近年中考数学压轴题大集合（一）

近年中考数学压轴题大集合（一）

一、函数与几何综合的压轴题

1.如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3)

(1) 求证：E点在y轴上；

(2) 如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程.

(3) 如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k>0)个单位，此时AD与BC相交于E′点，

如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.

A

（2，-6）

图①

A （2，-6） 图②

B O E C（1，-3） C（1+k，-3）

y y D x B O E′ D x [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考）

方法一：过E作EO′⊥x轴，垂足O′∴AB∥EO′∥DC ∴

EO?ABEO?AB?DO?EO?BO?,? DBCDDBEO?DC又∵DO′+BO′=DB ∴

??1

∵AB=6，DC=3，∴EO′=2 又∵

DO?DB?EO?AB，∴DO??EO?AB?DB?26?3?1

∴DO′=DO，即O′与O重合，E在y轴上

方法二：由D（1，0），A（-2，-6），得DA直线方程：y=2x-2①

再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直线方程：y=-x-2 ②

?x?0联立①②得?

y??2?∴E点坐标（0，-2），即E点在y轴上

（2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a≠0)过A（-2，-6），C（1，-3）

?4a?2b?c??6??E（0，-2）三点，得方程组?a?b?c??3?

?c??2??解得a=-1,b=0,c=-2

∴抛物线方程y=-x-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考）

由（1）当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E′作E′F⊥x轴垂足为F。 同（1）可得：

E?FAB?E?FDC?1 得：E′F=2 ?DFDB122

方法一：又∵E′F∥AB?S△AE′C= S△ADC- S△E′DC==

1312E?FAB，∴DF?13DB DC?23DB

DC?DB?DC?DF?12DC?DB=DB=3+k

S=3+k为所求函数解析式

方法二：∵ BA∥DC，∴S△BCA=S△BDA ∴S△AE′C= S△BDE′?12BD?E?F?12?3?k??2?3?k

∴S=3+k为所求函数解析式.

证法三：S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2

同理：S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4 ∴S?AE?C?29S梯形ABCD?29?12?AB?CD??BD?3?k

∴S=3+k为所求函数解析式.

2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为22的圆与y轴交于A、D两点.

（1）求点A的坐标；

（2）设过点A的直线y＝x＋b与x轴交于点B.探究：直线AB是否⊙M的切线？并对你的结论加以证明；

（3）连接BC，记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2，若

S1S2?h4，抛物线

y＝ax2＋bx＋c经过B、M两点，且它的顶点到x轴的距离为h.求这条抛物线的解析式.

[解]（1）解：由已知AM＝

在Rt△AOM中，AO＝

AM22，OM＝1，

?OM2?1，

∴点A的坐标为A（0，1）

（2）证：∵直线y＝x＋b过点A（0，1）∴1＝0＋b即b＝1 ∴y＝x＋1 令y＝0则x＝－1 ∴B（—1，0），

AB＝

BO2?AO2?1?1?2，AM＝

222 2，BM＝2

2在△ABM中，AB＝

AB2?AM2?(2)?(2)22?4?BM

∴△ABM是直角三角形，∠BAM＝90°∴直线AB是⊙M的切线

（3）解法一：由⑵得∠BAC＝90°，AB＝ ∴BC＝

AB22，AC＝2

22，

2?AC2?(2)?(22)?10

∵∠BAC＝90° ∴△ABC的外接圆的直径为BC， ∴S1?(BC2AC2)???(2102)???252

?y A 而S2?(S1S2)???(522222)???2?2

B D M · C x ??h

h即　　?,　　　?h?5 4，2?4?设经过点B（—1，0）、M（1，0）的抛物线的解析式为： y＝a（＋1）（x－1），（a≠0）即y＝ax2－a，∴－a＝±5，∴a＝±5 ∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5 解法二：（接上） 求得∴h＝5

由已知所求抛物线经过点B（—1，0）、M（1、0），则抛物线的对称

轴是y轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）

∴抛物线的解析式为y＝a（x－0）2±5 又B（－1,0）、M（1,0）在抛物线上，∴a±5＝0， a＝±5

∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5或y＝－5x2＋5 解法三：（接上）求得∴h＝5

因为抛物线的方程为y＝ax2＋bx＋c（a≠0） ??a?b?c?0??由已知得?a?b?c?0　　　解得?24ac?b???5　?4a??a＝－5?a?5???b?0　　或　　?b?0 ?c?5?c??5??∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5或y＝－5x2＋5.

