2012年1月自考高等数学一（微积分）试题及答案

全国2012年1月自学考试高等数学（一）试题

课程代码:00020

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列函数中为奇函数的是（ ）

x)?ex?e?xA.f(ex?e?x2

B.f(x)?2

C.f(x)?x3?cosx

D.f(x)?x5sinx

2.当x?0?时，下列变量为无穷小量的是（ ） 1A.ex B.ln x

C.x sin

1x D.

1xsinx 3.设函数f (x)=??ln(1?x), x?0x, x?0,则f (x)在点x=0处（ ） ?2A.左导数存在，右导数不存在 B.左导数不存在，右导数存在 C.左、右导数都存在

D.左、右导数都不存在

4.曲线y=3x?2在x=1处的切线方程为（ ） A.x-3y-4=0 B.x-3y+4=0 C.x+3y-2=0

D.x+3y+2=0

5.函数f (x)=x2+1在区间[1,2]上满足拉格朗日中值公式的中值?=（ ） A.1 B.

65 C.

5D.34 2 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1

26.函数f (x)=1???3?2x??5??的定义域为_________.

?27.设函数f (x)=??(1?x)x, x?0在点x=0处连续，则a=_________.

??acosx, x?08.微分d(e-2+tanx)=_________. 9.设某商品的需求函数为Q=16-4p，则价格p=3时的需求弹性为_________. 10.函数f (x)=x-2cos x在区间[0,

?2]上的最小值是_________. 11.曲线y=x2?2x?3x2?1的铅直渐近线为_________. 12.无穷限反常积分

???2x01?x4dx=_________. 13.微分方程xy′-2y=0的通解是_________. 14.已知函数f (x)连续，若?(x)=x

?x1f (t)dt，则?′(x)=_________.

15.设函数z=sin(xy2)，则全微分dz=_________.

三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16.求数列极限lim(621n??n?2)sin3n2?1.

17.设函数f (x)=1?x2arctan x-ln(x+1?x2)，求导数f′(1). 18.求极限limx?sinxx?01?x3?1.

19.求不定积分?x3lnx dx.

20.设z=z(x，y)是由方程xz+y2+ez=e所确定的隐函数，求偏导数?z?x.

(0,0)四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分) 21.确定常数a,b的值，使得点(1,

12)为曲线y=14x3?ax2?bx?1的拐点.

2

?22.计算定积分I=

?20cosx?cos3x dx. 23.计算二重积分I=

??11?x4dxdy，其中D是由曲线y=x3，

Dx=l及x轴所围成的区域，如图所示. 五、应用题（本题9分）

24.设D是由曲线y=ex，y=e-x及直线x=l所围成的平面区域， 如图所示. (1)求D的面积A.

(2)求D绕x轴一周的旋转体体积Vx.

六、证明题（本题5分） 25.证明：当x>0时，e2x>1+2x.

知识点：函数单调性解： 解：

设f?x??e2x?1?2x，则f?0??0,其导数　　　　f'?x??2e2x?2因为当x>0时f'?x??0，所以f?x?当x>0时单调增加，

从而当x>0时f?x??f?0?，即e2x?1?2x.

3

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1 答案：B

知识点：函数奇偶性

e?x?exex?e?x解： f(?x)?为偶函数 ?f(x)故f(x)?22e?x?exex?e?x为奇函数 f(?x)???f(x)，故f(x)?223f(?x)???x??cos??x???x3?cosx，()x?soc?x故fx3为非奇

非偶函数

f(?x)???x?sin??x??x5sinx?f(x)，故f(x)?x5sinx5为偶函数 2,答案：C 知识点： 无穷小量 解：

4

3,答案：知识点：导数的定义解：

4.答案：知识点：曲线的切线方程解：

C

A

1xxlim?0?e???xlim?0?ln x=-?xlim?0?x sin1x =0 xlim1?0?xsinx=1f(x)???ln(1?x), x?0?x2, x?0,法一：fx2?0?'(0)?limx?0?x?0?0　　　fln(1?x)?0x?'(0)?limx?0?x?0?limx?0?x?1法二：f?'(0)?2xx?0?0　　　f1?'(0)?1?x?1x?0所以原函数的左右导数都存在，但不可导所求切线斜率为：y'?1?213?x?2?3?x?13所求切线方程为y+1=13?x?1?即x?3y?4?05

