《张量分析》报告
更新时间:2024-01-04 22:25:01 阅读量: 教育文库 文档下载
一 爱因斯坦求和约定
1.1指标
变量的集合:
x1,x2,...,xny1,y2,...,yn
表示为:
xi,i?1,2,3,...,nyj,j?1,2,3...,n
写在字符右下角的 指标,例如xi中的i称为下标。写在字符右上角的指标,例如yj 中的j称为上标;使用上标或下标的涵义是不同的。
用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母,除非作了说明,一般取从1到n的所有整数,其中n称为指标的范围。
1.2求和约定
若在一项中,同一个指标字母在上标和下标中重复出现,则表示要对这个指标遍历其范围1,2,3,…n求和。这是一个约定,称为求和约定。
例如:
Ax?Ax?Ax?b1111221332112222331Ax?Ax?Ax?bAx?Ax?Ax?b31132233323
筒写为:
Ax?bijji
j——哑指标
i——自由指标,在每一项中只出现一次,一个公式中必须相同
遍历指标的范围求和的重复指标称为“哑标”或“伪标”。不求和的指标称为自由指标。
1.3 Kronecker-?符号(克罗内克符号)和置换符号
Kronecker-?符号定义
?1?????jiij?0置换符号
eijk当i?j当i?j
eijk?eijk定义为:
2,3的偶置换(123,231,312)?1当i,j,k是1,??eijk???1当i,j,k是1,2,3的奇置换(213,132,321)?0当i,j,k的任意二个指标任意?
i,j,k的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。 置换符号主要可用来展开三阶行列式:
1a1a?a12a122a23a21a32123312a3?a1a2a3?a12a2a3?a13a12a33a31323312?a1a2a3?a12a12a3?a1a2a3
a13 因此有:
?a??a??a??a?aijji11i22i33i?imAmj?Aijeijk??ejik??eikj??ekjieijk?ejki?ekij
同时有:
?ii??11??22??33?3?ik?kj??ij?ij?ij??ii??jj?3?ij?jk?kl??ilaik?kj?aijaij?ij?aii?a11?a22?a33ai?ij?ajei?ej??ij
?i1?i2?i3?i1eijk??j1?j2?j3??i2?k1?k2?k3?i3?31?32?330e321??21?22?23?0?11?12?131
?j1?k1?j2?k2?j3?k30110??100
?ee???ijkpqri1j1k1???p2i2j2k2???????i3j3k3p1p2p3???p1q1q2q3???ipr1r2r3
?????????????i1p1i2i3p3i1
?ee???ijkpqripjpkp???iqjqkq???irjrkr
p?k?ee??ijkkqriqjq????????iriqjrirjrjq
aA?aa132111aaa12aa22132122a?aaa?aaa?23112233122331333132aaa?aaa?aaa?aaa321331122133112332?eaaa?eaaaijk1i2j3kijki1j2k3Kronecker-?和置换符号符号的关系为:
ee??????kijkstisjtjs
it
二 张量代数
2.1张量的加法(减法)
两个同阶、同变异(结构) 的张量可以相加(或相减)。张量相加(或相减)是相加(或相减)其同名的分量。
设Aijk,Bijk是张量,则
?i?Ai?BiAjkjkjkC?A?Bijkijkijk
也是张量。可以证明,张量相加(减)的结果是一个同阶同变异张量。
imn?y?x?x??y??A?x?A?xl?yj?ykijklmn?i?y??Bl?x??y?x?xBjkmn?xl?yj?yk?i?y??A?i?y??B?i?y?Cjkjkjkimn
?yi?xm?xnll???lAx?Amnmn?x?jk?x?y?y???yi?xm?xnl?lCmn?x??x?yj?yk2.2对称张量、斜对称张量
1)对称张量
若张量满足如下的关系式:
Aij?Aji
这样的张量称为二阶对称张量。
例如,基本度量张量和相伴度量张量 都是对称张量。 2)斜对称张量
若张量满足以下关系式:
Aij??Aji
则称为二阶斜对称张量。斜对称张量也称为反对称张量。 3)二阶张量的分解
