常微分方程证明题

常微分方程试题——证明题

证明题

1. 试证：如果?(t)是

dXdt?AX满足初始条件?(t0)??的解，那么

.

?(t)?expA(t?t0)?2. 设y??1(x)和y??2(x)是方程y???q(x)y?0的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式W(x)?C，其中C为常数．

3. 假设m不是矩阵A的特征值，试证非齐线性方程组

dXdt?AX?Cemt，有一解形如：?(t)??yPemt，其中C,P是常数向量.

为线性方程的充

dydx4. 设f(x,y)及?f连续,试证方程dy要条件是它有仅依赖与x的积分因子.

5. 设f(x)在[0,??)上连续，且xlim???的任意解y?y(x)均有limy(x)?0x????f(x,y)dx?0求证：方程f(x)?0，

?y?f(x).

6. 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它

的通解.

7. n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解.

8. 设y??(x)是一阶非齐次线性方程于区间I上的任一解，?(x)是其对应一阶齐次线性方程于区间I上的一个非零解。则含有任意常数C的表达式：

y?C?(x)??(x)

是一阶非齐次线性方程于区间I上的全部解的共同表达式。

9. 设n?n矩阵函数A1(t)，A2(t)在（a, b）上连续，试证明，若方程组

dXdt?A1(t)X与

dXdt?A2(x)X有相同的基本解组，则A1(t)?A2(t)。

10. 证明： 一个复值向量函数X??(t)?u(t)?iv(t)是（LH）的解的充要条件，它的实部u(t)和虚部v(t)都是（LH）的解。

（五）、证明题参考答案及评分标准 (每题10分)

1. 试证：如果?(t)是证明：因为?(t)?expdXdt?AX满足初始条件?(t0)??的解，那么

.

的基本解矩阵，?(t)是其解，

At?C?(t)?expA(t?t0)?At是

dXdt?AX所以存在常向量C使得：

?(t)?exp令t?t0，则：

??exp所以

C?(expAt故

， （2分） ， （2分）

At0C?10)?， （2分）

?(t)?expAt?(expAt0)??expAt?exp(?At0)??expA(t?t0)??1 （4分）

2. 设y??1(x)和y??2(x)是方程y???q(x)y?0的任意两个解，求证：

它们的朗斯基行列式W(x)?c，其中c为常数．

证明：设q(x)在区间I上连续，由刘维尔公式可知，对任意x0?I，它们的朗斯基行列式W(x)满足：

x W(x)?W(x0)exp(??xa1(t)dt)，x0?I （4分）

0而在方程y???q(x)y?0中，a1(x)?0，所以

W(x)?W(x0)1?W(x0)， （4分） 即 W(x)?c， x?I （2分）

3. 假设m不是矩阵A的特征值，试证非齐线性方程组

dXdt?AX?Cemt，有一解形如：?(t)?pemtPemt.其中C,P是常数向量.

， （2分）

证明：要证?(t)?是解，就是要证能够确定常数向量P，它使得

d(Pedtmt

)?APemt?Cemt即Pmemt?APemt?Cemt，成立。 （2分）

亦即

P(mE?A)?C， （2分） 由于m不是A的特征值，故mE?A?0，从而mE?A存在逆矩阵， 那么可取向量 ，

P?C(mE?A)?1， （2分） 这样方程就有形如?(t)?Pemt的解. （2分）

4. 设f(x,y)及?f连续,试证方程dy?y?f(x,y)dx?0为线性方程的充

要条件是它有仅依赖与x的积分因子.

证明：先证必要性，设方程dy?f(x,y)dx?0为线性方程，即

dy?(p(x)y?f(x))dx?0， （2分） 所以

?M?y?N?p(x),?N?x?N?x?0，

?M

?y?p(x)， （2分）

（1分）

即它有仅依赖与x的积分因子，且

再证充分性，因为在方程dy所以

?M?y?(x)?exp(?p(x)dx)是其积分因子。

?f(x,y)dx?0，中

N?1,

M??f(x,y),???f?y,?N?x ?0， （2分）

?M

?y?N?N?x???f?y?f?y （1分） 是x的函数，设

如果它有仅依赖与x的积分因子，则?

??f?y?p(x)f(x) （1分）

关于y积分得：f(x,y)??p(x)y?dy?f(x,y)dx?0可表为：

，f(x)是x的可微函数，故方程

dy?(p(x)y?f(x))dx?0

是线性方程. （2分）

5. 设f(x)在[0,??)上连续，且xlim???的任意解y?y(x)均有limy(x)?0x???f(x)?0，求证：方程

dydx?y?f(x).

