浙江大学1999年研究生高等代数试题

浙江大学1999年研究生高等代数试题

一．a1,a2,?,an是n个不相同的整数，证明f(x)?(x?a1)(x?a2)?(x?an)?1在有理数域上可约的充分必要条件是f(x)可表示为一个整数多项式的平方

?a1????a2?TT二．设????，且???0，求(1)En??? (2)(En???T)?1

????a??n?(其中En为n阶单位阵，?为?的转置)

三．矩阵Am?n是行满秩(即秩A?m)，证明(1)存在可逆阵Q，使得A?(Em,0)Q (2) 存在矩阵Bn?m，使得AB?Em

四．设n阶方阵A满足A?A，?1,?2,?,?n是P中n个线形无关的列向量，设V2是由

2nTA?1,A?2,?,A?n生成的子空间，V1是AX?0的解空间，证明：Pn?V1?V2(V1?V2表示V1与V2的直和)

??1????五．设A,B都是n阶实对称矩阵，且B正定，则存在S及D???，使得??n???A?SDST,B?SST

六．设n阶矩阵A?(aij)，满足下列条件：)0?aij?1,?i,j

求证：(1)A的每一个特征值?，都有

??1(2)?0?1为A的一个特征

?x1??y1???x1??????????nn??????|xi是实数?，A是n阶正定阵，?????，???????，

??????x???xn??yn?n????求证：(1)(?A?)?(?A?)(?A?)等号成立当且仅当?与?线形相关时成立 （2）若A是正定矩阵，则(?A?)?(?A?)(?A?)也成立

T2TTT2TT八（1）设A,B分别为复数矩阵域上的k阶和l阶方阵，并且A,B没有公共的特征值，求证AX?XB只有空解（这里X（2）在?n?n?(xij)k?k）

中，变换?:X?AX?XA,A??n?n，?为一个固定的矩阵，且?的特征

值不为（-?）的特征值，求证：?为一个线形变换。

浙江大学1999年研究生数学分析试题

n(nn?1)一．求极限Lim(n??)

lnn二．在xy平面上求一点，使它到三条直线x?0,y?0及x?2y?16?0的距离平

方和最小

三．计算二重积分??xydxdy，其中D由曲线 x2?y2?x?y 所围城的区域

D四．设f(x)在x?0时连续，f(1)?3，并且?f(t)dt?x?f(t)dt?y?f(t)dt，

111xyyx(x?0,y?0)，试求函数f(x)

五．设函数f(t)在(a,b)连续，若有数列xn?a,yn?a(xn,yn?(a,b))使

Limf(xn)?A(n??)及Limf(yn)?B(n??)，则对A，B之间的任意数?，可找到数列xn?a，使得Limf(zn)??

六．设0?ak?a,k?1,2,....,n令sn??ak，证明不等式?k?1naknsn ?n?snk?11?akn七．设函数f在[a,b]上连续，且f?0,记fvn?f(a?v?n),?n?Limf1nf2n?fnnnb?a，试证明：n1b?exp{lnf(x)dx}(n??)并利用上述等式证明下式

b?a?a12??2?0ln(1?2rcosx?r2)dx?2lnr (r?1)

八．从调和级数1?111??????中去掉所有在分母的十进表示中含数码923n的项，证明由此所得余下的级数必定是收敛的

浙 江 大 学

二〇〇〇年攻读硕士研究生入学考试试题

考试科目：高等代数

一、（20分）f(x)是数域P上的不可约多项式

（1）g(x)?P[x]，且与f(x)有一个公共复根，证明f(x)|g(x)；

11（2）若c及都是f(x)的根，b是f(x)的任一根，证明也是f(x)的根.

cb210?000121?000?????二、（10分）计算行列式Dn?. 000?121000?012三、（20分）

（1） A是正定阵，C是实对称矩阵，证明：存在可逆矩阵P使得

P?1AP,P?1CP同时为对角形；

（2） A是正定阵，B是实矩阵，而AB是实对称的，证明：AB正定的充

要条件是B的特征值全大于0. 四、（20分）设n维线性空间V的线性变换A有n个互异的特征值，线性变换B与

A可交换的充要条件是B是E,A,A2,?,An?1的线性组合，其中E为恒等变换. 五、（10分）证明：n阶幂零指数为n?1的矩阵都相似.