3.如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛物线y?ax2?bx?c(a?0)过点A、B，且顶点C在⊙P上. (1)求⊙P上劣弧AB的长；

(2)求抛物线的解析式；

(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

y ⌒[解] （1）如图，连结PB，过P作PM⊥x轴，垂足为M.

在Rt△PMB中，PB=2,PM=1, ∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120°

120?4?⌒ AB的长＝ ???2?180?3A O B x · P（1，－1） C y （2）在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,则MB＝MA＝3. 又OM=1，∴A（1－3，0），B（1＋3，0）， 由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上，

则C(1，－3).

点A、B、C在抛物线上，则 ?0?a(1?3)2?b(1???2?0?a(1?3)?b(1???3?a?b?c??2A M O B x · P（1，－1） ?a?1?3)?c 解之得?b??2

?c??2?3)?cC ?抛物线解析式为y?x?2x?2

（3）假设存在点D，使OC与PD互相平分，则四边形OPCD为平行四边形，且PC∥OD. 又PC∥y轴，∴点D在y轴上，∴OD＝2，即D（0，－2）.

又点D（0，－2）在抛物线y?x?2x?2上，故存在点D（0，－2）， 使线段OC与PD互相平分.

4.如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0，3）在y轴的正半轴上，A、B是x轴上是两点，且OA∶OB＝3∶1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q.

（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式； y （2）请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？

C E 并证明你的猜想.

（3）在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，Q F 过M作MN∥AB交OC于点N.试问：在x轴上是否

存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的

O O2 B O1 x A 等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存

在，请说明理由.

2[解] (1)在Rt△ABC中，OC⊥AB，

∴△AOC≌△COB. ∴OC2＝OA·OB. ∵OA∶OB＝3∶1,C(0,3), ∴(3)2?3OB?OB. ∴OB＝1.∴OA＝3. ∴A(-3,0),B(1,0).

设抛物线的解析式为y?ax2?bx?c. ?3a??,?3?9a?3b?c?0,?2??3, 则?a?b?c?0,解之，得?b??3???c?3.?c?3.??y E M C N Q 2 4 3 1 F x A O1 P O O2 B ∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y??33x?2233x?3.

(2)EF与⊙O1、⊙O2都相切. 证明：连结O1E、OE、OF.

∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°, ∴四边形EOFC为矩形. ∴QE＝QO. ∴∠1＝∠2.

∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°， ∴EF与⊙O1相切.

同理：EF理⊙O2相切.

(3)作MP⊥OA于P，设MN＝a,由题意可得MP＝MN＝a. ∵MN∥OA,

∴△CMN∽△CAO. ∴∴

MNAO?CNCO.

a3?3?a3.

解之，得a?33?32.

此时，四边形OPMN是正方形. ∴MN?OP?∴P(?33?3233?32,0).

.

考虑到四边形PMNO此时为正方形，

∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形.

故x轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且

P(?33?32,0)或P(0,0).

5.如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(

154，

238)，P是以AC为对角线的矩形ABCD内部(不

在各边上)的—个动点，点D在y轴，抛物线y＝ax2+bx+1以P为顶点． (1)说明点A、C、E在一条条直线上；

(2)能否判断抛物线y＝ax2+bx+1的开口方向?请说明理由；

(3)设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)，△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点．这时能确定a、b的值吗?若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围． (本题图形仅供分析参考用)

Y D 12C P B O X [解] （1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y=

将点E的坐标E(边=

12154x+1. A ，

238)代入y=

12x+1中，左边=

238，右

×154+1=

238，

12 x+1上，即点A、C、E在一条直线上.

∵左边=右边，∴点E在直线y=

（2）解法一：由于动点P在矩形ABCD内部，∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下 解法二：∵抛物线y=ax+bx+c的顶点P的纵坐标为1＜

4a—b4a22

4a—b4a2，且P在矩形ABCD内部，∴

＜3，由1＜1—

b24a得—

b24a＞0，∴a＜0，∴抛物线的开口向下.

