九年级数学《1.3十字相乘法分解因式(1)(2)》教案 北师大版

山东省泰安宁阳实验中学九年级数学《1.3十字相乘法分解因式

（1）（2）》教案 北师大版

2

我们知道 x 2 x 3 x 5x 6，反过来，就得到二次三项式x 5x 6的因式

2

分解形式，即x 5x 6 x 2 x 3 ，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且

2

这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。

一般地，由多项式乘法， x a x b x a b x ab，反过来，就得到

2

这就是说，对于二次三项式x px q，如果能够把常数项q分解成两个因数a、b的积，并且

a+b

等于一次项的系数

p，那么它就可以分解因式，即

2

x2 px q x2 a b x ab x a x b 。可以用交叉线来表示：

+a x

x+b

十字相乘法的定义：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。 例1 把x 3x 2分解因式。

分析：这里，常数项2是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而2=1×2=(-1)(-2)，要使它们的代数和等于3，只需取1,2即可。 例2 把x 7x 6分解因式。

例3 把x 4x 21分解因式。

例4 把x 2x 15分解因式。

通过例1︿4可以看出，怎样对x px q分解因式？

如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同。

如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同。

用心 爱心 专心

1

2

2

2

2

2

对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数p。

例5 把下列各式分解因式： (1) x 6x 8 (2) a b 4 a b 3 （3）x 3xy 2y

练习：1、因式分解：

（1）x x 6（2）x 5x 6 （3）x x 6 （4）x 3x 4 （5）x 3x 4 2、（1）若多项式x 8x m可分解为(x 2)(x 6)，则m的值为 . （2）若多项式x kx 12可分解为(x 2)(x 6)，则k的值为 . 3、选作：若多项式x 2x m可分解为(x 3)(x n)，求m、n的值.

222

2

2

2

2

2

2

2

2

42

用心 爱心 专心 2

我们知道 x 2 3x 5 3x 11x 10。

2

反过来就得到： 3x 11x 10 x 2 3x 5 。

2

想一想3x 11x 10怎样因式分解的，有什么规律？

总结规律：二次项的系数3分解成1,3两个因数的积；常数项10分解成2,5两个因数的积；当我们把1,3，2,5写成

3 后发现1×5+2×3正好等于一次项的系数11。

由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式ax bx c进行因式分解？ 我们知道，

2

2

a1x c1 a2x c2

a1a2x2 a1c2x a2c1x c1c2

a1x c1 a2x c2 2

a1a2x a1c2 a2c1 x c1c2

a1a2x2 a1c2 a2c1 x c1c2

二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如下：

a1ca2c2

2

这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2+a2c1，如果它们正好等于ax bx c的一次

项系数b，那么ax bx c就可以分解成 a1x c1 a2x c2 ，其中a1，c1位于上图的上

2

一行，a2，c2位于下一行。

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。 例1、 把下列各式分解因式：

(1) 2x 7x 3 (2) 6x 7x 5 (3) 5x 6xy 8y

练习：1、把下列各式分解因式： (1)2x 15x 7 (2) 3a 8a 4 (3) 5x 7x 6 (4) 6y 11y 10

用心 爱心 专心

3

2

2

2222

22

式：

10 (2) x2

7xy 12y2

(4) 4m2

8mn 3n2

用心 爱心 专心 4

2、把下列各式分解因(1) 5ab 23ab(3) x 7x 18

4

2

22

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