湖北宜昌市2018-2019学年度高一下学期期中考试数学试题卷及答案解析

湖北省宜昌市2018-2019学年高一下学期

期中考试数学试题

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设，且，，则下列结论一定成立的是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用不等式相减的性质判断；利用不等式相加的性质判断；利用不等式相乘的性质判断；利用不等式相除的性质判断.

【详解】对于，∵，，∴，∴与无法比较大小，故本选项错误；

对于，∵，，∴，故本选项正确；

对于,当，时，，故本选项错误；

对于，当，时，，故本选项错误．

故选B．

【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.

2.不等式的解集是

A. B.

C. 或

D.

【答案】B

【解析】

试题分析：∵，∴，即，∴不等式的解集为．考点：分式不等式转化为一元二次不等式．

3.设为第四象限的角，，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

试题分析：设为第四象限的角，,则,则.故本题答案应选D.

考点：1.同角间基本关系式；2.倍角公式．

4.设的内角，，所对边分别为，，若，，，则（）

A. B. C. 或 D.

【答案】A

【解析】

由正弦定理得，所以或，又因为，所以应舍去，应选答案A。!

5.已知向量，则函数的最小正周期是

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

分析】

先利用的坐标求得函数f（x）的解析式，进而利用两角和公式和二倍角公式化简整理，利用三角函数的周期公式求得答案．

【详解】f（x ）2cos2x+2sinxcosx＝cos2x+sin2x+1sin（2x）+1

∴Tπ

故选：B．

【点睛】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，两角和公式和二倍角公式化简求值，平面向量的基本运算．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．

6.在中，，则三角形的形状为（）

A. 直角三角形

B. 等腰三角形或直角三角形

C. 等边三角形

D. 等腰三角形

【答案】B

【解析】

【分析】

由，利用正弦定理以及二倍角的正弦公式可得，讨论两种情况，即可得结果. 【详解】∵，

∴根据正弦定理，得，即．

∵，

∴或，得或，

因此是等腰三角形或直角三角形，故选B．

【点睛】判断三角形形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.

7.不等式的解集为，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

讨论两种情况，时合题意，当时，利用判别式小于零且可得结果.

【详解】当时，不等式即，恒成立．

当时，由题意可得，且，解得．

综上，实数的取值范围是，故选C．

【点睛】解答一元二次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑二次项系数的符号以及

判别式小于零即可；（2）若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题.

8.在中，，，，则的面积为()．

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

试题分析：因为为三角形的内角，所以，所以三角形的面积

，选C.

考点：三角形面积公式.

9. 下列各函数中，最小值为2的是（）

A. B. ，

C. D.

【答案】A

【解析】

试题分析：对于A ．，当且仅当即取等号正确；

对于B ．，，则当且仅当即取等号，等号取不到所以错误；

对于C ．，当且仅当即取等号，等号取不到所以错误，D ．,当不满足题意，所以应选A.

考点：基本不等式的应用.

【易错点睛】利用基本不等式求最值必须满足一正，二定，三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值，特别是等号成立的条件是否满足，必须进行验证，否则易错；基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解

决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.

10.边长分别为1，，的三角形的最大角与最小角的和是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

边长为的边对的角不是最大角、也不是最小角，利用余弦定理求出该角，由三角形内角和定理可得结果. 【详解】由题意可得，边长为的边对的角不是最大角、也不是最小角，

设此角为，则由余弦定理可得，∴，

故三角形的最大角与最小角的和是，故选C．

【点睛】本题主要考查三角形内角和定理与余弦定理的应用，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

11.2002年北京国际数学家大会会标，是以中国古代数学家赵爽的弦图为基础而设计的，弦图用四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图，若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大锐角为，则等于

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据两正方形的面积分别求出两正方形的边长，根据小正方形的边长等于直角三角形的长直角边减去短直角边，利用三角函数的定义表示出，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简可得的值，然后根据的范围求出的范围即可判断出的正负，利用同角三

角函数间的基本关系由即可求出的值．

【详解】大正方形面积为25，小正方形面积为1，

大正方形边长为5，小正方形的边长为1．

，

．

两边平方得：，

．

是直角三角形中较小的锐角，

．

．

故选：B．

【点睛】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值，是一道中档题本题的突破点是将已知的两等式两边平方．

12.方程的两根为，，且，则（）

A. B. C. D. 或

【答案】B

【解析】

【分析】

利用韦达定理求出与的值，由两角和的正切公式求得，从而可得结果.

【详解】∵方程两根为，，且，

∴，，再结合，故，，∴，故．

又，∴，故选B．

【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，

但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.如图所示，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为______米．

【答案】

【解析】

设，则，，则，∴，故答案为.