12（3）连接GA、FA，∵S△GAO—S△FAO=3 ∴GO·AO—

12FO·AO=3 ∵OA=1，∴

GO—FO=6. 设F（x1,0）、G（x2,0），则x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1＜x2，又∵a＜0，∴x1·x2=

1a＜0，∴x1＜0＜x2，

Y baba∴GO= x2，FO= —x1，∴x2—（—x1）=6， 即x2+x1=6，∵x2+x1= —

∴—

=6，

D A C P E B ∴b= —6a,

∴抛物线解析式为：y=ax2—6ax+1, 其顶点P的坐标为（3，1—9a）, ∵顶点P在矩形ABCD内部， ∴1＜1—9a＜3, ∴—

6a?1229F O G X ＜a＜0.

y=ax2—6ax+1

12由方程组 y=

121x+1

得：ax2—（6a+

）x=0

∴x=0或x=

a=6+

2a.

当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个不同的交点，则

有：0＜6+

12a29≤

154，解得：—

11229≤a＜—

11212 ＜b＜

43综合得：—＜a＜— ∵b= —6a，∴

6.已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A过点B且与x轴分别相交于点O、C，⊙A被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l与⊙A切于点O，抛物线的顶点在直线l上运动. （1）求⊙A的半径；

（2）若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式；

（3）过l上一点P的直线与⊙A交于C、E两点，且PC＝CE，求点E的坐标；

（4）若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为m，求△PEC的面积关于m的函数解析式.

[解] (1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO＝90o

再由AB＝AO＝r，且OB＝2，得r＝2 (2)⊙A的切线l过原点，可设l为y＝kx

任取l上一点(b，kb)，由l与y轴夹角为45o可得： b＝－kb或b＝kb，得k＝－1或k＝1， ∴直线l的解析式为y＝－x或y＝x 又由r＝2，易得C(2，0)或C(－2，0)

由此可设抛物线解析式为y＝ax(x－2)或y＝ax(x＋2)

再把顶点坐标代入l的解析式中得a＝1 ∴抛物线为y＝x2－2x或y＝x2＋2x ……6分

(3)当l的解析式为y＝－x时，由P在l上，可设P(m，－m)(m＞0) 过P作PP′⊥x轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP＝2m2，

又由切割线定理可得：OP2＝PC·PE,且PC＝CE，得PC＝PE＝m＝PP′7分 ∴C与P′为同一点，即PE⊥x轴于C，∴m＝－2，E(－2，2)…8分

y 0 x 同理，当l的解析式为y＝x时，m＝－2，E(－2，2)

(4)若C(2，0)，此时l为y＝－x，∵P与点O、点C不重合，∴m≠0且m≠2， 当m＜0时，FC＝2(2－m)，高为|yp|即为－m， ∴S＝

2(2?m)(?m)2?m?2m

2

同理当0＜m＜2时，S＝－m2＋2m；当m＞2时，S＝m2－2m； ?m2?2m(m?0或m?2)∴S＝? 又若C(－2，0)， 2?m?2m(0?m?2)??m2?2m(m??2或m?0)此时l为y＝x，同理可得；S＝? 2?m?2m(?2?m?0)?

y l

B l E P′ (－2,0)C O C(2,0) x

F C O y A A P F （2,0） C F x

7.如图，直线y?kx?4与函数y?交于C、D两点．

（1）若?COD的面积是?AOB的面积的2倍，求k与m之间的函数关系式；

（2）在（1）的条件下，是否存在k和m，使得以AB为直径的圆经过点P(2,0)．若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由．

y mx(x?0,m?0)的图像交于A、B两点，且与x、y轴分别

[解]（1）设A(x1,y1)，B(x2,y2)(其中x1?x2,y1?y2)，

CA由S?COD?∴

122S?AOB，得S?COD?2(S?AOD?S?BOD)

OC··OD?2(

12OD··y1?212OD··y2)，OC?22(y1?y2)， BOPD又OC?4，∴(y1?y2)?8，即(y1?y2)?4y1y2?8， 由y?mx可得x?myx ，代入y?kx?4可得y?4y?km?0 ① 2y A ∴y1?y2?4，y1?y2??km， ∴16?4km?8，即k??2m又方程①的判别式??16?4km?8?0，