任何一个一般二阶张量 都可以分解成一个对称张量和一个反
对称张量之和,即:
Cij?Aij?Bij1?Cij?Cji??Aji 211Bij??Cij?Cji????Cji?Cij???Bji22Aij?4)高阶张量的对称和反对称
高阶张量可以是关于一对下标(或上标)对称或反对称。例如置换张量,它关于任一对下标是反对称的:
?ijk???jik,?ijk???ikj,?ijk???kji
2.3张量的乘法
两个张量的外积是将它们的分量相乘。这样的运算产生一个新张量,其阶数是相乘两张量的阶数之和。
设 Aij、Bk 是张量,则外积
kCij?AijBk?xm?xn?Aij?y??Amn?x?i j?y?ykmn?y?x?xl??y?B??y?????x? AAxBijmnlij?x?y?ykkmn?y?x?xk??y???x? CCijlij?x?y?ykij张量乘法的性质:张量的乘法是不可交换的。
由几个张量连乘的乘积,则乘积张量中指标排列的次序由连乘张量的排列次序确定。
Cij?AijBk Ckij?BkAij
k张量Cijk与张量Ckij不相等。
若 Aij是对称张量,Bij是斜对称张量,可以很容易证明,它们的乘积等于0,即:
AijBij?0
由于置换张量是关于任一对指标的反对称张 量,因此它与任何一个二阶对称张量的乘积等于0。 2.4张量的缩并、内积
在混合张量中,使一个上标和一个下标相等,然后按求和约定求和,这样的运算,称为缩并。每一缩并,得到一个新张量,比原张量降两阶。
设Aijkl是一个四阶混合张量。作缩并运算,则:
Aijik?Bjk
iqrs?y?x?x?xp?jkl?y??AAqrs?x? pjkl?x?y?y?yi若令指标i与k相等,可得:
iqrsqs?y?x?x?x?x?xprp?jil?y????AAx??Aqrsqrs?x? ppjiljl?x?y?y?y?y?yi缩并运算可以应用于任意阶混合张量。
还可将乘法和缩并结合起来形成新张量,这种运算称为两张量的内乘法,得到的张量称为该两张量的内积。如:
Ciij?AiBij
三 张量的扩展
3.1基矢量的偏导数与克里斯托弗(Christoffel)符号
求一个矢量的导数,必须对它的各个分量与基矢量乘积之和求导:
?V?vigij?x?vigi????,j?vi,jgi?vigi,j?vi,jgi?vigi,j,jgi,j??j?xj??zk??2zk???xiik????xj?xiik??
可以看出基矢量gi对于坐标x的偏导数也是矢量,它也可以分成沿对偶基矢量或基矢量方向的分量:
kgi,j??ijkgk??ijgkk
k式中: ?ijk是沿 g方向的分量;称为第一种克里斯托弗符号;?ij是沿
gk方向的分量; 称为第二种克里斯托弗符号。
gi,j?gk?Γijlgl?gk?Γijl?kl?Γijk
k gi,j?gk?Γlijgl?gk?Γlij?lk?Γij3.2 Hamilton 算子
记
由于
可知算子 服从向量的定义。 设
为三维区域
中的标量场,关于
,
其中
的左右梯度为
。
,下标中的逗号表示对其后坐标的微商,
从上述两式可以看出标量的左右梯度相等。
设
为三维区域
中的向量场,关于
的左右散度为
,
从上面两式可以看出向量的左右散度相等。 关于向量场
的左右旋度为
,
对于 的左右旋度,有关系式标量场 的Laplace算子
为,
向量场 的Gauss公式为
其中
为区域
的边界曲面,
, 为
上的单位
外法向量。
向量场 的Stokes公式为
这里 为任意曲面,
为 的边界曲线,在边界
上积分的
环向与 的外法向 依右手定向规则: 指向观察者,从观察者来看,曲线沿反时针为正。
。
第二部分 张量的简单运用
张量分析在许多领域有着广泛的应用,现在所学的弹塑性力学就有简单的运用介绍,而且张量分析在岩石流变中的应用也非常有意义。
岩石流变本构方程 在小变形情况下有:
如上所述,岩石流变在引进了张量分析后,其表达变得很简便,便于计算和学习。
第三部分 张量分析的展望
首先,感谢张志镇老师的教导,让我深刻学习了张量分析。张量分析在开始阶段,学习困难,入门不易,但是我相信我以后可以通过继续学习打到预期的学习目标。张量分析在实际运用中可以减少计算,并且可以大大减少表达方式,从而使表达更为清楚,张量分析的
学习为我们以后科研工作中的理论分析打下了坚实的基础,我相信以后通过张量分析可以更好的写好自己的论文。
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