21 线性赋范空间

第二章 线性赋范空间与内积空间

Normed Linear Spaces and Inner Product Spaces

前面介绍了度量空间及其性质，在那里通过定义距离的概念，引入了点列的极限，这种点列极限是微积分中数列极限在抽象空间的推广．然而只有距离结构，没有代数结构的空间在应用上受到许多限制．本章通过在线性空间中定义范数来赋予线性空间上的一种特殊距离，从而将收敛的概念引入到线性空间，由此导出线性赋范空间的概念，如果这种空间的两个向量再赋予类似欧氏空间的“内积”或“点积”的概念后，便是内积空间．因此本章的主要内容就是线性赋范空间与内积空间．

2.1 线性赋范空间的定义与极限

在学习高等代数时，我们已了解到线性空间的概念，线性赋范空间，简单地说，就是给线性空间赋予范数．

定义2.1.1 线性空间

设X为一非空集合，R表示实数域(或为复数域C)．在X中定义了元素的加法运算以及实数(或复数)与X中元素的乘法运算，且满足下列条件：

1. 关于加法“+”：?xy,X?有?x,y,z?X，

(1) x?y?y?x (交换律)；

(2) (x?y)?z?x?(y?z) (结合律)；

(3) 在X中存在唯一元素?，使得?x?X，有x???x，则称?为X中零元素； (4) ?x?X，存在唯一元素x??X，使得x?x?=?，称x?为x的负元素，记为?x. 2. 对X中每个元素x及任何实数(或复数)a，存在元素u?X与之对应，记为u=ax，称u为a与x的数乘，且满足?x,y?X，??,??R(或C)

，?u?X与之对应，记为u?x?y，称u为x与y的和，且具

(1) (???)x??x??x (分配律)；

(2) ?(x?y)??x??y (数因子的分配律)； (3) ?(?x)?(??)x (结合律)； (4) 1x?x (单位1).

则称X按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间，X中的元素称为向量.如果数乘运算只对实数(或只对复数)有意义，则称X是实(或复)线性空间. 满足上述加法和数承运算的性质，统称为线性运算．

我们知道，n维欧式空间Rn是线性空间；C[a,b]在通常加法和数乘意义下构成线性空间；n阶实矩阵在矩阵的加法和数乘意义下构成线性空间．

2.1.1 线性赋范空间的定义与举例

定义 2.1.2 线性赋范空间Normed Linear Spaces

设X是数域K上的线性空间，其中K表示R或者C．若对每个x?X，有一个确定的实数，记之为x，与之对应，并且?x,y?X，??K满足：

(1) ||x||?0，||x||?0?x?0 (正定性or非负性)；Positive definiteness or Nonnegativity (2) ||?x||?|?|?||x|| (齐次性)；Multiplicativity

(3) ||x?y||?||x||?||y|| (三角不等式). Triangle inequality

则称||x||为向量x的范数(norm)，称(X,|| ||)为线性赋范空间.简记为X．通常称定义中的(1)、 (2) 、(3)为范数公理．

注1：线性赋范空间诱导的度量空间

在线性赋范空间X中可定义距离：?x,y?X，定义

d(x,y)?||x?y||

容易验证非负性、对称性和三角不等式(X,d)为度量(距离)空间，并称d为由范数||?||导出的距离，X按导出的距离成为一个度量空间．从而在线性赋范空间X中，关于点的邻域、开集、闭集、点列的收敛、极限点、列紧、可分性以及完备性等概念都有了确定的含义．

定义 2.1.3 巴拿赫空间Banach space

设X为一线性赋范空间，如果X按照距离d(x,y)?||x?y||是完备的，则称X为巴拿赫(Banach)空间.即完备的线性赋范空间称为Banach空间.

例 2.1.1 在n维欧式空间Rn上，?x?(x1,x2,?,xn)?Rn，定义范数||?||

22． ||x||?(?|xi|)?x12?x2???xni?1n122记d为由范数||?||导出的距离d(x,y)?||x?y||，证明(Rn,d)为Banach空间.

