高中数学 解三角形苏教版必修5

第1章 解三角形

§1.1正弦定理、余弦定理

重难点：理解正、余弦定理的证明，并能解决一些简单的三角形度量问题． 考纲要求：①掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 经典例题：半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sinA-sinC)＝(3a-b)sinB．

2

2

(1)求角C；

(2)求△ABC面积的最大值．

当堂练习：

1．在△ABC中，已知a=52 , c=10, A=30°, 则∠B= ( )

(A) 105° (B) 60° (C) 15° (D) 105°或15° 2．在△ABC中，若2 ,则∠A的度数是 ( )

(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75°

3．在△ABC中，已知三边a、b、c 满足(a+b+c)·(a+b－c)=3ab, 则∠C=( )

(A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60°

4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )

(A) 90° (B) 120° (C) 135° (D) 150° 5．在△ABC中，∠A=60°, a=6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )

(A) 有 一个解 (B) 有两个解 (C) 无解 (D)不能确定 6．在平行四边形ABCD中，3 BD, 那么锐角A的最大值为 ( )

(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75° 7. 在△ABC中，若

acos

2

=

bcos

2

=

ccos

2

，则△ABC的形状是 ( )

(A) 等腰三角形 (B) 等边三角形 (C) 直角三角形 (D) 等腰直角三角形

8．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）

(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定 9．在△ABC中，若a=50，b=256 , A=45°则

10．若平行四边形两条邻边的长度分别是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长度分别为 .

11.在等腰三角形 ABC中，已知sinA∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC的周长是 。

12．在△ABC中，若∠B=30°3 , AC=2, 则△ABC的面积是 .

2

13．在锐角三角形中，边a、b是方程x－23 x+2=0的两根，角A、B满足2sin(A+B)3

=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积。

cosAb4

14．在△ABC中，已知边c=10, 又知，求a、b及△ABC的内切圆的半径。

cosBa3

15．已知在四边形ABCD中，BC＝a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求AB的长。

7

16．在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c= ，且tanA+tanB=3 tanA·tanB

2－3 ，又△ABC的面积为S△ABC= 第1章 解三角形

§1.2正弦定理、余弦定理及其应用

考纲要求：①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关

33

，求a+b的值。 2

的实际问题．

1. 有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长 （ ）

A. 1公里 B. sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里

22

2. 已知三角形的三边长分别为x+x+1,x－1和2x+1(x＞1)，则最大角为 （ ）

B. 120° C. 60° D. 75° 3．在△ABC中，tanA sinB tanB sinA，那么△ABC一定是 （ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形

4．在△ABC中，一定成立的等式是 ( ) A.asinA=bsinB B.acosA=bcosB

C.asinB=bsinA D.acosB=bcosA 5．在△ABC中，A为锐角，lgb+lg(

2

2

1

)=lgsinA=－lg2, 则△ABC为 c

（ ）

A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

6．在△ABC中，a 4sin10 ,b 2sin50 , C 70 ，则△ABC 的面积为

（ ）

11 B. 84sinAcosBcosC

7．若则△ABC为 abc

A.

C.

1

2

D. 1

（ ）

A．等边三角形 B．等腰三角形 C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形

8．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和的 （ ） A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 9．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ ）

A．b = 10，A = 45°，B = 70° B．a = 60，c = 48，B = 100° C．a = 7，b = 5，A = 80° D．a = 14，b = 16，A = 45° 10．在三角形ABC中,已知A 60,b=1,

则

a b c

为 ( )

sinA sinB sinc

A.

C. D.

3

3

2

11．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他

看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三 A. d1 d2 B. d1 d2

C. d1 d2 D. 不能确定大小 12．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ） A.

辆车的距离d2之间的关系为 （ ）

400

米 3

C. 2003

米

B.

3

米 3

D. 200米

13. 在△ABC中，若c 2，C 60 ，a

203

，则A ． 3

14. 在△ABC中，B=135，C=15，a=5，则此三角形的最大边长为 . 15. 在锐角△ABC中，已知A 2B，则的

a

取值范围是 ． b

7

，那么BC= . 2

17. 已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x，则x的取值范围是 ． 16. 在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线AD 18. 在△ABC中，已知tanA

11

，tanB ，则其最长边与最短边的比为 23

19．为了测量上海东方明珠的高度，某人站在A处测得塔尖的仰角为75.5，前进38.5m后，到达B处测得塔尖的仰角为80.0.试计算东方明珠塔的高度（精确到1m）.