（若An?1?0，An?2?0而称A的幂零指数为n?1）

六、（20分）设A,B是n维欧氏空间V的线性变换。对任意?,??V，都有

(A(?),?)??(B,?())。证明：A的核等于B的值域的正交补.

浙江大学2000年研究生数学分析试题

一．（共10分）(1)求极限lim解：原式=limx?0e?(1?x)

x?0xe(1?x)?21x1x(1?x)ln(1?x)?xx(1?x)2

(2)设x0?a,x1?b,xn?xn?2?xn?1,n?2,3,?,求limxn

n??2解：xn?xn?1??1，这可以构造成为一个压缩映象，则数列收敛，以下求解2(xn?1?xn?2)就按照{xn?xn?1}这个数列来进行即可。 二．（共10分）1．设f(0)?K,试证明lim?a?0b?0?‘f(b)?f(a)?K

b?a证： lim?a?0b?0?f(b)?f(a)f(b)?f(0)?f(0)?f(a)?lim???K a?0?b?ab?a?b?02．设f(x)在[a,b]上连续，f??(x)在(a,b)内存在，试证明存在??(a,b)，使得

a?b(b?a)2f(b)?f(a)?2f()?f??(?)

24分析：考虑函数F(x)b?f(x?a?2)?f(x)即可

?n三．（共15分）1．求数项级数?nn?12分析：S=2S-S

的和S

12．试证明s(x)??xn?1n四．（共15分）

?在(1,?)上的连续函数

?x?y?u?v?0?u?u(x,y)?v?v, 1． 设方程组?，确定了可微函数?，试求du,?x?yxsinu?ysinv?0v?v(x,y)??分析：用隐函数组的方法求解； 2． 设F(y)??yycos(x2y)dx，求F?(1) x0ycosxyx2分析：

F(y)??ydx??0cosxyx21dx??0cosy2t2?cosy3t2tdt

五．（共30分） 1． 计算定积分I???0xsincosxdx 21?cosx22为顶，以平面z?0为底，以柱面x?y?1为侧面的曲顶柱体的

分析：令t=cosx，I=0。 2． 求以曲面z?e体积V 分析：V?3． 设

?x，其中z?ezdxdy??2?x2?y2?y2，D={(x,y)| 0?x?y?1}.

22D??2222表示半球面z?1?x?y(x?y?1)的上侧，求第二类曲面积分

J?222(x?y)zdydz?(xy?2z)dzdx?(2x?z)ydxdy ????2?分析：使用高斯公式，则J=3.

六．（共20分）1．将函数f(x)?x (???x??)展开成Fourier级数 分析：直接使用Fourier的定义公式； 2． 级数

1的和 ?2nn?11?分析：使用幂函数中的公式求解； 3． 计算广义积分

12ln(1?x)dx ?x0112ln(1?x)ln(1?x)ln(1?x)dx+dx+?dx=lim分析：原式=?[???0xxx1?021???12ln(1?x)dx] x浙 江 大 学

二〇〇二年攻读硕士研究生入学考试试题

考试科目：高等代数

一、（12分）设两个多项式f(x)和g(x)不全为零。求证：对于任意的正整数n，有

(f(x),g(x))n?(f(x)n,g(x)n)。

二、（12分）设Sn?x1?x2???xn,(k?0,1,2,?)；aij?Si?j?2(i,j?1,2,?,n)。

a12?a1n

kkka11 计算行列式：

a21?an1a22?a2n???an2?ann三、（12分）设A,B是n级矩阵，且A?B?AB。求证：AB?BA。

四、（12分）设A是m?n级阵，A的秩为m，B是n?(n?m)级矩阵，B的秩为n?m，且AB??。这里n维列向量?是齐次线性方程组AX?0的解，求证：存在唯一的n?m维列向量?，使得B???。

