2013高考理科数学解题方法攻略—不等式放缩

数列型不等式放缩技巧八法

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：

一 利用重要不等式放缩

1． 均值不等式法

例1 设Sn?1?2?2?3???n(n?1).求证解析 此数列的通项为ak?n(n?1)(n?1)2

?Sn?.22k(k?1),k?1,2,?,n.

n1k?k?11，n??k?Sn??(k?)， ?k?k(k?1)??k?222k?1k?12即n(n?1)?Sn?n(n?1)?n?(n?1).

2222 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式ab?a?b，若放成

2k(k?1)?k?1则得Sn??(k?1)?(n?1)(n?3)?(n?1)，就放过“度”了！

k?1n222 ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

2 a1???ana12???annn11???a1an?a1?an?n?n 其中，n?2,3等的各式及其变式公式均可供选用。 例2 已知函数f(x)?14，且f(x)在[0，1]上的最小值为1，求证：，若f(1)?21?a?2bx511f(1)?f(2)???f(n)?n?n?1?.（02年全国联赛山东预赛题）

224x111 简析 f(x)??1??1?(x?0)?f(1)???f(n)?(1?) xxx2?21?41?42?21111111 ?(1?)???(1?)?n?(1????)?n??. 2nn?1n?14222?22?222 例3 已知a,b为正数，且（88年全国联赛题）

11??1，试证：对每一个n?N?，(a?b)n?an?bn?22n?2n?1.ab1111ab??1得ab?a?b，又(a?b)(?)?2???4，故ab?a?b?4，而ababba0n1n?1rn?rrnn(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb，

简析 由

1n?1rn?rrn?1令f(n)?(a?b)?a?b，则f(n)=Cnab???Cnab???Cnabn?1，因为in?i，倒序相加得Cn?Cn1rn?12f(n)=Cn(an?1b?abn?1)???Cn(an?rbr?arbn?r)???Cn(abn?1?an?1b)，

nnn而an?1b?abn?1???an?rb?abrrn?r???abn?1?an?1b?2ab?2?4?2n?1，则

nnn21rn?12f(n)=(Cn???Cn???Cn)(arbn?r?an?rbr)?(2n?2)(arbn?r?an?rbr)?(2n?2)?2n?1，所以

f(n)?(2n?2)?2n，即对每一个n?N?，(a?b)n?an?bn?22n?2n?1.

例4 求证C?C?C???C?n?2n?121n2n3nnnn?12(n?1,n?N).

123n简析 不等式左边Cn?Cn?Cn???Cn?2n?1?1?2?22???2n?1

?n?n1?2?22???2n?1=n?2，原结论成立.

2．利用有用结论

例5 求证(1?1)(1?1)(1?1)?(1?1)?2n?1.

352n?1简析 本题可以利用的有用结论主要有：

法1 利用假分数的一个性质b?b?m(b?a?0,m?0)可得

aa?m2462n3572n?11352n?1????????????(2n?1) 1352n?12462n2462n?(2?4?6?2n)2?2n?1即(1?1)(1?1)(1?1)?(1?1)?2n?1.

352n?11352n?1n? 法2 利用贝努利不等式(1?x)?1?nx(n?N,n?2,x??1,x?0)的一个特例

(1?1)得 121(此处

n?2,x?)?1?2?2k?12k?12k?1nn12k?112k?11????(1?)???2n?1.

k?1k?12k?12k?12k?12k?1 注：例5是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：

111证明(1?1)(1?)(1?)?(1?)?33n?1.(可考虑用贝努利不等式n?3的特例)

473n?21?2x?3x???(n?1)x?a?nx例6 已知函数f(x)?lg,0?a?1,给定n?N?,n?2.

n求证：f(2x)?2f(x)(x?0)对任意n?N?且n?2恒成立。（90年全国卷压轴题）

简析 本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（Cauchy）不等式

[?(aibi)]??a2i?1i?1nn2i?bi?1n2i的简捷证法：

1?22x?32x???(n?1)2x?a?n2x1?2x?3x???(n?1)x?a?nx f(2x)?2f(x)?lg?2lgnn?[1?2x?3x???(n?1)x?a?nx]2?n?[1?22x?32x???(n?1)2x?a?n2x]

xxxx2而由Cauchy不等式得(1?1?1?2?1?3???1?(n?1)?a?n) ?(12???12)?[1?22x?32x???(n?1)2x?a2?n2x](x?0时取等号)