14.比较大小：__________（用“”或“”符号填空）．

【答案】

【解析】

∵（+）2=3+5+2 =8+2 ，（+）2=2+6+2 =8+2 ，

又∵＜，+＞0，+＞0，

∴＜+，

故答案为：＞．

15.已知，且，则的最小值为________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据基本不等式，结合“1”的代换，可求得的最小值。

【详解】因为，即

所以

，当且仅当时取得等号

所以的最小值为

【点睛】本题考查了基本不等式的简单应用，属于基础题。

16.设，则的值为______．

【答案】

【解析】【分析】令，结合同角三角函数的关系求得，从而可得结果.

【详解】∵，

令，

平方后化简可得，

再由，得，

∴．

故答案为．

【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系，以及换元法求函数解析式，属于中档题.求函数的解析式常见

题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，

换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消

元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.若关于x 的不等式的解集是，

（1）求a的值；

（2）求不等式

的解集．【答案】（1）﹣2；（2）{x|﹣＜x＜1}．【解析】试题分析：（1）由题意可知，1，是方程ax2+3x﹣1的两根，通过韦达定理可求出a的值；（2）将（1）中

的a代入不等式ax2﹣3x+a2+1＞0，解这个一元二次不等式即可；（注意二次项系数小于0要变形求解）

试题解析：

（1）依题意，可知方程ax2+3x﹣1=0的两个实数根为和1，

∴+1=﹣且×1=，解得a=﹣2，

∴a的值为﹣2；

（2）由（1）可知，不等式为﹣2x2﹣3x+5＞，即2x2+3x﹣5＜0，

∵方程2x2+3x﹣5=0的两根为x1=1，x2=﹣，

∴不等式ax2﹣3x+a2+1＞0的解集为{x|﹣＜x＜1}．

考点：1.一元二次方程中韦达定理应用；2.一元二次不等式求解集。

18.（1）已知，，其中，，求；

（2）已知，，且，求的值.

【答案】（1）-1；（2）.

【解析】

试题分析：（1），根据条件求解即可；

（2），只需求和三角函数即可.

试题解析：

（1）∵，，，，

∴，，

∴.

（2）∵，，∴，

∵，，∴，∴，

∴

.

∴

点睛：在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法为——配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和差的公式展开求值即可.

19.如图，渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．

（1）求渔船甲的速度；

（2）求的值．

【答案】（1）14海里/小时（2）

【解析】

试题分析：解：①

∴

（4分）

∴

∴V

海里/小时（6分）

甲

②在中，

由正弦定理得

∴

∴（12分）

考点：正弦定理，余弦定理

点评：主要是考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题。

20.如图，某学校准备修建一个面积为2400平方米的矩形活动场地（图中ABCD）的围栏，按照修建要求，中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFCD 为正方形，设米，已知围墙（包括EF）的修建费用均为每米500元，设围墙（包括EF）的修建总费用为y元．

（1）求出y关于x的函数解析式及x的取值范围；

（2）当x为何值时，围墙（包括EF）的修建总费用y最小？并求出y的最小值．

【答案】（1）；（2）当为20米时，最小．的最小值为96000元．【解析】

试题分析：（1）由题意,已知了整个矩形场地的面积,又设了宽AB为x 米，所以其长就应为米，从而围墙的长度就为：（）米，从而修建总费用元，只是注意求函数的解析式一定要指出函数的定义域，此题中不仅要而且还要注意题目中的隐含条件：“中间用围墙隔开，使得

为矩形，为正方形”从而可知矩形ABCD 的长应当要大于其宽x,所以x 还应满足：

；（2）由（1）知所以可用基本不等式来求y的最小值，及对应的x的值；最后应用问题一定要注意将数学解得的结果还原成实际问题的结果．

试题解析：（1）设米，则由题意得，且2分

故，可得4分

（说明：若缺少“”扣2分）

则，6分

所以关于的函数解析式为．7分

（2），10分

当且仅当，即时等号成立．12分

故当为20米时，最小．

的最小值为96000元．14分考点：１．函数解析式；２．基本不等式．21.已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c ，若．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若，求周长的最大值．

【答案】(1)；(2)面积的最大值为．

【解析】

试题分析：（I ）由正弦定理将边化为角得，进而求得角的大小；

（II ）由正弦定理将边化为角得周长,进而结合角的范围求最值即可.

试题解析：

(Ⅰ)由正弦定理得：.

.

.

.

.

(Ⅱ) .

周长.

.

周长的最大值为6.

22.已知，，函数．

（Ⅰ）求的对称轴方程；

（Ⅱ）求使成立的的取值集合；

（III）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（I ）；（II ）；（Ⅲ）.

【解析】

【分析】

（I）利用平面向量数量积的坐标表示、二倍角公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用可得对称轴方程；（II ）原不等式化为，利用

可得结果；（Ⅲ）恒成立，等价于，利用，求得，可得，从而可得结果.

【详解】（I ），

令，解得．

∴的对称轴方程为．

（II ）由得，即，

∴．

故x 的取值集合为．

（Ⅲ）∵，∴，

又∵在上是增函数，∴，

又，

∴在时的最大值是，

∵恒成立，∴，即，

∴实数的取值范围是．

【点睛】以平面向量为载体，三角恒等变换为手段，对三角函数的图象与性质进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.

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