江苏省靖江高级中学2015届高三数学最后一卷【解析版】

江苏省靖江高级中学高三数学最后一卷2015．5．22

数学Ⅰ 必做题部分

（本部分满分160分，时间120分钟）

1

参考公式：锥体的体积公式：V Sh，其中S是锥体的底面面积，h是高．

3

一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分． 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．已知集合A {1,2,4},B {2,3,4,5}，则A B ． 1.【答案】 2,4

【命题立意】本题旨在考查集合的运算。难度较低。 【解析】A B 2,4

2．设复数z满足iz 3 2i，则z＝ ▲ ． 2 .【答案】

2 3i

【命题立意】本题旨在考查复数的运算。考查运算能力，难度较低。

2

3 2i 3 2i i 3 2i 【解析】z i 3 2i 2 3i iii

z 2 3i

3．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试， 则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是 ▲ ． 3.【答案】

9 10

【命题立意】本题旨在考查概率的古典概型。考查运算能力，难度较低。 【解析】试验的基本事件总数是10，要求事件中基本事件有9个，根据古典概型 可求出概率为

9。 10

4．右图是一个算法流程图，若输入x的值为 4， 则输出y的值为 ▲ . 4.【答案】2

【命题立意】本题旨在考查算法中的程序框图。考查逻辑思维能力，难度较低。 【解析】根据框图进行流程分析：x1 4,x2 7,x3 4,x4 1,x4 3,故

y 2 2.

1

5．右图是样本容量为100的频率分布直方图，根据此样本的频 率分布直方图估计，样本数据落在区间[6,18)内的频数为 ▲ ． 5.【答案】80

【命题立意】本题旨在考查统计的频率分布直方图。 考查运算能力，难度较低。

【解析】区间[6,18)的累计频率为1-4（0.02+0.03）=0.8， 落在该区间内的频数为100*0.8=80.

x2

2y2 1 m 0 的 6．若抛物线y 4x的焦点与双曲线m

2

右焦点重合，则m ▲ ． 6.【答案】

1 2

【命题立意】本题旨在考查圆锥曲线中抛物线和双曲线方程和性质。 考查转化和运算能力难度中等。

【解析】抛物线的焦点是（1，0），即为双曲线的右焦点。根据双曲线 性质c a b得：1 m

7．用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积 是 ▲ ． 7.

【答案】

【命题立意】本题旨在考查立体几何中的圆锥的结构特征。考查空间想象和运算能力。 难度中等

【解析】圆锥的母线为半圆的半径6，底面圆周长等于半圆弧长l 6 ，由6 2 r,

2

2

2

11

,故m为。

22

12

得r 3，

圆锥的高h 圆锥体积

V= rh

3

8． 设函数f(x)

1 x 1

2 x 0

，若函数g(x) f(x) ax,x [ 2,2]为偶函数，

0 x 2

则实数a的值为 ▲ ． 8.【答案】

1 2

【命题立意】本题旨在考查函数的奇偶性。考查转化和化归能力。难度较低。

2 x 0 ax 1

g(x) f(x) ax ,

0 x 2,利用偶函数性质g( 1) g 1 ，【解析】 ax x 1

即a 1 -a 1 1，故a=

1

2.

【易错警示】代入-1值，易出现符号错误。

9． 已知点P为圆C:x2 y2 4x 4y 4 0上的动点，点P到某直线l的最大距离为

5．若在直线l上任取一点A作圆C的切线AB，切点为B，则AB的最小值是

▲ ． 9.

【答案】

【命题立意】本题旨在考查直线与圆的位置关系。考查数形结合和运算能力，难度中等。

22

【解析】C:x y 4x 4y 4 0，配方得： x-2 + x-2 4,可知C 2,2 ,r 2

2

2

由题意知，圆心C到直线l的最大距离d=3，

根据勾股定理|AB|

|AB|min 而(dAC)min为圆心C到直线的最大距离,故|AB|min 故AB

【易错警示】一定要考虑数形结合，通过图形研究解法。

x coxsx , [0,若存在常数m R，满足：对任意的10．已知函数f(x) sin．x1 [0, ]，都存在x2 [0, ]，使得

f(x1) f(x2)

m．则常数m是 ▲ ．

2

10.