证明 容易验证正定性和齐次性成立，由于第二章已经证明Rn上距离

d(x,y)?||x?y||?(?|xi?yi|)

i?1n122满足三角不等式，所以有

??||x?y||?d(x,?y)?d(x,0)?d(0,?y)?||x||?||y||．

同时第二章已经证明Rn是完备的度量空间，故Rn为Banach空间．□

例 2.1.2 在C[a,b]在通常加法和数乘意义下构成线性空间，定义范数||x||?max|x(t)|，此

t?[a,b]范数导出的距离为d(x,y)?||x?y||?max|x(t)?y(t)|，证明在此距离下C[a,b]是完备的，即在此

t?[a,b]范数下C[a,b]为Banach空间．

证明 容易验证正定性和齐次性成立，又

||x?y||?max|x(t)?y(t)|?max|x(t)|?max|y(t)|?||x||?||y||

t?[a,b]t?[a,b]t?[a,b]即满足三角不等式．第二章已证明C[a,b]在此范数诱导的距离意义下是完备的度量空间，故

C[a,b]为Banach空间．□

也可证明线性空间l?，lp，Lp[a,b](1?p???)为Banach空间，加之前两个例题的结果知在下列定义的范数意义下，均为Banach空间：

n维欧式空间R

nn122||x||?(?|xi|)

i?1x?(x1,x2,?,xn)?Rn

x?(x1,x2,?,xn,?)?l?有界数列空间l p次幂可和的数列空间lp

?||x||?sup|xi|

i?1

1p||x||?(?|xi|)

pi?1?x?(x1,x2,?,xn,?)?lp

x?C[a,b]

1p连续函数空间C[a,b] p次幂可积函数空间

L[a,b]

p||x||?max|x(t)|

t?[a,b]||x||?(?[a,b]|x(t)|dt)px?Lp[a,b]

b

例 1.3 在C[a,b]上定义范数||x||1??a|x(t)|dt，其导出的距离为

d1(x,y)?||x?y||1??|x(t)?y(t)|dt，

ab那么在范数||?||1下C[a,b]不是Banach空间．

证明 仿照前章证明C[0,1]在d1下不是完备的度量空间，可知(C[a,b],d1)不是完备的度量空间，又因||x?y||1??a|x(t)?y(t)|dt??a|x(t)|dt??a|y(t)|dt?||x||1?||y|||1，可知||?||1符合范数的三条公理．故在范数||?||1下C[a,b]不是Banach空间．□

如果在线性空间X上具有定义好的距离函数d(x,y)，那么(X,d)就为一度量空间，试问是否在存在X上的某范数||?||，使得d是由这个范数||?||导出的距离，即满足d(x,y)?||x?y||．答案是否定的．

例 2.1.4 设X为线性赋范空间，令

?0d(x,y)???||x?y||?1x?yx?ybbb

证明(X,d)为度量(距离)空间，但d不是由某范数||?||导出的距离．

证明 显然距离d(x,y)定义中的非负性和对称性成立，?x,y,z?X，下证三角不等式成立 当x?y时，则d(x,y)?0?d(x,z)?d(z,y)； 当x?y时分为三种情况：(1)x?z和y?z．

d(x,y)?||x?y||?1?||x?z?z?y||?1?||x?z||?||z?y||?1?d(x,z)?d(z,y)．

(2)x?z和y?z．注意到||x?z||?0和d(x,z)?0，所以有

d(x,y)?||x?y||?1?||x?z||?||z?y||?1?d(x,z)?d(z,y)．

(3)x?z和y?z．注意到||z?y||?0和d(z,y)?0，所以有

d(x,y)?||x?y||?1?||x?z||?1?||z?y||?d(x,z)?d(z,y)．

因此(X,d)是度量空间．假设d是由某范数||?||1导出的距离，即d(x,y)?||x?y||1，于是当x??及?x??时有

||x||1?d(x,?)?||x||?1； ||?x||1?d(?x,?)?|?|||x||?1；

可见

|?|||x||1?|?|d(x,?)?|?|(||x||?1)

