函数对称性、周期性基本知识及习题分析
更新时间:2023-10-11 11:08:01 阅读量:2 综合文库 文档下载
函数的对称性和奇偶性函数 函数对称性、周期性基本知识及习题分析 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)
1、 周期性:对于函数
y?f(x),如果存在一个不为零的常数
T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有
f(x?T)?f(x)都成立,那么就把函数y?f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周
期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义(略),请用图形来理解。 3、 对称性:
我们知道:偶函数关于y(即x=0)轴对称,偶函数有关系式
奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式
上述关系式是否可以进行拓展?答案是肯定的 探讨:(1)函数
f(?x)?f(x)
f(x)?f(?x)?0
y?f(x)关于x?a对称?f(a?x)?f(a?x)
f(a?x)?f(a?x)也可以写成f(x)?f(2a?x) 或 f(?x)?f(2a?x)
y?f(x)上,通过f(x)?f(2a?x)可知,y1?f(x1)?f(2a?x1),
简证:设点(x1,y1)在
即点(2a?x1,y1)也在y 若写成: (2)函数
?f(x)上,而点(x1,y1)与点(2a?x1,y1)关于x=a对称。得证。
(a?x)?(b?x)a?b? 对称
22f(a?x)?f(b?x),函数y?f(x)关于直线x?y?f(x)关于点(a,b)对称?f(a?x)?f(a?x)?2b
上述关系也可以写成f(2a? 简证:设点(x1,y1)在
x)?f(?x)?2b 或 f(2a?x)?f(x)?2b
,通过
y?f(x)上,即y1?f(x1),所以
f(2a?x)?f(x)?2b可知,
,所以点
f(2a?x1)?f(x1)?2bf(2a?x1)?2b?f(x1)?2b?y1(2a?x1,2b?y1)也在y?f(x)上,而点(2a?x1,2b?y1)与(x1,y1)关于(a,b)对称。得
证。
若写成:
(3)函数
f(a?x)?f(b?x)?c,函数y?f(x)关于点(a?bc,) 对称 22y
y?f(x)关于点y?b对称:假设函数关于y?b对称,即关于任一个x值,都有两个
值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于有可能会出现关于
4、 周期性: (1)函数
y?b对称。但在曲线c(x,y)=0,则
y?b对称,比如圆c(x,y)?x2?y2?4?0它会关于y=0对称。
y?f(x)满足如下关系系,则f(x)的周期为2T
A、
f(x?T)??f(x) B、f(x?T)?11 或f(x?T)??f(x)f(x) C、
T1?f(x)T1?f(x)f(x?)?或f(x?)?(等式右边加负号亦成立)
21?f(x)21?f(x) D、其他情形 (2)函数
y?f(x)满足
f(a?x)?f(a?x)且
f(b?x)?f(b?x),则可推出
即可
f(x)?f(2a?x)?f[b?(2a?x?b)]?f[b?(2a?x?b)]?f[x?2(b?a)]以得到
即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称,y?f(x)的周期为2(b-a),
则函数一定是周期函数”
(3)如果奇函数满足
f(x?T)??f(x)则可以推出其周期是
2T,且可以推出对称轴为
x?上TT?2kT(k?z),根据f(x)?f(x?2T)可以找出其对称中心为(kT,0)(k?z)(以2?0)
如果偶函数满足
f(x?T)??f(x)则亦可以推出周期是
2T,且可以推出对称中心为
(T?2kT,0)(k?z),根据f(x)?f(x?2T)可以推出对称轴为x?T?2kT(k?z) (以2?0)
上T (4)如果奇函数
y?f(x)满足f(T?x)?f(T?x)(T?0),则函数y?f(x)是以4T为周
y?f(x)满足f(T?x)?f(T?x)(T?0),则函数y?f(x)期的周期性函数。如果偶函数
是以2T为周期的周期性函数。
定理3:若函数
f?x?在
R上满足
f(a?x)?f?a?x?,且f(b?x)?f?b?x?(其中
a?b),则函数y?f?x?以2?a?b?为周期.
定理4:若函数
f?x?在
R上满足
f(a?x)??f?a?x?,且f(b?x)??f?b?x?(其中
a?b),则函数y?f?x?以2?a?b?为周期.
且f(b?x)??f?b?x?(其中a?b),f?x?在R上满足f(a?x)?f?a?x?,
定理5:若函数则函数
y?f?x?以4?a?b?为周期.
y?f(x)与y??f(x)关于X轴对称。
换种说法:
二、 两个函数的图象对称性
1、
y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)??g(x),即它们关于y?0对称。
2、
y?f(x)与y?f(?x)关于Y轴对称。
换种说法:
y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(?x),即它们关于x?0对称。
3、
y?f(x)与y?f(2a?x)关于直线x?a对称。
换种说法:
y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(2a?x),即它们关于x?a对称。
4、
y?f(x)与y?2a?f(x)关于直线y?a对称。
换种说法:5、
y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(x)?2a,即它们关于y?a对称。
y?f(x)与y?2b?f(2a?x)关于点(a,b)对称。
换种说法:
y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(2a?x)?2b,即它们关于点(a,b)对称。
a?b对称。 26、
y?f(a?x)与y?(x?b)关于直线x?7、 函数的轴对称:
定理1:如果函数称.
y?f?x?满足f?a?x??f?b?x?,则函数y?f?x?的图象关于直线x?a?b对
2推论1:如果函数
y?f?x?满足f?a?x??f?a?x?,则函数y?f?x?的图象关于直线x?a对称. y?f?x?满足f?x??f??x?,则函数y?f?x?的图象关于直线x?0(y轴)对称.