五、（11分）求V1?L(?1,?2,?3),V2?L(?1,?2)的和与交的基与维数。其中

??1?(1,2,?1,?2)??1?(2,5,?6,?5)???(3,1,1,1)， ?2????(?1,0,1,?1)??1?(?1,2,?7,3)?3

使(f(A))?1?g(A)。（注：P是数域，Pn?n表示元素在P中的n阶方阵的集合） 3.（16分）设A，B?Pn?n，求证：(AB)*?B*A*。

证明：

（1）当AB?0时，这时有A?0,B?0，由公式A*?AA?1，可得

(AB)*?AB(AB)?1?BB?1AA?1?B*A*。结论成立

（2）当AB?0时，考虑矩阵A(?)?A??E,B(?)?B??E，由于A、B都最多只有有限个特征值，因此存在无穷多个?，使得 A(?)?0,B(?)?0 ① 那么有上面（1）的结论有 (A(?)B(?))*?(B(?))*(A(?))* ②

令(A(?)B(?))*?(fij(?))n?n,(B(?))*(A(?))*?(gij(?))n?n 由②式有 fij(?)?gij(?) ③ 由于有无穷多个?使①式成立，从而有无穷多个?使③式成立，但

fij(?),gij(?)都是多项式，从而③式对一切?都成立。特别令??0，有

(AB)*?(A(0)B(0))*?B*(0)A*(0)?B*A*。证毕

4.（题（1）为15分，题（2）为5分，共20分）

实二次型f(x1,x2,x3)?x12?ax22?x32?2bx1x2+2x1x3?2x2x3经正交线性替换

(x1,x2,x3)T?P(y1,y2,y3)T化为标准型y12?2y22。 （1）求a,b及正交矩阵P；

（2）问二次型f是正定的吗？为什么？

5.（16分）设A，B?Pn?n且秩(A)?秩(B)?n。证明：存在n阶可逆矩阵M使得AMB?0。

证明：设矩阵A，B的秩分别为r1,r2。对于矩阵A，B，存在着可逆的n级矩阵P1,Q1,P2,Q2，使得 PAQ11??r1,P2BQ2??r2，则

?1?1AQ1?P?r1,P2B??r2Q2 1?1?1 (AQ1)(P??Q?0，令AMB?0，则有AMB?0成立。2B)?AQ1P2B?Prr2112 6.（16分）设A是n阶复矩阵，且存在正整数m使得Am?E（这里E是n阶单位阵）。证明：A与对角矩阵相似。

7.（每小题9分，共18分）设V?Pn?n看成P上的线性空间。取定（1）?是VA,B,C,D?Pn?n。对任意X?Pn?n，令?(x)?AXB?CX?XD。求证：的线性变换；（2）当时C?D?0，?可逆的充要条件是AB?0。

8.（16分）设?是线性空间V的线性变换且?2??。令V1??(V),V2???1(0)。证明：V?V1?V2且对每个??V1有?(a)?a。

9.（16分）设V是n维欧氏空间，V1,V2是V的子空间，且dimV1?dimV2。证明：V2中存在一个非零向量，它与V1中任一个向量正交。

detA?detA2?detA3?detA4??

而秩A是有限数，上面的不等式不可能无限不等下去， 必然存在一个正整数m，使detAm?detAm?1

浙 江 大 学

二〇〇四年攻读硕士研究生入学考试试题

考试科目：数学分析

一．（15分）设函数f(x)在区间X上有定义。试证明：f(x)在X上一致连续的充要条

(?x'm件是对区间X上任意的两数列{xn'}与{xm'}，当limxnn???')时，有

lim(f(xn')?f(xm'))?0。

n??二．（15分）设函数f(x)在区间(?1,1)内具有直到三阶的连续导数，且f(0)?0，

?f'(x)1lim?0。试证明：?nf()绝对收敛。 x?0xnn?2三．（15分）设函数f(x)在区间[a,b]上可微，且f(x)在a点的左导数f?'(a)?0，在b点的右导数f?'(b)?0，f(a)?f(b)?c。证明：f'(x)在(a,b)内至少有两个零点。

四.（15分）设函数f(x)在区间[a,b]上Riemann可积，且在闭区间[?,?]?[a,b]使得当x?[?,?]时，f(x)?0。

?baf(x)dx?0。试证明：存

五.（15分） 证明：若一族开区间{Ia}覆盖了闭区间[0,1]，则必存在一正数??0，使得[0,1]中任何两点x',x''满足x'?x''??时，必属于某个开区间I??{I?}。 六.（15分）用球面坐标x?rsin?cos?,y?rsin?sin?,z?rcos?变换方程

