《高等数学》不定积分课后习题详解

篇一：高等数学第四章不定积分习题

第四章不 定 积 分

4 – 1不定积分的概念与性质

一.填空题

1．若在区间上F?(x)?f(x)，则F(x)叫做f(x)在该区间上的一个f(x)的 所有原函数叫做f(x)在该区间上的__________。

2．F(x)是f(x)的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为

d(arcsinx)?

1?x2

dx

,所以arcsinx是______的一个原函数。

4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与x成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该曲线方程为__________ 。 二．是非判断题

1． 若f?x?的某个原函数为常数，则f?x??0. [ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3．

3

??f?x?dx???f??x?dx. [ ]

?

4． 若f?x?在某一区间内不连续，则在这个区间内f?x?必无原函数. [ ] 5.y?ln?ax?与y?lnx是同一函数的原函数. [ ] 三．单项选择题

1．c为任意常数，且F'(x)=f(x),下式成立的有 。（A）?F'(x)dx?f(x)+c;（B）?f(x)dx=F(x)+c;（C）?F(x)dx?F'(x)+c;(D) ?f'(x)dx=F(x)+c.

2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)?0，则下式成立的有 。（A）F(x)=cG(x); （B）F(x)= G(x)+c;（C）F(x)+G(x)=c; (D) F(x)?G(x)=c. 3．下列各式中是f(x)?sin|x|的原函数。(A) y??cos|x| ; (B) y=-|cosx|;(c)y=?

?cosx,x?0,cosx?2,x?0;

(D) y=?

?cosx?c1,x?0,cosx?c2,x?0.

c1、c2任意常数。

4.F?(x)?f(x),f(x) 为可导函数，且f(0)=1,又F(x)?xf(x)?x2，则f(x)=______.(A) ?2x?1 (B)?x?1 (C)?2x?1(D)?x?1 5.设f?(sin2x)?cos2x，则f(x)=________.

1

(A)sinx?sin2x?c; (B)x?1x2?c; (C)sin2x?1sin4x?c; (D)x2?1x4?c;

2222

2

2

6.设a是正数，函数f(x)?ax,?(x)?axlogae,则______.(A)f(x)是?(x)的导数； (B)?(x)是f(x)的导数；(C)f(x)是?(x)的原函数； (D)?(x)是f(x)的不定积分。

四．计算题

1.?xndx

2.?

dh2gh

(g是常数）

3．x?1)(x?1)dx 4.

5.e(1?

?

3

?

(1?x)2

x

?

x

e?xx

)dx6.?32xe3xdx

4sin3x?1x2?22x?2

dx 7.?8.?2

sinxx?2

xx21?cos2x

dx 9.?(cos?sin)dx 10.?

221?cos2x

cos2x22?3x?33?2x

dx 12.?dx 11.?

sin2xcos2x3x

13.(

15.(1?

五．应用题

1．一曲线通过点(e,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该 曲线的方程.

2．一物体由静止开始运动,经t秒后的速度是3t(米/秒),问:

(1) 在3秒后物体离开出发点的距离是多少? (2) 物体走完360米需要多少时间

2

2

?

32

?)dx14.?secx(secx?tanx)dx

21?x2?x

?

1

)xxdx 16.x2

?

1?x

dx 1?x

4-2 换元积分法

一、填空题

1.dx?______d(ax) ((a?0)) 2.dx?______d(7x?3)3.xdx?_______d(x2) 4.xdx?______d(5x2) 5.xdx?______d(1?x2) 6.x2dx?_______d(2?3x3) 7.edx?______d(e)8.e

2

2x2x

?

x

2

dx?______d(1?e)

x

?1)dx?d(______) 3

?

x2

9.xe?2xdx?d(_______)10.cos(11.

dxdx

?______d(5lnx)12.?______d(3?5lnx) xx

13.sin(?t??)dt?d(______)14.

dx?x

2

?______d(1?arcsinx)

15．

?

1xx?1

2

?

?

x2

11

?()2

x

?

?

1?_________ 1?()2

xd

16.若

?f(x)dx?F(x)?c,则?f(ax?b)dx?________(a?0)

二．是非判断题

lnx1?1?111． ?dx??d????2?c. [ ]

xx?x?2x12．

?x?1xdx?2arctgx?c. [ ] 3．设f?x?dx?sinx?c，则f?arcsinx?dx?x?c. [ ]

??x2

?

4．已知f??lnx??

?

1,0?x?1,

x,???x?0,?

且f?0??0，且f?x???x.[ ]

x,1?x???,?e?1,0?x???

