实际流体动力学基础

第五章 实际流体动力学基础

zx

zy

图5-11

§5-1实际流体的运动微分方程 ——纳维-斯托克斯方程5-1-1 以应力表示的实际流体的运动微分方程1 px yx zx du x 在x轴方向：f x x y z dt 1 p y xy zy du y 在y轴方向：f y (5-1) y x z dt pz xz yz du z 1 在z轴方向：f z z x y dt 2

5-1-2 流体质点的应力状态 xy yx yz zy zx xz u y u x xy yx y x u z u y yz zy z y u x u z zx xz x z

(5-2)

(5-3)

广义的 牛顿内摩擦定律3

u x p x 2 xx 2 x u y ' p y 2 yy 2 y u z ' p z 2 zz 2 z u x px p 2 x u y p y p 2 y u z pz p 2 z '

(5-4)

(5-5)

5-1-3 实际流体的运动微分方程 ——纳维-斯托克斯方程

u x u x u x u x 1 p 2 fx ux ux uy uz x dt x y z u y u y u y u y 1 p 2 (5-6) fy uy ux uy uz y dt x y z u z u z u z u z 1 p 2 fz uz ux uy uz z dt x y z

5-1-4实际流体运动微分方程的积分 u x p u2 2 2 u z y u y z W u x x 2 t u y p u2 W 2 u y 2 u x z u z x (5-8) y 2 t u z p u2 W 2 u z 2 u y x u x y z 2 t p u2 2 W u x 2 u z y u y z x 2 p u2 2 W u y 2 u x z u z x y 2 p u2 W 2 u z 2 u y x u x y z 2

(5-9)

p u2 d W 2u x dx 2u y dy 2u z dz 0 2 或

p u2 2 2 2 d W u x dx u y dy u z dz 2

(5-10)

p u2 d gz

2u x dx 2u y dy 2u z dz 0 2 或

(5-11)

p u2 2 d z u x dx 2u y dy 2u z dz 0 g 2g g 7

p u ' d z dh 0 g 2g 2 2 p1 u1 p2 u2 ' z1 z2 h g 2g g 2g2

(5-12)

(5-13)

不可压缩均质实际流体恒 定流的伯努利方程式8

恒定元流能量方程(一)能量转化

p 势能 z

位置势能 位能 z压力势能 压能 p

u2 动能 2g

由能量的守恒和转化定律，液流所具有的机械能可在位能、 压能及动能三种形式间相互转化，但能量的总量保持不变。99

(二)元流的能量方程

由伯努利积分推导理想液体的元流能量方程

由功能原理推导恒定流实际液体元流的能量方程

1010

u gz 常数 2 p u2 z 常数 2g

p

2

上式就是理想液体沿元流的伯努利积分，称理想液体元流 的能量方程。

1111

(二)元流的能量方程

由伯努利积分推导理想液体的元流能量方程

由功能原理推导恒定流实际液体元流的能量方程

1212

dA2

在恒定流中取一段元 流，并截取其中断面1 1 与断面2 2之间的流段来 分析。经过dt时段，元流 段由1 1与2 2断面分别移 动了u1dt和u2 dt。O

u2 u2 dt

u1dA1

p2

p1

u1dt

Z2

Z1O

力学中功能原理是：外力(重力除外)对物体所作的功 (正功或负功)等于物体机械能(动能和位能)的增量。 恒定流实际液体元流 恒定流总流

1313

1.动能的增量 动能的增量 = 222’2’块液体的动能 - 111’1’块液体的动能

1 2 dA2u2 dtu2 2 g

1 dA1u1dtu12 2 g

a 1414

2.压力作功 作用于元流侧面的动水压力与位移垂直，不作功。作 用于元流两端过水断面上的动水压力所作的功为：

p1dA1dl1 p2dA2dl2 p1dAu1dt p2dA2u2dt 1

p1dQdt p2dQdt p1 p2 dQdt由于实际液体具有粘性，液流的部分机械能将因液流内 部质点之间及其与边壁之间的摩擦作用而转化为热能损失掉。 令这部分能量损失(外力所作的负功)为-dHw,故外力作 功为： p1 p2 dQdt dHw b 1515

3.重力做功 该段元流移动前后在重力作用下的位能增量， 是222’2’和111’1’两块液体的重力势能之差：

dA2u2dtz2 dAu1dtz1 dQdt z2 z1 1由功能原理，式 a 式 b 式 c :由于重力在此做负功，所以(c)式应该将负号带入，则2 dH w u2 u12 p1 p2 不可压缩均质实 z2 z1 2g 2g dQdt 际流体恒定元流

c

dQdt z2

z1

dH w ' 令 hw dQdt

的伯努利方程 ' (能量方程) hw为单位重量液体所消耗的能量，称水头损失

2 u12 p2 u2 ' z1 z2 hw 2g 2g

p1

应用条件：

流体是不可压缩均质的实际流体，密度 =常数； 作用于流体上的质量力是有势的； 流体运动是恒定流； 限于同一条流线上各点的总机械能保持 不变；这和理想流体伯努利方程在有势流 的应用条件不同。

例5-2 设有一水位保持不变的很大的水箱，在其侧壁 开一小圆孔口，水从小圆孔口流入大气，如图5-4所 示。已知水箱内自由表面到小孔口中心的水深为H, 小孔口直径d﹤H/10 。试求水从小孔口出口收缩断面 c-c处水流的速度vc。

图5-4

解：现取同一流线上的在自由表面上的A点和孔 口出口断面c-c处中心的C点；取通过小孔口中心 的水平面为基准面。A、C两点的位置高差已知为 H,自由表面上A点的压强为大气压强pa,,孔口 出口断面上C点压强一般认为近似等于大气压强 pa 。根据伯努利方程，可得

pa vA pa vC zA zC g 2g g 2g vC 2 gH托里拆利公式

2

2

§5-2 实际流体元流的伯努利方程 5-2-1实际流体元流伯努利方程

p1 u p2 u2 ' z1 z2 h (5-14) g 2g g 2g不可压缩均质实际流体恒定元流的 伯努利方程(能量方程)

2 1

2

5-2-2 实际流体元流伯努利方程的 物理意义和几何意义u12 2g p1 g

u2 2 2g

p2 g

图5-621

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