2016届《创新设计》数学一轮（文科）人教A版课时作业 第4章 第6讲 正弦定理、余弦定理及解三角形

www.ks5u.com 第6讲 正弦定理、余弦定理及解三角形

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1

1．(2014·北京西城区模拟)在△ABC中，若a＝4，b＝3，cos A＝3，则B＝ πA．4 πC．6

1

解析 因为cos A＝3，所以sin A＝

( ) π

B．3 2πD．3 122431－9＝3，由正弦定理，得sin A＝sin B，2ππ

所以sin B＝2，又因为b＜a，所以B＜2，B＝4，故选A． 答案 A

3

2．(2015·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为2，则BC的长为 3A．2 C．23

B．3 D．2

( )

1133

解析 因为S＝×AB×ACsin A＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2

2222＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，所以BC＝3. 答案 B

ππ

3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝6，C＝4，则△ABC的面积为 A．23＋2

B．3＋1

- 1 -

( )

C．23－2 D．3－1

bc

解析 由正弦定理sin B＝sin C及已知条件，得c＝22， 2＋61232

又sin A＝sin(B＋C)＝2×2＋2×2＝4. 2＋611

从而S△ABC＝2bcsin A＝2×2×22×4＝3＋1. 答案 B

4．(2014·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＝2bcos C”是“△ABC是等腰三角形”的 A．充分不必要条件 C．充分必要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

( )

解析 依题意，由a＝2bcos C及正弦定理，得sin A＝2sin Bcos C，sin(B＋C)－2sin Bcos C＝sin Bcos C＋cos Bsin C－2sin Bcos C＝sin(C－B)＝0，C＝B，△ABC是等腰三角形；反过来，由△ABC是等腰三角形不能得知C＝B，a＝2bcos C．因此，“a＝2bcos C”是“△ABC是等腰三角形”的充分不必要条件，故选A． 答案 A

5．(2014·四川卷)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m, 则河流的宽度BC等于

( )

A．240(3－1) m C．120(3－1) m

B．180(2－1) m D．30(3＋1) m

解析 如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，AD60在Rt△ACD中，CD＝＝tan 30°＝

tan ∠ACD

- 2 -

603(m)，在Rt△ABD中，BD＝

AD6060

＝tan 75°＝＝60(2－3)(m)，

tan ∠ABD2＋3

∴BC＝CD－BD＝603－60(2－3)＝120(3－1)(m)． 答案 C 二、填空题

6．(2014·惠州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，则角B的值为________.

a2＋c2－b23

解析 由余弦定理，得2ac＝cos B，结合已知等式得cos B·tan B＝2，3π2π∴sin B＝2，∴B＝3或3. π2π

答案 3或3

7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝________.

bc

解析 由正弦定理sin B＝sin C，

85bb

将8b＝5c及C＝2B代入得sin B＝sin 2B， 851

化简得sin B＝2sin Bcos B， 4

则cos B＝5，

7?4?所以cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝2×?5?2－1＝25. ??答案

7 25

1

8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cos C＝4，则sin B＝________.

1

解析 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4，即c＝2.由cos C＝4得sin C15bcbsin C21515

＝4.由正弦定理sin B＝sin C，得sin B＝c＝2×4＝4(或者因为c＝

- 3 -

15

2，所以b＝c＝2，即三角形为等腰三角形，所以sin B＝sin C＝4)． 答案

154

三、解答题

9．(2015·广州测试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝5，c＝7. (1)求角C的大小； π??

(2)求sin?B＋3?的值．

??

a2＋b2－c232＋52－721

解 (1)由余弦定理，得cos C＝2ab＝＝－2.∵0＜C＜π，∴C

2×3×52π＝3.

bc

(2)由正弦定理sin B＝sin C，得 2π5sin3

bsin C53

sin B＝c＝7＝14， 2π

∵C＝3，∴B为锐角， ∴cos B＝1－sin2B＝

?53?211

?＝. 1－?

?14?14

π?ππ?

∴sin?B＋3?＝sin Bcos 3＋cos Bsin 3

??53111343＝14×2＋14×2＝7.

10．(2014·杭州检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ac＝3，33S△ABC＝4. (1)求B；

(2)若b＝2，求△ABC的周长．

11333

解 (1)因为S△ABC＝2acsin B，所以2×3sin B＝4，即sin B＝2.

- 4 -

π2π

又因为0＜B＜π，所以B＝3或3. π2π

(2)由(1)可知，B＝3或3，

π

当B＝3时，因为a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝2，ac＝3， 所以a＋c＝11；

2π

当B＝3时，因为a2＋c2＋ac＝2，ac＝3， 所以a2＋c2＝－1(舍去)，

所以△ABC的周长为a＋c＋b＝11＋2.

能力提升题组

(建议用时：25分钟)

11．(2014·东北三省四市联考)在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，满足

bc

＋≥1，则角A的范围是 a＋ca＋b

π??0，B．?6? ???π?D．?6，π?

??

( )

π??

0，A．?3? ???π?C．?3，π?

??解析 由

bc

＋≥1，得b(a＋b)＋c(a＋c)≥(a＋c)(a＋b)，化简得b2＋c2－a＋ca＋b

222b＋c－a11π

a2≥bc，即≥，即cos A≥(0＜A＜π)，所以0＜A≤

2bc223，故选A．

答案 A

12．(2015·石家庄模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csin A＝3acos C，则sin A＋sin B的最大值是 A．1 C．3

B．2 D．3

( )

解析 由csin A＝3acos C，得sin Csin A＝3sin Acos C，又在△ABC中 π

sin A≠0，所以sin C＝3cos C，tan C＝3，C∈(0，π)，所以C＝3.所以sin Aπ?2π?3?π?3??

＋sin B＝sin A＋sin?3＋A?＝2sin A＋2cos A＝3sin?A＋6?，A∈?0，3?，所以

??????

- 5 -

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