5．?sin2xdx?1sin3x?c. [ ] 36．若?f?x?dx?F?x??c，则?f?g?x??dx?F?g?x???c. [ ] 三．单项选择题 1.?f?(3x)dx?_____.(A)

11

f(x)?c; (B)f(3x)?c; 33

(C)3f(x)?c;(D)3f(3x)?c;

2.

f?(x)

. ?1?[f(x)]2dx?________

(A) ln|1?f(x)|?c;(B) 1ln|1?[f(x)]2|?c;

2 (C) arctan[f(x)]?c;(D) 1arctan[f(x)]?c.

2

1?x?3.?dx?. ???x?

?

(A)

2

11

?2ln|x|?x?C(B) ??2ln|x|?x?C

xx

(C) ?1?2ln|x|?C (D)ln|x|?x?C

x3?2x?2?3x

dx?. . 4.x

2?

33

3x?2ln?()x?c;

(A)(B) 3x?2x(3)x?1?c 22

2

x

2?3?2?3? (C) 3? (D) 3??c???c ??

ln3?ln2?2?ln3?ln2?2?

x

5.

1?x7

?x(1?x7)dx?______.

7

x (A) 1ln|

7(1?x7)2

1x7

|?c;(B) 7ln|1?x7|?c;

1x61x6

（C） ln||?c; |?c; (D) ln|662

61?x6(1?x)

6.|x|dx?_____. (A)

?

1111

|x|2?c; (B) x2?c;(c) x|x|?c; (D) ?x2?c;

2222

e3x?1

7.?xdx?_____.

e?1

11

(A) e2x?ex?x?c; (B) e2x?ex?c;

22

11

(C) e2x?ex?x?c; (D) e2x?ex?c.

22

8.e

1?sin2x

sin2x的全体原函数是________.

(B) e

1?sin2x?c;

(A) e

1?sin2x;

(C) e

1?sin2x?c

(D) e

1?sin2x

?c

篇二：《高等数学》第五章 不定积分的习题库(2015年11月)

第五章 不定积分

一、判断题

1.

??f(x)dx???f(x)dx。

'

'

（） （） （） （） （） （）

?

2. ??f(x)dx??f(x)。

??

3.

?f?(x)dx?f(x)?C。

4. y?ln(ax)与y?lnx是同一函数的原函数。 5.

lnx1111

?()??x?xx2?x2?C

?C 6.

7. 设?

f(x)dx?sinx?C则8.

132

xsinxdx?sinx?C ?3

?x?C

（） （）

二、选择题

1. F?(x)?f(x)，C为常数，下列等式成立的是

A.?F?(x)dx?f(x)?C

'

C.?f(x)dx?F(x)?C

（）

B.?f(x)dx?F(x)?C D.

??F(x)dx???F?(x)

2. F(x)和G(x)是f(x)函数的任意两个原函数，则下式成立的有 （）

A.F(x)=CG(x) B.F(x)=G(x)?C C.F(x)?G(x)?C D.F(x)?G(x)?C

3. 若曲线y?f(x)通过点(1,2)，且在该曲线上任意点(x,y)处切线的斜率为3x2，则该曲

线方程是

（）

A.f(x)?x3?C B.f(x)?x3?1 C.f(x)?x3?1

D.f?(x)?3x2

（）

4. 下列函数中，是同一个函数的原函数的是

A.arctanx和arccotx C.?e?e

x

?x2

B.sin2x和cos2x

2x

D.和2x?ln2 ln2

?

和e?e

2x?2x

5. 若F(x)是f(x)的一个原函数，C为常数，则下列函数中仍f(x)的是

（）

《高等数学I》习题库

第五章不定积分 第五章共9页

A. F(Cx) B. F(x?C)

C. CF(x)

D.F(x)?C

（）

6. 设f'(sin2x)?cos2x，则f(x)?

12

sinx?sinx?C A.

2124

C. sinx?sinx?C

2

12

x?C 2142

D.x?x?C

2

B.x?

xx

7. 设a?0，函数f(x)?a,?(x)?alogae则

（）

A. f(x)的导数等于?(x) B.f(x)是?(x)的原函数 8.

?f'(x)

1??f(x)?2

dx=

A.1

2

ln?f(x)?C

C.arctan?f(x)??C

2

9. ???1?x??x??

dx?

A. 1

x?2lnx?x?c C. ?1

x

?2lnx?c 3?2x?2?3x

10. ?2x

?

x

A.3x?ln32???3?

?2??

?c

C.3?2?3x

ln3?ln2??

?2??

?c

?e3x11.?1

ex?1

?

