2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法(1)空间向量与平行关系

3.2 立体几何中的向量方法（1）空间向量与平行关系

学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.

知识点一 直线的方向向量与平面的法向量

思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？

答案 (1)点：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用→→

向量OP来表示.我们把向量OP称为点P的位置向量.

(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.

→→

②对于直线l上的任一点P，存在实数t，使得AP＝tAB，此方程称为直线的向量参数方程. (3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定.对于平面α上的任一点

P，a，b是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x，y)，使得OP＝xa＋yb.

②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示. 梳理 (1)用向量表示直线的位置 条件 直线l上一点A 表示直线l方向的向量a(即直线的方向向量) →

→→形式 在直线l上取→AB＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得AP＝tAB 作用 定位置 定点 点A和向量a可以确定直线的位置 可以具体表示出l上的任意一点 (2)用向量表示平面的位置

①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定：

条件 形式 平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O →对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)使得OP＝xa＋yb ②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定： 平面的法向量 确定平面位置

(3)直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量 能平移到直线上的非零向量a，叫做直线l的一个方向向量 直线l⊥α，直线l的方向向量，叫做平面α的法向量 过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的 平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量n，叫做平面α的法向量 (4)空间中平行关系的向量表示

设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则

线线平行 线面平行 面面平行

知识点二 利用空间向量处理平行问题

思考 (1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系.

(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？

(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？

答案 (1)由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2?v1∥v2?v1＝λv2(λ∈R).

(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行. (3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行.

梳理 利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运

l∥m?a∥b?a＝kb(k∈R) l∥α?a⊥μ?a·μ＝0 α∥β?μ∥v?μ＝kv(k∈R) 2

算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.

类型一 求直线的方向向量、平面的法向量

例1 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.

解 因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形， 所以AB，AD，AP两两垂直.

如图，以A为坐标原点，→

AB的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则D(0，3，0)，E(0，

32，1

2

)，B(1，0，0)，C(1，3，0)，

于是→

AE＝(0，31→2，2)，AC＝(1，3，0).

设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量， ?→?x＋3y＝0，

则??

n·AC＝0，

即?

???n·→AE＝0，

?3?2

y＋1

2z＝0，

所以??

x＝－3y，

?z

＝－3y，

令y＝－1，则x＝z＝3.

所以平面ACE的一个法向量为n＝(3，－1，3). 引申探究

若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量. 解 如图所示，建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(1，3，0)，

3

→

所以PC＝(1，3，－1)， 即直线PC的一个方向向量.

设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z). →

因为D(0，3，0)，所以PD＝(0，3，－1). →??n·PC＝0，

由?

→??n·PD＝0，

即?

?x＋3y－z＝0，?3y－z＝0，

?x＝0，

所以?

?z＝3y，

令y＝1，则z＝3.

所以平面PCD的一个法向量为n＝(0，1，3). 反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z). →→

(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB，AC. →??n·AB＝0，

(3)列方程组：由?

→??n·AC＝0→??n·AB＝0，

(4)解方程组：?

→??n·AC＝0.

列出方程组.

(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量.

跟踪训练1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形.∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的法向量.

解 因为PA＝PB，F为AB的中点，所以PF⊥AB，

又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF?平面PAB.

4

所以PF⊥平面ABCD，因为AB＝BC，∠ABC＝60°， 所以△ABC是等边三角形，所以CF⊥AB.

以F为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图所示).

由题意得F(0，0，0)，P(0，0，33333)，D(－1，，0)，C(0，，0)，E(0，，). 22244

33→3→

所以FE＝(0，，)，FD＝(－1，，0).

442设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z). →??m·FE＝0，

则?

→??m·FD＝0，

33

?y＋z＝0，?44即?

3

－x＋y＝0.??2

z＝－y，??

所以?3

x＝y，?2?

令y＝2，则x＝3，z＝－2.

所以平面DEF的一个法向量为m＝(3，2，－2). 类型二 利用空间向量证明平行问题

例2 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F.

证明 (1)建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，

C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，

→→→

所以FC1＝(0，2，1)，DA＝(2，0，0)，AE＝(0，2，1). 设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量， →→

则n1⊥DA，n1⊥AE，

5

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