?2u?2u?2u?2?2?0 2?x?y?z七.（10分）计算：?2?0xsinxdx。 21?cosx222x2y2z21下的最大最小值，其中八.（15分）求u?x?y?z在条件2?2?2?abca?b?c?0。

九．（15分）利用公式12?x???0e?xydx (x?0) 计算积分

2??01?sinxsin(x)dx??dx的值。（说明计算过程中每一步的合理性）

20x23

十．（20分）（1）设?为R中光滑区域，??为其边界，u,v在????上有连续二阶导数。证明：

???(u?v?v?u)dxdydz???(u????v?u?v)dS ?n?n??2?2?2其中为沿边界??外法线方向的导数，dS为边界上的面积元，??2?2?2。

?n?x?y?z （2）P?R的坐标为(?,?,?)，函数 r(x,y,z)?((x??)?(y??)?(z??)) 证明：?32221?0在R3\\{P}上成立。 r （3）设B(P,?)是以P为中心?为半径的球，?B(P,?)为其边界。若在B(P,?)上u满足

?u?0，则u(P)?14??2?B(P,)???udS。

南京大学硕士研究生入学考试数学分析试题

2000年

一、求下列极限

1）设xn?1?3(1?xn)，（x1?0为已知），求limxn；

n??3?xn222）lim(x2?y2)xx?0y?0y；

??3）lim?x?0xcostdt； 2t14）lim1r?0?r2x2?y2?2r2xy2ecos(x?y)dxdy. ??2二、设f(x)在??1.1?上有二阶连续偏导数，f(0)?0，令g(x)?f(x)，x?x?0?,g(0)?f?(0)，证明

1）g(x)在x?0处连续，且可导，并计算g?(0)； 2）g?(0)在x?0处也连续.

三、设fn(t)?(1?e)e?tsin3t，?t?0?，试证明

1）函数序列?fn?t??在任一有穷区间?0,A?上和无穷区间?0,???上均一致收敛

于0；

t???3n??t1?eesintdt?0. 2）lim???n???0?????tn四、设对任一A>0,f(x)在?0,A?上正常可积，且

x?????f(t)dt?0收敛，令

0?(x)??f(t)dt??f(t)dt,?x?0?,试证明?(x)在?0,???内至少有一个零点.

0x?五、计算积分I(a)??ln?a2cos2x?sin2x?dx,(a?0).

02x?x2?六、试求指数?，使得rdx?2rdy为某个函数u?x,y?的全微分，并求u?x,y?，

yy其中r?x2?y2.

七、计算下列曲线积分和曲面积分

1)I??x?2y3zdx?x?2ydy??x?y?z?dz,其中c为x2?2y2?1与

c????x2?2y2??z的交线，从原点看去是逆时针方向.

2)I???x2dydz?y2dzdx?z2dxdy,S:?x?a???y?b???z?c??R2.

222S八、设un(x)?xnlnx,x??0,1?

1) 试讨论?un(x)在?0,1?上的收敛性和一致收敛性；

n?1???n?2) 计算???xlnxdx?.

0?n?1?1???2x2???exp???t?2??,t?0,x?0九、设f(x,t)?? t??????0,t?0,x?0 I(x)??f(x,t)dt (x?0)0?1）讨论I(x)在?0,???上的一致收敛性，并证明

x?0?limI(x)??e?xdx?0??2?2

2）计算I(x).2001年数学分析

一、求下列极限 1） 设a1?0,an?an?1?3,(n?2),求liman；

n??4x?1y?21??2） lim?x?2?e?x????y?y?0??；

b3） 设f(x)?C?A,B?,A?a?b?B,试求limh?0?af(x?h)?f(x)dx

h4） 设f(x)在(0,1)内可导，且|f?(x)|?1,?x?(0,1),令xn?f()(n?2)，试证明limxnn??1n存在有限 二、设g(x)?C2(??,??),g(0)?1,令

?g?(0),当x?0时? f(x)??g(x)?cosx,当x?0时?x?1） 讨论f(x)在x?0处的连续性；

2） 求f?(x),并讨论f?(x)在x?0处的连续性.