．

C∴所求的函数关系式为k??2m(m?0)．

OMPBND（2）假设存在k,m，使得以AB为直径的圆经过点P(2,0)． 则AP?BP，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N． ∵?MAP与?BPN都与?APM互余，∴?MAP ??BPN． ∴Rt?MAP∽Rt?NPB，∴∴

y1x2?2?2?x1y2AMPN?MPNBx ．

my1?2)(my2?2)?y1y2?0，

，∴(x1?2)(x2?2)?y1y2?0， ∴(即m2?2m(y1?y2)?4y1y2?(y1y2)2?0 ②

由（1）知y1?y2?4，y1?y2?2，代入②得m2?8m?12?0，

m?6??m?2?1， ∴m?2或6，又k??，∴?或?k??m??k??13?2m?6??m?2?1． ∴存在k,m，使得以AB为直径的圆经过点P(2,0)，且?或?k??k??1??3?8.已知抛物线y?mx2?(m?5)x?5(m?0)与x轴交于两点A(x1,0)、B(x2,0)(x1?x2)，与y轴交于点C，且AB=6.

（1）求抛物线和直线BC的解析式.

（2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC. （3）若?P过A、B、C三点，求?P的半径.

（4）抛物线上是否存在点M，过点M作MN?x轴于点N，使?MBN被直线BC分成面

积比为1?3的两部分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

[解]（1）由题意得：x1?x2?m?5m2,x1?x2??5m,x2?x1?6. y 20?m?5?2(x1?x2)?4x1x2?36,???36, ?m?m?解得m1?1,m2??57.

O x 经检验m=1，∴抛物线的解析式为：y?x2?4x?5. 或：由mx2?(m?5)x?5?0得，x?1或x??m>0, ?1??5m?6,?m?1.

2?5m ?抛物线的解析式为y?x?4x?5.

由x2?4x?5?0得x1??5,x2?1. ∴A（－5，0），B（1，0），C（0，－5）. 设直线BC的解析式为y?kx?b,

?b??5,?b??5,??

k?b?0.k?5.??则?∴直线BC的解析式为y?5x?5. (2)图象略.

（3）法一：在RtDAOC中，?OA?OC?5,??OAC?45?.

??BPC?90?.

又BC?OB?OC22?26,

22∴?P的半径PB?26??13.

法二：

由题意，圆心P在AB的中垂线上，即在抛物线y?x2?4x?5的对称轴直线x??2上，设

P（－2，－h）（h＞0），

连结PB、PC，则PB2?(1?2)2?h2,PC2?(5?h)2?22， 由PB2?PC2，即(1?2)2?h2?(5?h)2?22，解得h=2.

?P(?2,?2),??P的半径PB?(1?2)?2?2213.

法三：

延长CP交?P于点F.

?CF为?P的直径，??CAF??COB?90?. 又?ABC??AFC,?DACF~DOCB.

?CFBC?ACOC2,?CF?2AC?BCOC.

又AC?5?5?52,CO?5,BC?52?5265?1?2226,?

?CF??213.

??P的半径为13.

（4）设MN交直线BC于点E，点M的坐标为(t,t2?4t?5),则点E的坐标为(t,5t?5).

若SDMEB:SDENB?1:3,则ME:EN?1:3.

?EN:MN?3:4,?t?4t?5?2435(5t?5).

解得t1?1（不合题意舍去），t2??540?,?M?,?. 3?39?若SDMEB:SDENB?3:1,则ME:EN?3:1.

?EN:MN?1:4,?t?4t?5?4(5t?5).

2解得t3?1（不合题意舍去），t4?15,?M?15,280?.

?540??存在点M，点M的坐标为?,?或（15，280）.

39??

9. 如图，⊙M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为A(?3，0)，直径CD⊥x轴于0)、B(1，N，直线CE切⊙M于点C，直线FG切⊙M于点F，交CE于G，已知点G的横坐标为3.

(1) 若抛物线y??x2?2x?m经过A、B、D三点，求m的值及点D的坐标. (2) 求直线DF的解析式.

(3) 是否存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若

存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.

[解] (1) ∵抛物线过A、B两点，

∴(?3)?1?m?1，m=3.

y D F ∴抛物线为y??x2?2x?3.

又抛物线过点D，由圆的对称性知点D为抛物线的顶点.

∴D点坐标为(?1，4).

(2) 由题意知：AB=4.

∵CD⊥x轴，∴NA=NB=2. ∴ON=1. 由相交弦定理得：NA·NB=ND·NC， ∴NC×4=2×2. ∴NC=1. ∴C点坐标为(?1，?1).