A. 12e2x?ex

?x?c

B. 12. ?1?x7

x(1?x7)

dx? 《高等数学I》习题库

B. ?(x)的导数等于f(x)

D.?(x)是f(x)的不定积分

（）

B.12ln1??f(x)?2

?C D.1

2

arctan?f(x)??C

（）

B. ?1x

?2lnx?x?c

D. lnx?x?c

（）

x?1

B.3x?2x??3?

?2?

??c

x

D.3x?2?3?

ln3?ln2??2???c

（）

12x2e?ex

?c

C.12

e2x?ex

?x?c D.12

e2x?ex

?c （）

第五章不定积分 第五章共9页

1x7

?c A.ln72

7(1?x)1x6

?c C.ln62

6(1?x)

''

13. ?xf(x)dx?

1x7

?c B.ln

71?x7

1x6

?c D.ln6

61?x

（）

A.xf'(x)?f(x)?cB.xf'(x)?f'(x)?c

'

C.xf'(x)?f(x)?cD.xf(x)??f(x)dx

14. ?sinxln(tanx)dx=

A.?cosxln(tanx)?lntan

（）

x

?c B.cosxln(tanx)?lncscx?cotx?c 2

C.ln(tanx)?lntan

2

15. ?xsinxdx?

x

?c D.?cosxln(tanx)?lnsinx?c x

（）

121121

A. x?xsin2x?c B. x?xcos2x?c

4448

12x1x?sin2x?cos2x?C xcosx?sinx?cC. D. 448

lnx

16. ?()dx?

x

2

（）

1212x1

A. ?(lnx?2lnx?2)B. lnx?lnx??c

xx2x

112?xx

lnx?2lnx??cearctane?x?ln(1?e2x)?c C.D.

x2

arcsinx

dx? （） 17. ?x211

A. ?arcsinx?lncscx?cotx?c B. ?arcsinx?lncotx?cscx?c

xx

11?

cD. ?arcsinx?c C. ?arcsinx?xxarctanex

dx? 18. ?x

e

（）

11?xx2x?xx2x

A. ?earctane?ln(1?e)?cB. ?earctane?x?ln(1?e)?c

22

《高等数学I》习题库

第五章不定积分 第五章共9页

12x?xx

C.?e?xarctanex(?e?x?1)?c D. ?ln(1?e)?earctane?x?c

2

1?cosx

?（） 19. ?1?cosx

A. x+2cotx?cscx?c B. ?x?2cotx?c

C. ?x?2(cscx?cotx)?c D. ?x?cscx?cotx?c 20. ?sinx(2cscx?cotx?

1

)dx= sin3x

（）

A. 2xsinx?cotx?c B. 2x?sinx?cotx?c C. 2?sinx?cotx?c D. ?x?cscx?cotx?c 1

21. 的全体原函数是（）

1?sinx

?2

1?c?cB. A. tanx?

1?tansinx

2

11

?tanx??ctanx??c C.D.

sinxcosx

sinxcosx

? （） 22. ?4

sinx?cos4x11

A. arctan(cos2x)?c B. ?arctan(cos2x)?c

22

1sin2x?1arctan(?cos2x)?c?c C. D. ln

2sin2x?1

xx

23. ?2edx?

x

x

（）

xxxx

D.e2??ed2

A.2xex

?2e??CB.

ln2eC.?2e?ln?2e??C

三、填空题

1. 若曲线y?f(x)上点(x,y)的切线斜率与x3成正比并且通过点A(1,6)和B(2,?9)则该

曲线方程为 。

2. 若曲线y?f(x)通过点(1,2)，且曲线上任意一点的处的切线斜率等于该点横坐标的2

倍，则该曲线方程为 。

3. 某一曲线通过(e2,3)，且在任意一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，则该曲线的方程

为。

4. 5.

??2x?1?

3

dx=

=。

《高等数学I》习题库

第五章不定积分 第五章共9页

6. 7.

8. 9.

1

?a2+x2dx。

?(ax?b)dx(a?0)=

x2xedx ?

2

2

2?3lnx

?x

2

10. ?sinxcosxdx

11.

?=。

12. ?sin3

xdx= 13. ?sin3xcos4

xdx=14. ?cos2

x

2

dx= 15.

。 x2

16. ?1+x2

dx。

四、求解题

1.

?

）dx

2.

2

3.

?cos2x

sin2xcos2x

4.

?secx(secx?tanx)dx

5.

?e

x?4

dx

6. （?

2x2

+1+3sinx）

dx

《高等数学I》习题库

第五章 7. （?

sin

2

x2

）dx

8. ?x4

1?x

2

9.

??2?

dx

10.

