机械设计制造及其自动化与高数的关系

机械设计制造及其自动化与高数的关系

高数十二班

机械设计制造及其自动化是一门研究机械的学科，是一个教你如何制造机器的专业。高数，顾名思义，它是数学，是一门研究数字的学问。来到大学，我们首先要学的就是高数，很多人就对此产生了疑问，为什么学机械要先学高数，以后用得上吗。其实，高数在机械方面用处很大，下面我举一个简单的例子来说明一下，高数在机械设计制造及其自动化上的用途。

机械加工厂生产7种产品（产品1到产品7）。该厂有以下设备：四台磨床、两台立式钻床、三台水平钻床、一台镗床和一台刨床。每种产品的利润（元/件，在这里，利润定义为销售价格与原料成本之差）以及生产单位产品需要的各种设备的工时（小时）如下表。表中的短划表示这种产品不需要相应的设备加工。

表3 产品的利润（元/件）和需要的设备工时（小时/件） 产品 磨 床 立 钻 水 平 钻 镗 床 刨 床

从一月份至六月份，每个月中需要检修的设备是（在检修的月份，被检修的设备全月不能用于生产）：

表4 设备检修计划 月份 一月 二月 三月 计划检修设备及台数 一台磨床 二台立式钻床 一台镗床 月份 四月 五月 六月 计划检修设备及台数 一台立式钻床 一台磨床和一台立式钻床 一台刨床和一台水平钻床 1 0.50 0.10 0.20 0.05 -- 2 6.00 0.70 2.00 6.00 0.03 -- 3 3.00 -- -- 0.80 -- 0.01 4 4.00 -- 0.30 -- 0.07 -- 5 1.00 0.30 -- -- 0.10 0.05 6 9.00 0.20 0.6 -- -- -- 7 3.00 0.50 -- 0.60 0.08 0.05 21号 机自2班 王一环

单位产品利润 10.00 每个月各种产品的市场销售量的上限是：

表5 产品的市场销售量上限（件/月） 产品 1 2 3 4 300 0 0 5 800 400 500 6 200 300 400 7 100 150 100 一月 500 1000 300 二月 600 500 200 三月 300 600 0 四月 五月 六月 200 0 500 300 100 500 400 500 100 500 100 300 200 1000 1100 0 300 500 100 0 60 每种产品的最大库存量为100件，库存费用为每件每月0.5元，在一月初，所有产品都没有库存；而要求在六月底，每种产品都有50件库存。工厂每天开两班，每班8小时，为简单起见，假定每月都工作24天。

生产过程中，各种工序没有先后次序的要求。

问题1：制定六个月的生产、库存、销售计划，使六个月的总利润最大。

问题2：在不改变以上计划的前提下，哪几个月中哪些产品的售价可以提高以达到增加利润的目的。价格提高的幅度是多大？

问题3：哪些设备的能力应该增加？请列出购置新设备的优先顺序。

问题4：是否可?通过调整现设备的检修计划来提高利润？提出一个新的设备检修计划，使原来计划检修的设备在这半年中都得到检修而使利润尽可能增加。

最优设备检修计划问题

对案例3中的生产计划问题。构造一个最优设备检修计划模型，使在这半年中各设备的检修台数满足案例3中的要求而使利润为最大。

2．模型假设与说明

(1).假设工厂工人每月工作24天；

(2).在进行部分产品价格上调时，机器设备的检修方案不变； (3)在优化检修设备方案时，产品的价格是上涨后的价格。

3．符号说明 i: 表示产品； j: 表示月份；

m: 表示机器设备；

Aij: 表示第i中产品在第j个月的产量； Bij: 表示第i中产品在第j个月的库存量； Cij: 表示第i中产品在第j个月的销售量； Dmi: 生产i中产品需要的m种设备时间； Emj: m中设备在第j月的使用时间； Fij：第i中产品在第j月的销售上限； Pi: 第i中产品每件的利润； 4．问题分析和模型建立 4.1 模型分析

4.1.1本题要求制定出六个月的生产、库存、销售计划并求出总利润，为了增加利润，将产品的售价提高，求出提高的价格幅度，增加设备的能力，并购置新设备，调整设备的检修方案以增加利润。利润=售价-成本价-产品的库存费用。此题目中没有给出产品的成本价，因此，我们在求最大利润是直接用产品的销售总价减去产品的库存费用。由于工厂每天开两班，每班8小时，假定每月工作24天，结合检修计划表，由此可以算出每种机器设

备每月的使用时间（矩阵Emj，求解如下），建立一个机器生产设备使用的约束条件，每种产品每个月的库存量小于等于100,并要求在第六个月底，每种产品都有50件库存，可以建立两个库存约束条件。产品在销售时，每月的产品销售量为当月的产量加上上月的库存量要小于销售上限。由于第一月无上月的库存量?故直是?品?产量岏于销售亊限。建立销單的约束件。利用lingo建立一个整形规划的数学模型。