设直线DF交CE于P，连结CF，则∠CFP=90°. ∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°. ∵GC、GF是切线， ∴GC=GF. ∴∠3=∠4. ∴∠1=∠2. ∴GF=GP.

∴GC=GP. 可得CP=8.

∴P点坐标为(7，?1)

设直线DF的解析式为y?kx?b

5?k?????k?b?4?8则? 解得?

277k?b??1??b???8M N A C （第27题图）

O B G E x y D M N A C 4 F 3 2 O B 1 x G P E ∴直线DF的解析式为：y??x?85278

(3) 假设存在过点G的直线为y?k1x?b1， 则3k1?b1??1，∴b1??3k1?1.

?y?k1x?3k1?1?y??x2由方程组??2x?3 得x2?(2?k1)x?4?3k1?0

由题意得?2?k1?4，∴k1??6. 当k1??6时，???40?0， ∴方程无实数根，方程组无实数解. ∴满足条件的直线不存在.

10.已知二次函数y?12（－3，6），并与x轴交于点B（－1，0）x?bx?c的图象经过点A

2和点C，顶点为P.

（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象； （2）设D为线段OC上的一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标；

（3）在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

[解] （1）解：∵二次函数y?12，B（－1，0） x?bx?c的图象过点A（－3，6）

y 2?9?b??1?3b?c?6???2得? 解得?3

?c???1?b?c?0?2??2∴这个二次函数的解析式为：y?12x?x?232

O x 由解析式可求P（1，－2），C（3，0） 画出二次函数的图像

（2）解法一：易证：∠ACB＝∠PCD＝45°

又已知：∠DPC＝∠BAC ∴△DPC∽△BAC ∴

DCBC?PCAC43 易求AC?62,PC?22,BC?4

4353∴DC? ∴OD?3?? ∴D??5?,0? ?3? 解法二：过A作AE⊥x轴，垂足为E.

设抛物线的对称轴交x轴于F. 亦可证△AEB∽△PFD、 ∴

PEPF?EBFD23. 易求：AE＝6，EB＝2，PF＝2

2353∴FD? ∴OD??1? ∴D??5?,0? ?3?（3）存在. （1°）过M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长线交y轴于T

∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的内切圆圆心， ∴MG＝MH＝OM

又∵MC?2OM且OM＋MC＝OC

∴2OM?OM?3,得OM?32?3 ∴M32?3,0

（2°）在x轴的负半轴上，存在一点M′ 同理OM′＋OC＝M′C，OM??OC?2OM?

??得OM??32?3 ∴M′?32?3,0 即在x轴上存在满足条件的两个点.

y A ??6 5 4 3 2 M′ 1 E B -3 -2 -1 0 -1 -2 T H C F M 1 D 2 3 G P x S 11.在平面直角坐标系中，A（－1，0），B（3，0）.

（1）若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的顶点坐标；

（2）如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值；

（3）若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E，F，与y轴交于点C，过C作CP∥x轴交l于点P，M为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是有一个内角为60°的菱形，求次抛物线的解析式.

y [解] （1）y?x?2x?3，顶点坐标为（1，－4）.

2（2）由题意，设y＝a（x＋1）（x－3），即y＝ax2－2ax－3a，

A ∴ A（－1，0），B（3，0），C（0，－3a），M（1，－4a）， O B x C M ∴ S△ACB＝

12×4×?3a＝6a，

而a＞0， ∴ S△ACB＝6A、

作MD⊥x轴于D，

又S△ACM＝S△ACO ＋SOCMD －S△AMD＝∴ S△ACM：S△ACB＝1：6.

（3）①当抛物线开口向上时，设y＝a（x－1）＋k，即y＝ax－2ax＋a＋k， 有菱形可知a?k＝k，a＋k＞0，k＜0， ∴ k＝?a22

2

12·1·3a＋

12（3a＋4a）－

12·2·4a＝a，

，

a2∴ y＝ax2－2ax＋

， ∴ EF?2.

记l与x轴交点为D，

若∠PEM＝60°，则∠FEM＝30°，MD＝DE·tan30°＝

66，

∴ k＝－

66，a＝

63，

∴ 抛物线的解析式为y?136x?2236x?66.

若∠PEM＝120°，则∠FEM＝60°，MD＝DE·tan60°＝

62，

∴ k＝－

62，a＝6，

∴ 抛物线的解析式为y?6x?26x?262.