211.

x?3)dx

不定积分 第五章共9页

篇三：高等数学习题详解-第5章 不定积分

1．写出下列函数的一个原函数：

(1) 2x5； (2) ?cosx；

(3) 解：（1）?(x6)??2x5， ?

31

13

6

；

(4) ?

x是2x的一个原函数．

5

(2) ?(?sinx)???cosx，??sinx是?cosx的一个原函数． (3)

???

?

的一个原函数．

(4)

?(?2arcsinx)???，??

2arcsinx是?

2．根据不定积分的定义验证下列等式：

(1) (2)

?x

1

x??3

12

x

?2

?C；

?(sinx?cosx)dx??cosx?sinx?C．

12x

?2

解：(1) 因为(?)??

1x

3

，所以?

1x

??3

12

x

?2

?C．

(2) 因为(?cosx?sinx)??sinx?cosx，所以

?(sinx?cosx)dx??cosx?sinx?C．

3．根据下列等式，求被积函数f(x)．

(1)

(2)

?

f(x)dx?ln(x?f(x)dx?

?C； ?C．

?

?32

?

解：(1)

等式两边求导得：f(x)?(ln(x???

x??

??

．

2

(2)

等式两边求导得：f(x)????

12

(1?x)

2

?2x??

?x

x(1?x)

2

32

．

4．设曲线通过点(0,1)，且其上任一点(x,y)处的切线斜率为e

?x

解 设所求曲线方程为y?f(x)，由题设有f?(x)?e，

，求此曲线方程．

?f(x)?

?edx??e

?x?x

?C

又曲线过点(0,1)，故f(0)?1，代入上式得C?2，所以,所求曲线方程为：

y??e

?x

?2．

1． 求下列不定积分：

(1) ?

x?4)dx；

(2) ?

x

x

2

x

2

；

x

(3) ?2edx；(4) ?(5) ?

1x(1?x)

2

2

2?3?5?2

3

x42

dx；

； (6)

?1?x

x

；

(7) ?secx(secx?tanx)dx； (8) (9) ?

cos2xsinx

22

?1?cos2x；

2

1

； (10) ?sin

x2

；

(11) ?解：

(1)

cos2xcosxsinx

2

2

dx； (12) ?(tanx?cotx)2dx．

5

1

5

1

??

x?4)dx??2

?(x

2

?4x)dx?

2

2

?x

?12

2

dx?4?xdx?

1

3

2

27

7

x?

2

83

3

x?C．

2

(2) ?

?

???12

?

1

?(x

?2x2?x2)dx

3

?

?xdx?2?x2dx?43

3

?

x

2

dx

?x

x

x

x?1

2

25

5

x2?C.

x

(3)

?2

edx?

x

?(2e)

x

dx?

ln(2e)

(2e)?C?

2e

xx

1?ln2

?C.

(4)

?

2?3?5?2

3

x2x2x

dx??[2?5?()]dx?2?dx?5?()dx

33

1ln()32

?()?C?2x??C. x

3(ln2?ln3)32

x

?2x?5

5?2

x

(5)

?x

1

2

(1?x)

4

2

dx?

4

?(

1x

2

?

11?x

)dx??2

2

1x

?arctanx?C. 1

13

(6) (7) (8) (9)

?1?x

x

?2

?

x?1?11?x

2

?

?(x?1?

2

1?x

)dx?2

x?x?arctanx?C.

3

?secx(secx?tanx)dx??1?cos2x

1

dx?

?(secx?secxtanx)dx?tanx?secx?C.

xdx?

12

?2cos

sinx

2

1

2

?secxdx?

1sinx

2

2

12

tanx?C.

?

cos2xsinx

2

?

?

1?2sinx

2

?

?(

?2)dx??cotx?2x?C.

(10) ?sin2(11)

x2

?

?

1?cosx

2

?

2

12

x?

12

2

sinx?C.

?cos

cos2x

2

xsinx

2

dx?

?

cosx?sinxcosxsinx

2

2

dx?

?(cscx?secx)dx

2

2

x?cscx)dx

22

?(12)

22cscxdx?secxdx??cotx?tanx?C. ??

?(tanx?cotx)

2

dx?

?(tan

2

x?cotx?2)dx?

2

?(sec

?tanx?cotx?C. 2． 解答下列各题：

(1) 设f?(ex)?1?e3x,且f(0)?1,求f(x)； (2) 设sinx为f(x)的一个原函数，求?f'(x)dx； (3) 已知f(x)的导数是cosx，求f(x)的一个原函数；

(4) 某商品的需求量Q是价格P的函数，该商品的最大需求量为1000(即P?0时

1P

Q?1000),已知需求量的变化率(边际需求)为Q?(P)??1000()ln3,求需求量与价格

3

的函数关系．

解 (1) 由f?(ex)?1?e3x?1?(ex)3,得f?(x)?1?x3；所以 f(x)?