5.答案：D

知识点：拉格朗日中值公式

解： 根据拉格朗日中值公式f?(?)=f(x2)-f(x1)x-x得

21　　　　?f(x)?x2?1,x1?1,x2=2　　　　?2??5?22?1?31

　　求解得到???32

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）6答案：?-1，4? 知识点：函数定义域 解：

2根据题意得1???3?2x??5???0 解得原函数定义域为?-1，4?7答案：e2

知识点：函数的连续性 解：

8答案：sec2x2xdx 6

知识点：函数微分

解： d(e-2+tanx)= d(e-2)+ d(tanx)=0+sec2x sec2xdx d(x)=2x9答案：3

知识点：需求价格弹性 解： 10.答案：-2 知识点：函数最值

???解： 由f'(x)?1?2sinx?0得f(x)在?0，?上无驻点和不可导点?2? 再由f(0)??2,f()?22??? 故f(x)在?0，?上的最小值为-2?2?EQEp??p?3pppQ'?p??????4??Q16?4p4?pp?3p?3?3

p?3??

11.答案：x?1 知识点：曲线的渐近线

x2?2x?3解：　　　　　　?lim??x?1x2?1 2x?2x?3　　　　　　　　曲线?的铅直渐近线为x?12x?112.答案：

知识点：无穷限反常积分

7

?2

解： ?013答案：Cx2

????2x1?22?? dx?dx?arctanx?44?001?x1?x2知识点：可分离变量的微分方程

dy2解:原方程分离变量为　　　?dxyx 两边同时积分得 lny?2lnx?lnC′(x)=_________. 　即原方程的通解为 y?Cx214答案：?1f(t)dt?xf(x) 知识点：变限积分的导数 解：?'?x???1f(t)dt?xf(x). 15答案： ycos?xy2??ydx?2xdy? 知识点：全微分 解：

dz??z?zdx?dy?x?yxx?y2cos?xy2?dx?2xycos?xy2?dy ?ycos?xy2??ydx?2xdy?三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16答案：2 知识点：数列极限

8

法一:lim(6n2?2)sinn??13n2?16n2?2?lim2n??3n?126?2n?limn??13?2n?2法二 :lim(6n2?2)sinn??23n?1?2limn??13n2?1?2

13n2?1sin117答案：?42 知识点：函数导数

解：　　　　　　　　?f'(x)??1?x2arctanx?lnx?1?x2?'????211?x　　　　　　　　　　　　　?arctanx?1?x?221?x21?xx?1?x2x11　　　　　　　　　　　　　?arctanx?? 2221?x1?x1?xxarctanx　　　　　　　　　　　　　?1?x22??2x1?x　　　　　　　　　　?f'(1)??4218答案：

知识点：洛必达法则

9

13

解：

limx?sinx1?cosxx?01?x3?1?limx?03x221?x3　　　　　　　?21?cosx3limx?0x2. 　　　　　　　?1sinx3limx?0x　　　　　　　?1319答案： 144xlnx?x416?C

知识点：不定积分的分部积分法

?x3lnx dx?14?lnx dx4?14x4lnx?13 4?x dx14?4x4lnx?x16?C20答案：?1e 知识点：隐函数求导

解：　　　　　　　设　　F(x,y,z)?xz?y2?ez?e　　　　　　　　　则　　Fx'?z，Fy'?2y，Fz'?x?ez　　　　　　　　　所以　　?z?x??Fx'zF??

z'x?ez　　　　　　　　　　　　　?z1?x??0?e1??1(0,0)e

10

四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分) 21答案：a??，b?0 知识点：曲线拐点

解：　　　　　　　由题意得f(1)?11?a?b?1?　423　　　　　　　　　　　　　　f\??2a?0

23　　　　　　　　　解得 　a??，b?043422答案：

知识点：定积分换元法 解：

?23?20cosx?cosx dx??2cosx?1?cosx? dx??2cosxsin2x dx3200???20?0　　　　　　　　　??sinxcosx dx???2cosx dcosx　　　　　　　　　令cosx?u??2　　　　　　　　　??u3302101u du?23 23答案：

2-1 2知识点：二重积分 解：

11

I???D111?x144x3ydxdydydxx3??011?x11?xx31?x1?0??014y0dxdx=?04

11??d?1?x4?401?x41?1?x42?2-1210五、应用题（本题9分）

解：

11x?x??A??(e?e)dx??e?e??e??2 0ex?x011Vx???(e2x?e?2x)dx?0?2?e2x?e?2x??01??1?2e??2?? 22?e?备注：习题5.10第1题的第6）题

12

13

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