证明：设y?y(x)为方程的任一解，它满足初始值条件，

由常数变易法有：

x y(x)?y0e?(x?x)?e?(x?x)?xf(s)e(s?x)ds， （4分）

0000于是

limy(x)?limx??y0ex?x0x???lims?x?xf(s)eds00xx??ex?x0 （2分）

= 0 +

?s?x?0，若?xf(s)e0ds收敛0?x?x?f(s)e0?s?x0?lim?0,若f(s)eds发散?x?x0x0x??e? （4分）

6. 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它

的通解.

证明：设?(x)为黎卡提方程的一个特解，则 整理得：

dzdx?[2p(x)?(x)?q(x)]z?p(x)z2d?(x)dxdzdx?p(x)?(x)?q(x)?(x)?r(x)2， （2分）

令y??(x)?z，则有

d?(x)dx??p(x)(?(x)?z)?q(x)(?(x)?z)?r(x)

2 （3分）

（3分）

它是n?2的伯努利方程，可用初等积分法求它的通解. （2分）

7. n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解.

证明：设

dXdt?A(t)X的系数矩阵A(t)在区间I上连续，任意取定一

dXdt?，?n。点t0?I和n个线性无关的n维常向量?1，?2， （2分）

对于每一个i，i?1,2,?,n，以Xi(t)表示

Xi(t0)??i的解向量。

?A(t)X满足初始条件

（2分） 由存在与唯一性定理可知，此解向量在区间I上存在且有定义。 （2分） 由于常向量组X1(t0),X2(t0),?,Xn(t0)是线性无关的，从而向量函数组X1(t),X2(t),?,Xn(t)于区间I上线性无关. （4分）

8. 设y??(x)是一阶非齐次线性方程于区间I上的任一解，?(x)是其对应一阶齐次线性方程于区间I上的一个非零解。则含有任意常数c的表达式：

y?c?(x)??(x)

是一阶非齐次线性方程于区间I上的全部解的共同表达式。

证明：将y?c?(x)??(x)直接代入一阶非齐次线性方程

dydx?p(x)y?f(x)可知，对任意常数c，y?c?(x)??(x)都是一阶非齐次

线性方程的解。 （4分）

反之，设y0(x)是一阶非齐次线性方程的任一解，则y0(x)??(x)是其对应齐次方程

dydx?p(x)y?0的解。 （2分）

任取x0?I，由于?(x)是其对应一阶齐次线性方程

?1dydx?p(x)y?0于

区间I上的一个非零解，所以?(x0)?0。 （2分）

令c?(?(x))(y(x)??(x))，则c?(x) 和y0(x)??(x)都是其对应齐

000次方程

dydx故由初值问题?p(x)y?0的解，并且在x?x0时取相同的值，

解的唯一性知，应有C?(x)?y0(x)??(x)，即y0(x)?C?(x)??(x)。（2分）

9. 设n?n矩阵函数A1(t)，A2(t)在（a, b）上连续，试证明，若方程组

dXdt?A1(t)X与

dXdt?A2(x)X在（a, b）上有相同的基本解组，则

在（a, b）上有相同的基本解组，

， （2分）

A1(t)?A2(t)，x?(a,b).

证明：因为方程组与

d?(t)dtd?(t)dtdXdt?A2(x)X所以可设?(t)是其基本解矩阵。 （2分）

从而有： 与

?A1(t)?(t),?A1(t)?(t),t?(a,b)t?(a,b)，成立。 （2分）

所以 A1(t)?(t)?A2(t)?(t),t?(a,b)， （2分）

又由于?(t)是其基本解矩阵，所以det?(t)?0，即?(t)可逆，故

A1(t)?A2(t)，x?(a,b). （2分）

10. 证明： 一个复值向量函数X??(t)?u(t)?iv(t)是（LH）的解的充要条件，它的实部u(t)和虚部v(t)都是（LH）的解。

证明：设X则：

从而

所以

ddtddtu(t)?A(t)u(t)，且

ddtv(t)?A(t)v(t)ddtu(t)?iddtv(t)?A(t)u(t)?iA(t)v(t)， ddt(u(t)?iv(t))?A(t)(u(t)?iv(t))??(t)?u(t)?iv(t)是

dXdt?A(t)X的解，A(t)是实函数矩阵，

（2分）

， （1分） （1分）

即它的实部u(t)和虚部v(t)都是（LH）的解。 （2分）

反之，若

u(t)?A(t)u(t)，

ddtu(t)?iddtddtv(t)?A(t)v(t)成立。则

（2分）

v(t)?A(t)u(t)?iA(t)v(t)，

即向量函数?(t)?u(t)?iv(t)是（LH）的解。 （2分）

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