4.1.2提高部分产品的销售价来提高总利润。利用（1）中的建立的模型球的的解，进行灵敏度分析来解答。将“General Solver”选项卡中的“Dual Computation”下拉项修改为“Prices & Ranges”。然后，我们点“Solve”运行程序，运行完之后，回到模型界面，点击“lingo”菜单下的“range”选项可以进行灵敏度分析。

4.1.3增加设备的能力来提高利润，通过看影子价格来求出答案。

4.1.4由于设备要定时的检修，在检修时设备无法使用，我们可以优化设备检修计划来增加利润。

4.1.5 利用（2）求出的增加部分产品的价格和（4）优化的机器设备的检修方案。重新建立模型。进行求解。 4.2 模型建立

在求解总利润时，建立目标函数z??(?Ci?1j?176ij*pi)?0.5*?i?17?Bj?16ij

把pi=10 6 3 4 1 9 3带入目标函数中得

6666maxz?(?A?B)*10??A?B)*6??A?B)*3??A?B)*

1j162j263j364j46j?1j?1j?1j?1666764??A?B)*1??A?B)*9??A?B)*3?0.5*??B

5j566j667j76ijj?1j?1j?1i?1j?1

设备时间约束为

库存约束为

（2）

Dmi*Aij??Emj (1)

Bi6??50 （3）

销售约束为

Ai1?Bi1??Fi 1 （4）

Aij?Bij?1?Cij??Fij （j>=1） （5）

A和B均是整数矩阵 将约束条件用矩阵表示为

?a11 a12 a13a14 a15 a16??a a aaa a??e11 e12 e13e14 e15 e16?0.50 0.70 0.00 0.00 0.30 0.20 0.50???21222324 2526???e e eee e?0.10 2.00 0.00 0.30 0.00 0.60 0.00??a a aaa a??212223242526????31323334 3536??e31 e32 e33e34 e35 e36??0.20 6.00 0.80 0.00 0.00 0.00 0.60?* ?a41 a42 a43 a44a45 a46?

e e eee e?????414243 444546?0.05 0.03 0.00 0.07 0.10 0.00 0.08a a aaa a???51525354 5556??e e eee e?51525354 5556???? 0.00 0.00 0.01 0.00 0.05 0.00 0.05;a a aaa a????61626364 6566?e61 e62 e63e64 e65 e66???a a aaa a???71727374 7576??b11 b12 b13 b14 b15 b16??100 100 100100 100 100??b b b b b b???100 100 100100 100 100212213141516?????b31 b32 b33 b34 b35 b36??100 100 100100 100 100????? b b b b b b?414243444546?<=?100 100 100100 100 100? （2）

?b b b b b b??100 100 100100 100 100??515253131356????b61 b62 b63 b64 b65 b66??100 100 100100 100 100??b b b b b b??100 100 100100 100 100???717273747576??

50505050505050? （3） ?b16 b26 b36 b46 b56 b66 b76?>=?

?a11??b11??500??a??b??1000?2121???????a31??b31??300???????a?b??300?41??41??? （4） ?a??b??800?5151??????200ab?61??61????a??b??100????71??71??a12 a13a14 a15 a16??b11 b12 b13 b14 b15 ??c12 c13c14 c15 c16??a aaa a??b b b b b ??c ccc c??222324 2526??2122131415??222324 2526??a32 a33a34 a35 a36??b31 b32 b33 b34 b35??c32 c33c34 c35 c36???????+--a aaa ab b b b bc ccc c?4243 444546??4142434445??4243 444546?<=?a aaa a??b b b b b ??c ccc c??525354 5556??5152531313??525354 5556??a62 a63a64 a65 a66??b61 b62 b63 b64 b65 ??c62 c63c64 c65 c66??a aaa a??b b b b b ??c ccc c??727374 7576??7172737475??727374 7576?(5)

运用lingo求解

5．模型求解5．1 模型求解

5．1 运行后部分数据截取如下（具体数据见附件）：

Objective value: 32468.00 Total solver iterations: 37

A( 1, 1) 600.0000 0.000000

A( 1, 2) 0.000000 0.000000 A( 1, 3) 0.000000 0.000000 A( 1, 4) 200.0000 0.000000 A( 1, 5) 0.000000 0.000000 A( 1, 6) 550.0000 0.000000 …………

02000550??6000?1220?0107102109???30020004006000???Aij 第i中产品在第j个月的产量A??30000500100350?

?800500020011000???30004500250550???10025001001000???Bij 第i种产品在第j个月中的库存量

00050??1000?0?000250???000010050?Bij-1???

000050??0?01000010050???10005050050??

Cij 第i种产品在第j个月的销售量 Ci1=Ai1-Bi1 Cij=Aij+Bi,j-1-Bij

02000500??5000?1220?010710061???300200040050050???Cij=?300005000300?