?(1?x)dx?x?

3

14

x?C，

14

x?1．

4

4

因为f(0)?1，代入上式得C?1，所以f(x)?x?

(2) 由题意有(sinx)??f(x),即f(x)?cosx,故

, f?(x)??sinx

所以 ?f?(x)dx?

??sinxdx???sinxdx?cosx?C

?cosxdx?sinx?C

c?osx1

1

(3) 依题意有f?(x)?cosx，所以f(x)?于是

，

?f(x)d?x?

(si?nx1

C?)d?x

?Cx2

C

其中C1,C2为任意常数,取C1?C2?0,得f(x)的一个原函数为?cosx． (4) 由Q?(P)??1000()ln3得

3

Q(P)?

1P1P1P

[?1000()ln3]dp??1000?ln3()dp?1000?()?C. ??333

1

P

将P?0时, Q?1000代入上式得C?0；

所以需求量与价格的函数关系是Q(P)?1000()．

31

P

习题5-3

1．在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立：

(1) dx? d(5x?1)； (2) xdx?d(2?x2)； (3) x3dx?d(3x4?2) (4) e?2xdx?d(e?2x) (5)

dx1?9x

2

?d(arctan3x)； (6)

dx1?2xdxx

2

?

d(arn； 2

)

(7) (3x2?2)dx?d(2x?x3)；(8) ?d(3lnx)；

? d(2?arcsinx)；

15

?d．

解(1) ?d(5x?1)?5dx,?dx?

2

d(5x?1)；

12

d(2?x)； 112

d(3x?2)； d(e

?2x42

(2) ?d(2?x)??2xdx,?xdx?? (3) ?d(3x?2)?12xdx,?xdx? (4) ?d(e

?2x4

3

3

)??2e

?2x

dx,?e31?9x

2

?2x

dx??

121

)； 13

d(arctan3x)；

(5) ?d(arctan3x)?dx,?

1?9x

2

dx?

(6)

?d(arctan (7) ?d(2x?

3

)?

1?2x

2

2

dx,?

dx1?2x

2

?

(arctan)；

x)??(3x?3x

d?1

2d)x?,

2

x(?3d2?x)?)

d

3

?(x2x)

? (8) ?d(31

,?xx3

d；3 lnx

(9)

?d(2?arcsinx)??

?

??d(2?arcsinx)(10)

??2．求下列不定积分：

?2x)dx???

??d3

(1) ?adx；(2) ?(3?2x)2dx；

1

3x

(3) ?(5) ?

dx1?2x

；(4) ?

； (6) ?

exx

2

；

dxxlnx

；

(7)?

e

xx

1?e

2

dx； (8) ?

11?e

x

dx；

(9) ?

x?1x?1

；

(10) ?tan；

(11) ?(13) ?(15) ?(17) ?

dxe?e

x

?x

；

(12) ?

；

3x

34

4

dx； (14) ?cosxdx；

1?x

dxx?x?6

2

； (16) ?

x

32

4?x

2

dx；

； (18) ?

dxx?4x?5

；

(19) ?cos2(?x??)dx； (20) ?cos2(?x??)sin(?x??)dx；

(21) ?

；

(22) ?

(23) ?tan4xdx； (24) ?tan3xsecxdx． 解 (1)?adx?

3x

13

3

?ad(3x)?

1

3x

13lna

32

a

3x

?C；

(2)?(3?2x)2dx??(3) ?

dx1?2x

1

(3?2x)?2

1?2x

d(3?2x)??

12

15

5

(3?2x)2?C；

??

12

?

1x

d(1?2x)

??ln?2x?C；

(4) ?(5) ?(6) ?(7) ?(8) ?(9) ?

exx

2

???ed

1x

1

??ex?C；

sin

?2?sin?

??2cosC；

dxxlnx

xx

?

dlnxlnx

?lnlnx?C；

x

x

e

1?e11?e

2

dx?

?1?e?

1

xx

d(1?e)?ln(1?e)?C；

x

x

dx??

1?e?e1?e

x

dx?

?dx???

d(1?e)1?e

x

x

?x?ln(1?e)?C；

x

x?1x?1

?(x?1)(x?1)

x?1

?

d(x?1)x?1

?lnx?1?C；

2

(10) ?tanxdx?

?tan

d(1?x)?

?tan

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