②当抛物线开口向下时，同理可得

y??136x?2236x?66，y??6x?26x?262.

12.已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y?kx?4k的图象与x轴交于点A，抛物线y?ax?bx?c经过O、A两点。

（1）试用含a的代数式表示b；

（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的

2长及抛物线的解析式；

（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得∠POA?理由。

43∠OBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明

[解] （1）解法一：∵一次函数y? ∴点A的坐标为（4，0）

kx?4k的图象与x轴交于点A

∵抛物线y?ax2?bx?c经过O、A两点 ?c?0，16a?4b?0 ?b??4a

解法二：∵一次函数y?kx?4k的图象与x轴交于点A ∴点A的坐标为（4，0）

∵抛物线y?ax2?bx?c经过O、A两点 ∴抛物线的对称轴为直线x?2 ?x??b2a?2

?b??4a

（2）由抛物线的对称性可知，DO＝DA ∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO 又由（1）知抛物线的解析式为y?ax2?4ax ∴点D的坐标为（2，?4a） ①当a?0时，

如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为OmA，它沿x轴翻折后所得劣弧为OnA，显然OnA所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D' ∴点D'与点D也关于x轴对称

∵点O在⊙D'上，且⊙D与⊙D'相切 ∴点O为切点

∴D'O⊥OD

∴∠DOA＝∠D'OA＝45° ∴△ADO为等腰直角三角形 ?OD?22 ∴点D的纵坐标为?2

⌒⌒⌒

??4a??2

?a?12，b??4a??2

∴抛物线的解析式为y? ②当a?0时， 同理可得：OD?22 抛物线的解析式为y??12x2?2x

12x2?2x

12x?2x或y??43∠OBA

2 综上，⊙D半径的长为22，抛物线的解析式为y?12x?2x

2 （3）抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得∠POA? 设点P的坐标为（x，y），且y＞0 ①当点P在抛物线y?12x?2x上时（如图2）

2

∵点B是⊙D的优弧上的一点 ?∠OBA? ?∠POA?1243∠ADO?45? ∠OBA?60?

过点P作PE⊥x轴于点E

?tan∠POE?EPOE ?yx?tan60?3x

?y??y?3x??x1?4?23?x2?0?，? 由?解得：（舍去） ?12y?0??y?x?2x?y1?6?43?22? ∴点P的坐标为4?23，6?43 ②当点P在抛物线y??12x?2x上时（如图3）

2??

同理可得，y?3x

?y?3x??x2?0?x1?4?23? 由?解得：（舍去） ，??12y?0??y??x?2x?y1??6?43?22? ∴点P的坐标为4?23，?6?43 综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为 4?23，6?43或4?23，?6?43

??????

13.在直角坐标系中，⊙O1经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B。 （1）如图，过点A作⊙O1的切线与y轴交 y 于点C，点O到直线AB的距离为

123，sin?ABC?，求直线AC的解析式； 55 B O1 O A x C （2）若⊙O1经过点M（2，2），设?BOA的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范围。

[解] （1）如图1，过O作OG??B于G，

则OG?125

35 设OA?3k(k?0),??AOB?90?,sin?ABC? ?AB?5k，OB?4k

?OA?OB?AB?OG?2S?AOB,?3k?4k?5? ?OA?3，OB?4，AB?5 ?A（3，0）

??AOB?90?,?AB是⊙O1的直径

?AC切⊙O1于A，?BA?AC,??BAC?90? 在Rt?ABC中

125,?k?1

?cos?ABC?ABBC?9445,?BC?254

?OC?BC?OB?94 ?C(0，?)

设直线AC的解析式为y?kx?b，则

?3k?b?0? ? 9?b??4??k?34，b??94

?直线AC的解析式为y?34x?94

（2）结论：d?AB的值不会发生变化

设?AOB的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T，如图2所示

y B M O1 Q T P O A N x

图2

?BQ?BT，AP?AT，OQ?OP?d2d2 ?BQ?BT?OB?d2,AP?AT?OA?d2?OA?d2

?AB?BT?AT?OB??OA?OB?d 则d?AB?d?OA?OB?d?OA?OB

在x轴上取一点N，使AN=OB，连接OM、BM、AM、MN ?M(2,2),?OM平分?AOB,?OM?22

??BOM??MON?45?,?AM?BM又??MAN??OBM,OB?AN

,??BOM??ANM?45?,?ANM??MON ??BOM??ANM ?OM?NM,?OMN?90?