推论2:如果函数
特别地,推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.
8、 函数的点对称:
定理2:如果函数称.
y?f?x?满足f?a?x??f?a?x??2b,则函数y?f?x?的图象关于点?a,b?对
推论3:如果函数
y?f?x?满足f?a?x??f?a?x??0,则函数y?f?x?的图象关于点?a,0?对称.
推论4:如果函数
y?f?x?满足f?x??f??x??0,则函数y?f?x?的图象关于原点?0,0?对称.特别地,
推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化. 三、试题
1.已知定义为R的函数
f?x?满足f??x???f?x?4?,且函数f?x?在区间?2,???上单调递增.如果
x1?2?x2,且x1?x2?4,则f?x1??f?x2?的值(A ).
A.恒小于0 B.恒大于0 C.可能为0 D.可正可负.
分析:
f??x???f?x?4?形似周期函数f?x??f?x?4?,但事实上不是,不过我们可以取特殊值代入,通
x?2代替x,使f??x???f?x?4?变形为
过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者,先用
f?2?x???f?x?2?.它的特征就是推论3.因此图象关于点?2,0?对称.f?x?在区间?2,???上单调递增,在
区间
???,2?上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.
?2?x2?4?x1,且函数在?2,???上单调递增,所以 f?x2??f?4?x1?,又由f??x???f?x?4?,
有
f(4?x1)?f???x1?4???f?x1?4?4???f?x1?,
?f?x1??f?x2??f?x1??f?4?x1??f?x1??f?x1??0.选A.
当然,如果已经作出大致图象后,用特殊值代人也可猜想出答案为A.
2:在R上定义的函数
f(x)是偶函数,且f(x)?f(2?x).若f(x)在区间[1,2]上是减函数,则f(x)( B )
A.在区间[?2,?1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数 B.在区间[?2,?1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[?2,?1]D.在区间[?2,?1]分析:由
上是减函数,在区间[3,4]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数 上是增函数
f(x)?f(2?x)可知f(x)图象关于x?1对称,即推论1f(x)为偶函数图象关于x?0对称,可得到f(x)为周期函
f(x)在区间[1,2]上是减函数,可得如右f(x)的应用.又因为
数且最小正周期为2,结合草图.故选B
3.定义在R上的函数
f(x)既是奇函数,又是周期函数,T是它的一个正周期.若将方程
f(x)?0在闭区间
??T,T?上的根的个数记为n,则n可能为( D )
A.0
分析:
B.1
C.3
D.5
TTTTf(T)?f(?T)?0,f(?)??f()?f(??T)?f(),
2222TT∴f(?)?f()?0,则n可能为5,选D.
224.已知函数值.
f?x?的图象关于直线x?2和x?4都对称,且当0?x?1时,f?x??x.求f?19.5?的
分析:由推论1可知,同样,
f?x?的图象关于直线x?2对称,即f?2?x??f?2?x?,
f?x?满足f?4?x??f?4?x?,现由上述的定理3知f?x?是以4为周期的函数.
正在阅读:
函数对称性、周期性基本知识及习题分析10-11
九年级英语集体备课一03-13
2019少先队活动方案03-11
《论劳动合同法中劳动者的违约责任制度》05-22
《管理学》读后感05-27
糯玉米品种美玉(加甜糯)7号特征特性及高产栽培技术05-21
碧海路由安装说明10-06
- 多层物业服务方案
- (审判实务)习惯法与少数民族地区民间纠纷解决问题(孙 潋)
- 人教版新课标六年级下册语文全册教案
- 词语打卡
- photoshop实习报告
- 钢结构设计原理综合测试2
- 2014年期末练习题
- 高中数学中的逆向思维解题方法探讨
- 名师原创 全国通用2014-2015学年高二寒假作业 政治(一)Word版
- 北航《建筑结构检测鉴定与加固》在线作业三
- XX县卫生监督所工程建设项目可行性研究报告
- 小学四年级观察作文经典评语
- 浅谈110KV变电站电气一次设计-程泉焱(1)
- 安全员考试题库
- 国家电网公司变电运维管理规定(试行)
- 义务教育课程标准稿征求意见提纲
- 教学秘书面试技巧
- 钢结构工程施工组织设计
- 水利工程概论论文
- 09届九年级数学第四次模拟试卷
- 对称性
- 周期性
- 基本知识
- 习题
- 函数
- 分析
- 浅谈教师教育批评语言技巧
- 2011年一级建造师考试:建设工程法规及相关知识习题集网上增值服务
- 三位半液晶显示数字交流电流表 电气测量课程设计 - 图文
- xx公司2017年度环境保护工作计划
- 第八届绍兴市少儿信息学竞赛复赛试题及答案
- 食堂人防暖通设计计算书
- 读书笔记展评总结
- 简答论述题
- 博科BROCADE交换机配置(详细)
- 资中箱涵专项施工方案
- 传奇私服GM命令大全集锦
- 单片机实验报告 - 图文
- 石油华东《国际法学》2015年春学期在线作业(一)
- 浅谈科技查新与文献检索之间的关系
- 苏教版三下第二单元千米和吨教材分析
- 法的道德历程:法律史的伦理解释(论纲)
- 磴口县医保办专项检查两定机构整改报告
- 浅谈我对电子商务的认识
- 专题一 细胞的成分、结构及功能
- 医院服务理念文化