?n?[1?22x?32x???(n?1)2x?a?n2x]（?0?a?1），得证！

11(II)对ln(1?x)?x)a?.(I)用数学归纳法证明an?2(n?2)；n2nn?n22对x?0都成立，证明an?e（无理数e?2.71828?）（05年辽宁卷第22题）

例7 已知a1?1,an?1?(1?解析 (II)结合第(I)问结论及所给题设条件ln(1?x)?x（x?0）的结构特征，可得放缩思路：

an?1?(1?1111?)a?lna?ln(1??)?lnan? nn?1n2?n2nn2?n2n1111?lnan?2?n。于是lnan?1?lnan?2?n，

n?n2n?n2n?1n?111?()n?1111112(lna?lna)?(?)?lna?lna?1???2???2.??i?1in11nn2ni2?i2ii?1i?11?22lnan?lna1?2?an?e.

即

注：题目所给条件ln(1?x)?x（x?0）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论2n?n(n?1)(n?2)来放缩：

111an?1?(1?)an??an?1?1?(1?)(an?1)?

n(n?1)n(n?1)n(n?1)11ln(an?1?1)?ln(an?1)?ln(1?)?.n(n?1)n(n?1)n?1n?111??[ln(ai?1?1)?ln(ai?1)]???ln(an?1)?ln(a2?1)?1??1，

i(i?1)ni?2i?2即ln(an?1)?1?ln3?an?3e?1?e2.

1111?????[log2n],n?N?,n?2.[log2n]表示不超过log2n 的最大整23n2nan?1数。设正数数列{an}满足：a1?b(b?0),an?,n?2.

n?an?1例8 已知不等式求证an?2b,n?3.（05年湖北卷第（22）题）

2?b[log2n]简析 当n?2时an?nan?11n?an?111????，即

n?an?1anan?1an?1nnn111111 )??. ????(?akak?1anan?1nk?2k?2k1112b于是当n?3时有??[log2n]?an?. ana122?b[log2n] 注：①本题涉及的和式1?1???1为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题23n1111设结论?????[log2n]来进行有效地放缩；

23n2 ②引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利于培养学

生的学习能力与创新意识。

1n)，求证：数列{an}单调递增且an?4. nn?1n?1 解析 引入一个结论：若b?a?0则b?a?(n?1)bn(b?a)（证略）

例9 设an?(1?整理上式得a以a?1?n?1?bn[(n?1)a?nb].（?）

1n?1111)?(1?)n. ,b?1?代入（?）式得(1?n?1n?1nn即{an}单调递增。

1n111代入（?）式得1?(1?)??(1?)2n?4.

2n22n2n此式对一切正整数n都成立，即对一切偶数有(1?1)n?4，又因为数列{an}单调递增，所

n以a?1,b?1?以对一切正整数n有(1?1)n?4。

n1n)?3.简证如下： n11112n1 利用二项展开式进行部分放缩：an?(1?)n?1?Cn??Cn?2???Cn. nnnnn11 只取前两项有an?1?Cn??2.对通项作如下放缩： n 注：①上述不等式可加强为2?(1?

11nn?1n?k?1111????????. kk?1k!nnnk!1?2?22n11111?(1/2)n?1 故有an?1?1??2???n?1?2???3.

2221?1/22②上述数列{an}的极限存在，为无理数e；同时是下述试题的背景：

Cnk已知i,m,n是正整数，且1?i?m?n.（1）证明n（01年全国卷理科第20题）

简析 对第（2）问：用1/n代替n得数列{bn}:bn?(1?n)是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列{(1?n)}递减，且1?i?m?n,故(1?m)?(1?n),即(1?m)?(1?n)。

当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、

甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！详见文[1]。

nm1ninmiiAm?miAn；（2）证明(1?m)?(1?n).1n1m1n二 部分放缩

111???,a?2.求证：an?2. ?aaa3n211111 解析 an?1?1a?a???a?1?2?2???2.