?OA?OB?OA?AN?ON?OM2?MN2?2?OM?2?22?4

?d?AB的值不会发生变化，其值为4。

k

14.已知：O是坐标原点，P（m，n）(m＞0)是函数y ＝ (k＞0)上的点，过点P作直线PA⊥OP

x

于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）(a＞m). 设△OPA的面积为s，且s＝n41＋. 4

（1）当n＝1时，求点A的坐标； （2）若OP＝AP，求k的值；

n

(3 ) 设n是小于20的整数，且k≠，求OP2的最小值.

2

4

[解] 过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ＝n，OQ＝m

5

(1) 当n＝1时， s＝

42s5

∴ a＝＝

n2

(2) 解1： ∵ OP＝AP PA⊥OP ∴△OPA是等腰直角三角形 a

∴ m＝n＝

2n41

∴ 1＋＝·an

42即n4－4n2＋4＝0 ∴ k2－4k＋4＝0 ∴ k＝2

解2：∵ OP＝AP PA⊥OP

∴△OPA是等腰直角三角形 ∴ m＝n

设△OPQ的面积为s1 s

则：s1＝

2

11n4∴ ·mn＝(1＋) 224即：n4－4n2＋4＝0 ∴ k2－4k＋4＝0 ∴ k＝2

(3) 解1：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA

∴ △OPQ∽△OAP 设：△OPQ的面积为s1，则 s1PO＝2 sAO

2

1kkn2＋22n

即： 4 ＝

nn421＋4 (1＋)

44

2 n化简得：2n＋2k－k n－4k＝0

（k－2）（2k－n4）＝0 n

∴k＝2或k＝(舍去)

2

∴当n是小于20的整数时，k＝2. k

∵ OP＝n＋m＝n＋2n

2

2

2

2

2

44

2

4

2

又m＞0，k＝2，

∴ n是大于0且小于20的整数 当n＝1时，OP2＝5 当n＝2时，OP2＝5

4485

当n＝3时，OP2＝32＋2＝9＋＝

399当n是大于3且小于20的整数时，

即当n＝4、5、6、…、19时，OP得值分别是： 44442222

4＋2、5＋2、6＋2、…、19＋2 4561944422

2＞18＋2＞…＞3＋2＞5 19183

∴ OP2的最小值是5. ∵19＋

2

2

k2

解2： ∵ OP＝n＋m＝n＋2 n

2

2

2

2

2

＝n＋2

n

2

2

2

＝(n－)2 ＋4

n2

当n＝ 时，即当n＝2时，OP2最小；

n

又∵n是整数，而当n＝1时，OP2＝5；n＝2时，OP2＝5 ∴ OP2的最小值是5. 解3：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△P AQ

PQOQ

＝ QAPQ

nm

＝ a－mn

化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0

（k－2）（2k－n4）＝0

n

∴k＝2或k＝(舍去)

2解4：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△P AQ s1OQ2

＝ s－s1PQ2化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0

（k－2）（2k－n）＝0 n

∴k＝2或k＝(舍去)

2解5：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△OAP ∴

OPOQ＝ OAOP

4

4

4

∴ OP2＝OQ·OA

化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0

（k－2）（2k－n）＝0 n4

∴k＝2或k＝(舍去)

2

15.如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。

（1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。 （2）试在⑴中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标。

（3）设从出发起，运动了t秒。如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围。

（4）设从出发起，运动了t秒。当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也

y 分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由。

4

[解] （1）∵O、C两点的坐标分别为O?0,0?，

C?8,6?

Q 设OC的解析式为y?kx?b，将两点坐标代入得： k?34C（8，6） B（18，6） O P 34x

A（18，0） x ，b?0，∴y? ∵A，O是x轴上两点，故可设抛物线的解析式为y?a?x?0??x?18?

再将C?8,6?代入得：a??∴y??340x?2340

2720x

（2）D?10,6?

3??3??2（3）当Q在OC上运动时，可设Q?m,m?，依题意有：m2??m???2t?

4??4??2∴m?8?86t，∴Q?t,5?55?t?，?0?t?5? ?当Q在CB上时，Q点所走过的路程为2t，∵OC＝10，∴CQ＝2t?10 ∴Q点的横坐标为2t?10?8?2t?2，∴Q?2t?2,6?，?5?t?10?