显然|?|||x||1?||?x||1产生矛盾，故d不是由某范数导出的距离．□

问题：对于实数集R上定义的离散度量空间d(R,d0)，是否存在某范数使得离散度量d0是由该范数诱导的度量？

定义 2.1.4 线性赋范空间的子空间

设X为一线性赋范空间，如果X1是X的线性子空间，并且X1上的范数是X上的范数在X1上的限制，则称X1是线性赋范空间X的子空间．如果X1在X中是闭的，则称X1为X的闭子空间．

复习：完备度量空间X的子空间M是完备的充要条件M是X的闭子空间．

2.1.2 线性赋范空间的极限

根据范数导出的距离d(x,y)?||x?y||可以得到有关极限的概念，并且可讨论线性赋范空间中点列的收敛性．

定义 2.1.5 依范数收敛

设X为线性赋范空间，{xn}是X中的点列，x?X，如果limxn?x?0，则称{xn}依范数

n??收敛于x(简称{xn}收敛于x)，记为limxn?x或xn?x(n??)．

n??显然依范数收敛就是按范数导出的距离收敛．关于点列的极限有以下性质． 定理 2.1.1 设X为线性赋范空间，{xn}?X，

(1)范数的连续性：范数x是x的连续函数(即若xn?x，则有xn?x)． (2)有界性：若{xn}收敛于x，则{xn}有界．

(3)线性运算的连续性：若xn?x，yn?y(n??)，则xn?yn?x?y，?xn??x(n??)，其中?为常数．

证明 (1) 设f(x)?x，则f：X?R，若xn?x，即

xn?x?d(xn,x)?0，

又因为xn?xn?x?x，x?x?xn?xn，所以

f(xn)?f(x)?xn?x?xn?x?0，

因此x是x的连续函数．

(2) 根据xn?xn?x?x易得结论． (3) 根据范数、极限的定义易证结论．□

在线性赋范空间中，由于范数刻画了向量的长度，因此，赋范空间中的概念具有更强的几何直观性．

定理 2.1.2 设X为线性赋范空间，d是由范数导出的距离，则?x,y,z0?X，??K(数域) 有：

(1)平移不变性：d(x?z0,y?z0)?d(x,y)． (2)绝对齐次性：d(?x,?y)??d(x,y)．

证明 (1) d(x?z0,y?z0)?(x?z0)?(y?z0)?x?y?d(x,y)． (2) d(?x,?y)??x??y??(x?y)??x?y??d(x,y)．

2.1.3 线性赋范空间上的级数

在线性赋范空间中，既有代数运算，又有极限运算，因此可以引进无穷级数的概念． 定义 2.1.6 级数 Progression

设X为线性赋范空间，点列{xn}?X，称表达式x1?x2???xn????xn为X中的级

n?1?数．若部分和点列Sn?x1?x2???xn依范数收敛于s?X，则称级数?xn收敛于s，称s为级

n?1?数的和，记为s??xn．如果数项级数?xn收敛，则称级数?xn绝对收敛．

n?1n?1n?1???例 2.1.5 证明在Banach空间中，绝对收敛的级数必收敛．(习题)

证明 设级数?xk绝对收敛，令Sn??xk，下面证明{Sn}是X中的柯西列，当m?n时，

k?1k?1?n有

Sm?Sn?xn?1?xn?2???xm

?xn?1?xn?2???xm

?k?n?1??xk??xk??xk?0,

k?1k?1?n因此{Sn}是完备空间X中的柯西列，从而是收敛列，即级数的部分和点列收敛．

例 2.1.6 如果在线性赋范空间X中，任何级数的绝对收敛总蕴含级数收敛，那么X是完备的(即为Banach空间)．(习题课)

由上例子可知，当且仅当在Banach空间中有级数的绝对收敛蕴含着收敛． 定义2.1.6 绍德尔(Schauder)基

设X为线性赋范空间，{en}是X中的一个点列，如果对于每一个x?X，存在唯一的数列

{?n}，使得

x?(?1e1??2e2????nen)?0(n??)

则称{en}是空间X中的一组绍德尔基，称x???nen为x的展开式．

n?1?例如，p次幂可和的数列空间lp有一个绍德尔基{en}，其中en?(0,?,0,1,0,?,0,?)，en的第n个坐标等于1，其余坐标为0．可以证明，若线性赋范空间X有一组绍德尔基，则X是可分的线性赋范空间，反之不真．

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