三、设f(x)?C1?0,1?,f(0)?0,0?f?(x)?1,?x??0,1?,试证明对一切t??0,1?，成立

t?t?3??f(x)dx????f(x)?dx

0?0?2四、求下列积分

e?xsinxdx； 1） 计算反常积分I??x02） 计算曲面积分I?222xdydz?ydzdx?zdxdy，其中??S??S为锥面

h22z?2x?y2,0?z?h那部分的外侧

a2???2x(?1)n五、求f(x)?arctan在x?0处的幂级数展开式，并计算S??之值 21?xn?02n?1六、设xn?1?k?xn,k?1,x1?0.

1?xn?1) 证明级数

??(xn?0n?1?xn)绝对收敛；

2) 求级数

??xn?1n?1?xn?之和.

??t4?322???2??????,?七、设I(?,?)??exp?，其中满足不等式. dt??2??2?4??01） 讨论含参变量积分I(?,?)在区域D:??2?????2） 求I(?,?)在区域D上的最小值.

南京大学2003年数学分析

一、下列极限

22??3上的一致收敛性 41) 设a?0，求lim2) 设x1?nn??1?an；

n??2,xn?1?2?xn,(n?1,2,3,?)，求limxn； 1??x??e. x?x?2的切线，求：

x23) lim?1?n?????二、过p(1,0)点作抛物线y?1） 切线方程；

2） 由抛物线、切线及x轴所围成的平面图形面积； 3） 该平面图形分别绕x轴和y轴旋转一周的体积。

三、对任一y0?0,求?(x)?y0x0(1?x)在（0,1）中最大值，并证明该最大值对任一

yy0?0, 均小于任一e?1。

四、设f(x)在[0,??)上有连续导数，且f?(x)?k?0,f(0)?0，试证：

f(x)在(0,??)内仅有一个零点。 五、计算下列积分

ln(1??x)dx(??0)，求I?(?)和I(1); 201?xxdydz?ydzdx?zdxdy22222） I???，其中S为上半球面x?y?z?a(z?0)31） 设I(a)??1S(x2?y2?z2)2的外侧。

n??(1?x),当0?x?1f(x)在[?1,1]上（R）可积. 六、设?n(x)??nx??e,当?1?x?01） 求lim2） 求lim?n???n(x)，并讨论{?n(x)}在[?1,1]上的一致收敛性；

n???n1?1f(x)?n(x)dx（要说明理由）

n七、设f(x)??an?0k令fn(x)??akx，试证明f(fn(x))在[a,b] x的收敛半径R???，nk?0上一致收敛于f?f(x)?，其中[a,b]为任一有穷闭区间.

2005年硕士学位生入学考试试题（A）

考试科目：高等代数（满分： 150分）

选择填空（2分?10=20分）

1. 欧氏空间的度量矩阵一定是-------.(A) 正交矩阵；

(B) 正定矩阵；C) 上三角矩阵；(D) 下三角矩阵.

2. n级实矩阵A被称为正交矩阵是指--------.

A'是A的转置)；(A)AA'?A'A (其中，(B) AA'?A'A?E (其中，E 是单位矩阵)；

(C)A*A?E （其中，A*是A的伴随矩阵）；(D) AA*?A*A.

3. 设A是复数域上线性空间V的一个线性变换，则在V中必存在一组

基，使A在这组基下的矩阵是--------矩阵.

(A) 单位；(B) 对角；(C) Jordan (若尔当)；(D) 正交.

4. 对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n级--------矩阵T，使

得T?1AT?T'AT成为对角形。

(A) 上三角；(B) 对称；C) Jordan (若尔当)；(D) 正交.

5. 设A是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的子空间，如果对

于W中任意向量?有A??W，则称W是A的--------子空间. (A) 非平凡；(B) 不变；(C) 核；(D) 零.

6. 对一个s?n矩阵A作一初等行变换，就相当于在A的-------边乘上相应的初等矩阵.

(A) 左边；(B) 右边；(C) 两边；(D) 左边或右边. 7. 欧氏空间V的线性变换A被称为正交变换是指：对任意的?,??V，都有-------.

(A) |A?|?|A?|；(B) (A?,A?)?(?,?)；(C) (A?,A?)?(A?,A?)； (D) |A?|?|A?|?1 .