（4）∵梯形OABC的周长为44，当Q点OC上时，P运动的路程为t，则Q运动的路程为

?22?t?

35,S?OPQ?12t?22?t??1235△OPQ中，OP边上的高为：?22?t??梯形OABC的面积＝

12

35?84?12?18?10??6?84，依题意有：t?22?t??

整理得：t2?22t?140?0 ∵△＝222?4?140?0，∴这样的t不存在 当Q在BC上时，Q走过的路程为22?t，∴CQ的长为：22?t?10?12?t ∴梯形OCQP的面积＝

12?6?22?t?10?t?＝36≠84×

12

∴这样的t值不存在

综上所述，不存在这样的t值，使得P，Q两点同时平分梯形的周长和面积 16.已知：如图，抛物线y?13x?2233x?m与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，

∠ACB＝90°，

（1）求m的值及抛物线顶点坐标；

（2）过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连结DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；

?（3）在（2）条件下，设P为CBD上的动点（P不与C、D重合），连结PA交y轴于点H，

问是否存在一个常数k，始终满足AH·AP＝k，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.

[解] （1）由抛物线可知，点C的坐标为（0，m），

且m＜0.

设A（x1，0），B（x2，0）.则有x1·x2＝3m A y D M · F B E G x O C 又OC是Rt△ABC的斜边上的高，∴△AOC∽△COB ∴?x1?m2

OAOC?OCOB

∴??mx2，即x1·x2＝－m

2

∴－m＝3m，解得 m＝0 或m＝－3

而m＜0，故只能取m＝－3 这时，y?13x?2233x?3?13(x?3)?4

2故抛物线的顶点坐标为（3，－4）

（2）解法一：由已知可得：M（3，0），A（－3，0），B（33，0）， C（0,－3），D（0， 3）

∵抛物线的对称轴是x＝3，也是⊙M的对称轴，连结CE ∵DE是⊙M的直径，

∴∠DCE＝90°，∴直线x＝3，垂直平分CE， ∴E点的坐标为（23，－3）

OAOCOMOD33∵??，∠AOC＝∠DOM＝90°，

∴∠ACO＝∠MDO＝30°，∴AC∥DE ∵AC⊥CB，∴CB⊥DE 又FG⊥DE， ∴FG∥CB

由B（33，0）、C（0，－3）两点的坐标易求直线CB的解析式为：

33y＝x－3

可设直线FG的解析式为y＝

33x＋n，把（23，－3）代入求得n＝－5

故直线FG的解析式为y＝

33x－5

解法二：令y＝0，解

13x?2233x－3＝0得

x1＝－3，x2＝33

即A（－3，0），B（33，0）

根据圆的对称性，易知：：⊙M半径为23， M（3，0） 在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，OB＝33，，OC＝3 ∴∠CBO＝30°，同理，∠ODM＝30°。 而∠BME＝∠DMO，∠DOM＝90°，∴DE⊥BC ∵DE⊥FG， ∴BC∥FG ∴∠EFM＝∠CBO＝30°

在Rt△EFM中，∠MEF＝90°，ME＝23，∠FEM＝30°， ∴MF＝43，∴OF＝OM＋MF＝53， ∴F点的坐标为（53，0）

33在Rt△OFG中，OG＝OF·tan30°＝53×∴G点的坐标为（0，－5） ∴直线 FG的解析式为y＝

33x－5

＝5

（3）解法一：

存在常数k＝12，满足AH·AP＝12 连结CP

??由垂径定理可知AD?AC， ∴∠P＝∠ACH （或利用∠P＝∠ABC＝∠ACO） 又∵∠CAH＝∠PAC， ∴△ACH∽△APC ∴

ACAH?APAC 即AC2＝AH·AP

在Rt△AOC中，AC2＝AO2＋OC2＝（3）2＋32＝12 （或利用AC2＝AO·AB＝3×43＝12 ∴AH·AP＝12

解法二：

存在常数k＝12，满足AH·AP＝12 设AH＝x，AP＝y 由相交弦定理得HD·HC＝AH·HP 即(3?x?3)(3?2y D H A O C G M · P F B E x x?3)?x(y?x)

化简得：xy＝12 即 AH·AP＝12

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/x8j3.html