20．在 ABC中，已知(a2 b2)sin(A B) (a2 b2)sin(A B)，判定 ABC的形状．

21.在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍 ，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.

tanAtanB

22.在△ABC中，若9a2 9b2 19c2 0，试求的值．

(tanA tanB)tanC

23． 如图，已知O的半径为1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是O上半圆上的一个动点，以PC为边作正三角形PCD，且点D

与圆心分别在PC两侧.

（1）若 POB ，试将四边形OPDC的面积

y表示成 的函数；

（2）求四边形OPDC面积的最大值.

第1章 解三角形

§1.1正弦定理、余弦定理

abc

2R sinAsinBsinC

acb22

sin2A ()2,sin2C ()2,sinB ∵ 2R(sinA-sinC)＝(3a－b)sinB

2R2R2Ra2c2b222

∴ 2R［()-()］＝(a-b)·∴ a-c＝3ab-b

2R2R2R

经典例题：解：(1)∵

a2 b2 c23

∴ ∴ cosC＝，∴ C＝30°

2ab22

(2)∵ S＝

112

absinC＝·2RsinA·2RsinB·sinC＝RsinAsinB 22

R2R2

＝-［cos(A＋B)-cos(A-B)］＝［cos(A-B)＋cosC］ 22

R23R22 32，

＝［cos(A-B)＋］ 当cos(A-B)＝1时，S有最大值(1 ) R．

22242

当堂练习： 1.D; 2.A; 3.D; 4.B; 5.C; 6.C; 7.B; 8.A; 9. 60°或120°; 10. 415 cm和43 cm; 11.50; 12. 23 或3 ;

13、解：由2sin(A+B)－3 =0，得sin(A+B)=

3

, ∵△ABC为锐角三角形 2

2

∴A+B=120°, C=60°, 又∵a、b是方程x－23 x+2=0的两根，∴a+b=23 ,

2222

a·b=2, ∴c=a+b－2a·bcosC=(a+b)－3ab=12－6=6, 1133

∴6 , S△ABC= absinC= ×2× .

2222

cosAbsinBbcosAsinB

14， = ,可得 ，变形为sinAcosA=sinBcosB

cosBasinAacosBsinA∴sin2A=sin2B, 又∵a≠b, ∴2A=π－2B, ∴A+B=

. ∴△ABC为直角三角形. 2

b4a+b-c6+8-10222

由a+b=10和 ，解得a=6, b=8, ∴内切圆的半径为 =a32215、

解：设四个角A、B、C、D的度数分别为3x、7x、4x、10x，根据四边形的内角和有3x+7x+4x+10x=360°.解得 x=15° ∴A=45°, B=105°, C=60°, D=150° 连结BD，得两个三角形△BCD和△ABD 在△BCD中，由余弦定理得

1222222

BD=BC+DC－2BC·DC·cosC=a+4a－2a·2a,

2

∴BD=3 a.这时DC=BD+BC，可得△BCD是以DC为斜边的直角三角形.∴∠CDB=30°, 于

2

2

2

是∠ADB=120°

在△ABD中，由正弦定理有AB=

BD sin

ADBsinA

∴AB

的长为

2

tanA tanB

3 ，即tan(A+B)=

1 tanA tanB

16、解：由3 tanA·tanB－3 可得－3

∴tan(π－C)= 3 , ∴－tanC=3 , ∴3 ∵C∈(0, π), ∴C=

3

33131333

又△ABC的面积为S△ABC=，∴ absinC=×∴ab=6

222222

727222222222

又由余弦定理可得c=a+b－2abcosC∴( )= a+b－2abcos∴( )= a+b－ab=(a+b)

223－3ab

112121

∴(a+b)=∵a+b>0, ∴a+b=

42

36m2 32(2m 1) 0, 103 又( 3m)2 2 2m 1 1，解之m=2或m= . sin cos m,9484

2m 1

sin cos 0, 8 而2和

§1.2正弦定理、余弦定理及其应用

1.A; 2.B; 3.D; 4.C; 5.D; 6.C; 7.B; 8.B; 9.D; 10.B; 11.C; 12.A; 13．45

14．

15

．

10

不满足上式. 故这样的m不存在. 9

16．

9 17

．

183

19.468m 20.等腰三角形或直角三角形 21.a＝6，b＝5，c＝4

5

(2)2

22. 23. (1)sin 9

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/xab4.html