2019年北京市培养单位数学与系统科学研究院616数学分析考研强化五套模拟题

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目录

2019年北京市培养单位数学与系统科学研究院616数学分析考研强化五套模拟题（一） (2)

2019年北京市培养单位数学与系统科学研究院616数学分析考研强化五套模拟题（二） (9)

2019年北京市培养单位数学与系统科学研究院616数学分析考研强化五套模拟题（三） (15)

2019年北京市培养单位数学与系统科学研究院616数学分析考研强化五套模拟题（四） (20)

2019年北京市培养单位数学与系统科学研究院616数学分析考研强化五套模拟题（五） (25)

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第 2 页，共 30 页 2019年北京市培养单位数学与系统科学研究院616数学分析考研强化五套模拟题

（一）

特别说明：

1-本资料为2019考研学员暑期强化班模拟题，检验强化阶段复习质量及复习效果使用。

2-资料仅供考研复习参考，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权、请联系我们立即处理。

一、证明题

1． 对

应用拉格朗日中值定理,试证:对x>0有

【答案】令

,则,对应用拉格朗日中值定理得

因此

9

故

,

2． 设证明: 【答案】构造函数

Taylor 展开可以证明,

所以

递增.

又因为

所以原命题成立.

3． 证明定理: 设函数f 在点的某空心右邻域

有定义.的充要条件是:对任何以为极限的递减数列有

【答案】

设对任何以

为极限的递减数列

有,现用反证法证明

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若

则存在某一个正数

不论

多么小,总存在一点x ,使得

并

且

设

因此,可以取到数列

使之满足

显然单调递减,且,但与题设矛盾.故

设

则对任给的

,存在

使得当

时,有设递

减数列

且

.

则对上面的存在正整数N ,

使得当

时,

有

,从而当时有故

4． 设

和

为正项级数，且存在正数对一切

，有

证明:若级数收敛，则级数

也收敛；若发散，则

也发散.

【答案】由题意

时，

，从而

又因为改变有限项不改变级数的敛散性，所以由比较原则， 若级数收敛，则级数

也收敛；若

发散，则

发散.

二、解答题 5． 求下列极限:

（1）

（2）

（3） （4） （5）

（6）

【答案】 （1）

（2） （3）

（4）

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（5）

（6）

6． 试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成:

（1） （2）

（3）

（4）

【答案】（1）由

复合而成. （2）由复合而成.

（3）由

复合而成.

（4）

由

复合而成.

7． 讨论下列各函数列

在所定义的区间上: （

a ）.

与

的一致收敛性；

（

b ）是否有定理的条件与结论.

（1）

（2） （3）

【答案】 （1）

设

则

所以及

在[0, b]上均一致收敛.

（b ）因为在

[0, b]

上一致收敛,且每一项均连续,故满足定理的条件,进而有定理

的结论.又

在[0, b]上一致收敛,且每一项连续,故

满足定理的条件及结论.

（2） （a ）

而

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故

即

在[0, 1]上一致收敛.又g （x ）在[0, 1]上有间断点,故

在[0, 1]上不一致收敛.

（b ）因在[0, 1]上一致收敛,且每一项均连续,所以

具有定理的条件与结论.

由于

在[0, 1]上不一致收敛,故

不具有定理的条件.又

,从而

也不具有

定理的结论.

（3） （a ）

,故

故

.易求

得

在

处取得[0,1]上的最大

值

所以

故

在[0,1]上不一致收敛.

又的每一项在[0, 1]上连续,但g （x ）在[0, 1]上不连续,故

在[0, 1]上不一致收敛.

（b ）由于

及

在[0, 1]上均不一致收敛,故不满足定理的条件.又

在[0,1]上连续,故

具有定理的结论,又有

及在x=0处不连续,进而不可微,故

不具有定理13. 10, 13. 11的结论.

8． 已知

求

【答案】令

则

所以

9． 在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数:

（1） （2） （3）

【答案】（1）（i ）f （x ）及其周期延拓的图像如图1所示,

图1

显然f （x ）在内按段光滑,由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数,

因为

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所以在区间内,

（ii ）函数f （x ）及其周期延拓的图像如图2所示,

图2

显然f （x ）在

内按段光滑,由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数, 因为

所以在.内,

（2）（i ）函数及其周期延拓的图像如图3所示,

图3 显见

在内按段光滑,由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数, 因为

所以在内,

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