轴上的椭圆； 当m ＝－1时，曲线C 的方程为 x 2＋y 2＝a 2，C 是圆心在原点的圆；

当－1

－ma 2

＝1，C 是焦点在x 轴上的椭圆； 当m >0时，曲线C 的方程为x 2a 2－y 2

ma 2＝1，C 是焦点在x 轴上的双曲线． (2)由(1)知，当m ＝－1时，C 1的方程为x 2＋y 2＝a 2；

当m ∈(－1,0)∪(0，＋∞)时，C 2的两个焦点分别为F 1(－a 1＋m ，0)，F 2(a 1＋m ，0)． 对于给定的m ∈(－1,0)∪(0，＋∞)，C 1上存在点N (x 0，y 0)(y 0≠0)使得△F 1NF 2的面积S ＝|m |a 2的充要条件

是?????

x 20＋y 20＝a 2，y 0≠0， ①12·2a 1＋m |y 0|＝|m |a 2. ②由①得0<|y 0|≤a ，由②得|y 0|＝|m |a 1＋m . 当0<

|m |a 1＋m

≤a ，即1－52≤m <0或0

>a ，即－1

当m ∈??????1－52，0∪? ??

??0，1＋52时， 由NF 1→＝(－a 1＋m －x 0，－y 0)，NF 2→＝(a 1＋m －x 0，－y 0)，可得 NF 1→·NF 2→＝x 20－(1＋m )a 2＋y 20＝－ma 2，

设|NF 1→|＝r 1，|NF 2→|＝r 2，∠F 1NF 2＝θ，

则由NF 1→·NF 2→＝r 1r 2cos θ＝－ma 2，可得r 1r 2＝－ma 2cos θ

， 从而S ＝12r 1r 2sin θ＝－ma 2sin θ2cos θ＝－12

ma 2tan θ， 于是由S ＝|m |a 2，可得－12ma 2tan θ＝|m |a 2，即tan θ＝－2|m |m

. 综上可得：

当m ∈????

??1－52，0时，在C 1上，存在点N ，使得S ＝|m |a 2，且tan ∠F 1NF 2＝2； 当m ∈?

????0，1＋52时，在C 1上，存在点N ，使得S ＝|m |a 2，且tan ∠F 1NF 2＝－2； 当m ∈? ????－1，1－52∪? ????1＋52，＋∞时，在C 1上，不存在满足条件的点N .

高:考(试∷题ω库

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