?800400100200100050???30005500150600???100150100100050??? 5.2 进行灵敏度截取相关数据

Ranges in which the basis is unchanged:

Objective Coefficient Ranges

Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease DEMAND( 1) 0.0 0.0 INFIN聉TY

DEMAND( 2) 0.0 0.0 INFINITY DEMAND( 3) 0.0 0.0 INFINITY DEMAND( 4) 0.0 0.0 INFINITY DEMAND( 5) 0.0 0.0 INFINITY A( 1, 1) 10.00000 INFINITY 9.300000 A( 1, 2) 10.00000 INFINITY 8.500000 A( 1, 3) 10.00000 INFINITY 0.0 A( 1, 4) 10.00000 0.5611111 9.700000 ………

以上数据分析得出结论 产品1的1、2、3月份增加为无穷大；4 、5 、6月份分别增加0.5611111 0.5388889 50.70000

产品2的1、2、3、4、5、6月份都增加 6 产品3 的1、2、3、4、5、6月份都增加3 产品4的1、2、3、4、5、6月份都增加4 产品5的1、2、3、4、5、6月份分别增加 1 产品6的1、2、3、4、5、6月份分别增加 9 产品7的1、2、3、4、5、6月份分别增加 3 5.3 设备的能力增加 对数据分析，得出结论，

(1).当立钻在第二个月能增加使用1小时时，则利润可以增加100元, 当立钻在第四个月能增加使用1小时时，则利润可以增加3元，当立钻在第五个月能增加使用1小时时，则利润可以增加1.666667元，总共增了104.666667元；

(2).当水平钻在第一个，第五个，第六个月各能增加使用1小时时，则利润分别可以增加1元、0.361111元、1元，总共增了2.361111元；

(3).当镗床在第三个月能增加使用1小时时，则利润可以增加200元； (4).当刨床在第六个月能多使用1小时时，利润增加220元。

通过比较利润的增加值可以得出，需增加设备 刨床、镗床、立钻、水平钻。

5.4优化机器设备的检修方案

(1).由5.3 (1)中立砖在第二月增加使用时间可以增加利润可得出二月份检修的2台立钻1

台放在一月份，1台放在三月份检修，这样可以增加利润100元；

(2).由5.3(2) 中水平钻第六个月各能增加使用1小时可以增加利润可得中六月份检修的水平钻在三月份检修；

（3）5由.3 (3)中镗床在第三个月能增加使用1小时时，则利润可以增加200元可得，把在三月份检修的镗床放在六月份检修；

(4).由5.3(4)中刨床在第六个月能多使用1小时时，利润增加220元可得，把在六月份检修的刨床在三月份检修。

由此可以得出机器设备的最大使用时间表

?115215361536153611521536??768?0768384384768??Emj??11521152115211521152768?

??3843840384384384???0??384384384384384?应调整为

?115215361536153611521536??384768384384384768???Emj??11521152768115211521152?

??3843843843843840???0384384384??384384?由此得到

Global optimal solution found.

Objective value: 37025.00 Total solver iterations: 38

Variable Value Reduced Cost DEMAND( 1) 0.000000 0.000000 DEMAND( 2) 0.000000 0.000000 DEMAND( 3) 0.000000 0.000000 DEMAND( 4) 0.000000 0.000000 ………

优化后的设备检修表为：

月份 平钻床

6． 模型进一步分析

结合5.2 中部分产品价格的增加以及5.4中设备的检修优化，可以建立如下优化模型

6666maxz?(?A?B)*10??A?B)*6??A?B)*3??A?B)*

1j162j263j364j46j?1j?1j?1j?1666764??A?B)*1??A?B)*9??A?B)*3?0.5*??B

5j566j667j76ijj?1j?1j?1i?1j?1其中

?Ci1?Ai1?Bi1??Ci2?Ai2?Bi1?Bi2?Ci3?Ai3?Bi2?Bi3??Ci4?Ai4?B13?Bi4 ?C?A?B?Bi5i4i5?i5?Ci6?Ai6?Bi5?Bi6??Ci7?Ai7?Bi6?Bi7?115215361536153611521536??384768384384384768???E??11521152768115211521152?

??3843840384384384???0??384384384384384??500?1000??300?F=?300?800??200?100?600300200500600200000400500300400150100500?300100500??400500100??500100300? 20010001100??0300500?100060??0运行结果截取部分数据为：

Global optimal solution found.

Objective value: 40891.00 Total solver iterations: 40

Variable Value Reduced Cost DEMAND( 1) 0.000000 0.000000 DEMAND( 2) 0.000000 0.000000 DEMAND( 3) 0.000000 0.000000 DEMAND( 4) 0.000000 0.000000 ……

故最大利润为：40891.0元

由此可见，如果我们不懂高数，就无法解决这种问题，为了我们的专业，同学们，好好学高数吧。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/x7j7.html