3n23n22 又k?k?k?k(k?1),k?2（只将其中一个k变成k?1，进行部分放缩），

1111?2???，

k(k?1)k?1kk1于是an?1?1?1???1?1?(1?1)?(1?1)???(1?1)?2??2.

n223n?1n2232n22例11 设数列?an?满足an?1?an?nan?1?n?N??，当a1?3时证明对所有n?1, 有

例10 设an?1?(i)an?n?2；(ii)11?a1?111????（02年全国高考题） 1?a21?an2 解析 (i)用数学归纳法：当n?1时显然成立，假设当n?k时成立即ak?k?2，则当n?k?1时

ak?1?ak(ak?k)?1?ak(k?2?k)?1?(k?2)?2?1?k?3，成立。

(ii)利用上述部分放缩的结论ak?1?2ak?1来放缩通项，可得

11ak?1?1?2(ak?1)?ak?1???2k?1(a1?1)?2k?1?4?2k?1??k?1.

ak?121n1?()nn11112 ???i?1???.

1422i?11?aii?11?2 注：上述证明(i)用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：

ak?1?(k?2)(k?2?k)?1?k?3；证明(ii)就直接使用了部分放缩的结论ak?1?2ak?1。

三 添减项放缩

上述例5之法2就是利用二项展开式进行减项放缩的例子。

8例12 设n?1,n?N，求证(2)n?.

3(n?1)(n?2)简析 观察()n的结构，注意到()n?(1?23321n)，展开得 2111nn(n?1)(n?1)(n?2)?6， 1123(1?)n?1?Cn??Cn?2?Cn?3???1???2228822即(1?1)n?(n?1)(n?2)，得证.

28

例13 设数列{an}满足a1?2,an?1?an?立；（Ⅱ）令bn?ann1(n?1,2,?). （Ⅰ）证明an?2n?1对一切正整数n成an(n?1,2,?)，判定bn与bn?1的大小，并说明理由（04年重庆卷理科第（22）题）

简析 本题有多种放缩证明方法，这里我们对（Ⅰ）进行减项放缩，有

2法1 用数学归纳法（只考虑第二步）a2k?1?ak?2?1?2k?1?2?2(k?1)?1； 2ak2法2 a2n?1?an?2?1222?an?2?ak?1?ak?2,k?1,2,?,n?1. 2an22则an?a12?2(n?1)?an?2n?2?2n?1?an?2n?1

四 利用单调性放缩

1． 构造数列

22n?3如对上述例1，令Tn?Sn?(n?1)则Tn?1?Tn?(n?1)(n?2)??0，

222?Tn?Tn?1,?{Tn}递减，有Tn?T1?2?2?0，故Sn?(n?1).

2 再如例

111(1?1)(1?)(1?)?(1?)352n?1则Tn?1???5，令Tn?Tn2n?12n?22n?12n?3?1，即

Tn?Tn?1,?{Tn}递增，有Tn?T1?23?1，得证！

注：由此可得例5的加强命题(1?1)(1?1)(1?1)?(1?1)?232n?1.并可改造成为探索性问

352n?13题：求对任意n?1使(1?1)(1?1)(1?1)?(1?1)?k2n?1恒成立的正整数k的最大值；同理可得

352n?1理科姊妹题的加强命题及其探索性结论，读者不妨一试！ 2．构造函数

例14 已知函数f(x)?ax?设0?a1?3211x的最大值不大于1，又当x?[,]时

26421求a的值；（Ⅱ）f(x)?（Ⅰ）.811.（04年辽宁卷第21题） ,an?1?f(an),n?N?，证明an?n?12解析 （Ⅰ）a=1 ；（Ⅱ）由an?1?f(an),得an?1?an?数学归纳法（只看第二步）：ak?1323111an??(an?)2??且an?0.用22366?f(ak)在ak?(0,1)是增函数，则得

k?1ak?1?f(ak)?f(113121)??()?. k?1k?12k?1k?21?a???（I）证明：对n?2x?,n?N．n??2?xn?例15 数列?xn?由下列条件确定：x1?a?0，xn?1?总有xn?a；(II)证明：对n?2总有xn?xn?1（02年北京卷第（19）题） 解析 构造函数f(x)? 当n?k?1时xk?1? 对(II)有xn?xn?11?a??x??,易知f(x)在[a,??)是增函数。 2?x?1?a???x?k?在[a,??)递增故xk?1?f(a)?a. 2?xk??1?a?1?a????，构造函数f(x)?x?x???,它在[a,??)上是增函数，故n??2?xn?2?x?

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