?x1????x2?8. 设A是数域P上的s?n矩阵且秩(A)?r，X???. 若方程组

???x???n?AX?0有非零解，则它的基础解系所含解的个数为-------个. (A) n；(B) r；(C) n?r；(D) 0 .

9. A是数域P上的n级矩阵，A*是A的伴随矩阵，则A*A?AA*?-------. (A) 单位矩阵E ；(B) |A|E ； (C) |A?1|E ；(D)

E. |A|10. 设A是数域P上的s?n矩阵,如果B是n级可逆矩阵，则

秩(A)------- 秩(AB).

(A) ? ；(B) ? ；(C) ? ；(D) ? .

二．（30分）

1. （7分）设p是奇素数，试证xp?px?1在有理数域上不可约. 2. （8分）

判断x?2是f(x)?x5?6x4?11x3?2x2?12x?8的几重根. 3．（5分）

设A是数域P上线性空间V的线性变换，?1,?2是A的特征值，而且

?1??2. V?1,V?2分别是对应于?1,?2的特征子空间，试证：V?1?V?2是直

和.

4. （5分）

?122???设A??212?,已知A的3个特征向量: 对应于特征值?1?5的特征向

?221????1???量为?1??1?, 对应于特征值?2??1的特征向量为,

?1???1?0????????2??0?,?3??1?. 试计算Ak，其中k是自然数.

??1???1?????5. （5分）

设V是数域P上的一个3维线性空间，?1,?2,?3是它的一组基，f是V 上的一个线性函数，已知

f(?1??3)?1,f(?2?2?3)??1,f(?1??2)??3.

求：f(x1?1?x2?2?x3?3).

三. （10分）

用非退化线性变换化下列二次型为规范形,并写出所作的线性变换:

22f(x1,x2,x3)?x1?x3?2x1x2?2x2x3

四. （10分）

?1t5???设A??t43?，试证：t取任何实数都不能使A为正定矩阵.

?531???五. （10分）

????设A????????10?0?????1?0?????????00?是n级矩阵且???，试证：

??????0?1?????0?0?000?n?1??n?1A的行列式A?.

???六. （10分）

设?1?(1,2,?1,?2) ，?2?(3,1,?1,1)，?3?(?1,0,1,?1)，?1?(2,5,?1,?5)，由?j,j?1,2生成的子空间?2?(?1,2,?2,3). 由?i,i?1,2,3生成的子空间记为W1，记为W2.

(1) 求W1?W2的维数; (2) 求W1?W2的一组基. 七. （10分）

设?1,?2,?3,?4 是4维线性空间V的一组基,已知线性变换A在这组基下的矩

0?1???12阵为?12??2?2?八. （15分）

21??13?, 求A的核及值域. ?55?1?2??2?2??2??5?4?，求正交矩阵T使得T?1AT成为对角矩阵. 设A??2??2?45???九. （10分）

a,b取什么值时,线性方程组

?x1?x2?x3?x4?x5?1?3x?2x?x?x?3x?a?12345 ?x?2x?2x?6x?3345?2??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?b

有解？在有解的情形求一般解 十. （10分）

?x1????x2?设?i?(ai1,ai2,?ain),i?1,2?s, ??(b1,b2,?bn),A?(aij)sn,X???, 如果线

???x???n?性方程组AX?0的解全部是b1x1?b2x2???bnxn?0的解. 试证?可由

?1,?2??s线性表出.

十一. （7分）

在数域P上n级方阵的全体Pn?n中, 求出所有仅与自己相似的方阵

十二. （8分）

?A设分块矩阵??B'?证明：

1）A可逆；

B?'?为正定矩阵，其中是B的转置. B?D?2）D?B'A?1B也正定.

?x1????x2?设?i?(ai1,ai2,?ain),i?1,2?s, ??(b1,b2,?bn),A?(aij)sn,X???, 如果线

???x???n?性方程组AX?0的解全部是b1x1?b2x2???bnxn?0的解. 试证?可由

?1,?2??s线性表出.

十一. （7分）

在数域P上n级方阵的全体Pn?n中, 求出所有仅与自己相似的方阵

十二. （8分）

?A设分块矩阵??B'?证明：

1）A可逆；

B?'?为正定矩阵，其中是B的转置. B?D?2）D?B'A?1B也正定.

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