【答案】

1

2

【命题立意】本题旨在考查三角函数及恒成立问题。考查转化和化归，难度中等。 【解析】f

x

5

, x ,x 0, ,则x , ,那么f

x 4 4 44

1,故 因为2m f x1 f

x2 ,根据题意，2m

11．以C为钝角的△ABC中，BC＝3，BA·BC＝12，当角A最大时，△ABC面积为． 11.【答案】3

【命题立意】本题旨在考查解三角形。考查转化和运算能力，难度较大。 【解析】过A作AD BC，垂足为D，

则BA BC |BA||BC|cosB BD BC 3BD 12

所以BD=4，又BC=3,所以CD=1.

41

33yy , 设AD=y(y>0),则tan BAC

41 2y yy

当且仅当y

4

,即y 2时取“=”，由正切函数的单调性知此时 BAC最大， y

11

S ABC BC AD 3 2 3.

22

12．已知各项均为整数的等差数列a1,a2,a3,a4中，a1 2，若a2,a3,a4 x(x Z)构成

等比数列，则整数x的取值集合为 ▲ ．

12.【答案】

9, 8,0,1

【命题立意】本题旨在考查等差和等比数列性质。考查运算能力，难度中等。

【解析】设等差数列的公差为d，由a2,a3,a4 x(x Z)构成等比数列，a1 2，可得

d2

（2+2d) 2 d 2 3d x ，得（d+2)x=d,x ,代入整数d,可得x=-9,-8,0,1.

d 2

2

2

【易错警示】对d赋值时，一定要按次序逐个代入，否则x值容易求不全；还要注意d,x

都为整数的条件。

y2x2

13．平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C:2 2 1(a b 0)的下顶点，M,N在

ab

椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形， 为直线ON的倾斜角，若 [圆C的离心率的取值范围为 ▲ ．

13.【答案】[

,]，则椭

43

622,] 33

【命题立意】本题旨在考查解析几何椭圆的离心率问题。考查数形结合和运算能力， 难度中等。

【解析】因为OP在X轴上，且平行四边形中，MN//OP,所以M、N两点的横坐标相等，

a a 纵坐标互为相反数，即B，C两点关于X轴对称，MN=OP=a,可设M x, ，N x, ,

2 2

代入椭圆方程得：|x|

a ， 为直线ON的倾斜角，可得：

，得

N, 2 a

tan [,] cot 1 1，

431b1b21 2 ,又离心率e e 3a39a333

【易错警示】椭圆的离心率公式易与双曲线相混淆；运算还容易出错。

14．已知函数f x =

1+lnxk

,g x k N ，若对任意的c 1，存在实数a,b满足x 1x

0 a b c，使得f c f a g b ，则k的最大值为．

14.【答案】3

【命题立意】本题旨在考查函数的零点与方程根的关系。考查数形结合和分类讨论的思想。 难度中等。

【解析】当k=1时，作函数f（x）=

，与g（x）=（k∈N）的图象如下，

+

k=2,对 c>1,存在实数 a,b 满足 0<a<b<c,使得 f(c)=f(a)=g(b)成立， 正确； 当 k=3 时，作函数 f(x)= ,与 g(x)= (k∈N )的图象如下，+

k=3 时，对 c>1,存在实数 a,b 满足 0<a<b<c,使得 f(c)=f(a)=g(b)成 立，正确， k=4 时，作函数 f(x)= ,与 g(x)= (k∈N )的图象如下，+

- 6 -

二．解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)

如图，三棱锥A BCD中，侧面 ABC底边BC上的高为AE，M,N分别是AE,AD的

的中点．

（1）求证：MN//平面BCD；

（2）若平面ABC 平面ADM，求证：AD BC；

【解析】证明：（1）连接DE,M,N分别是AE,AD的的中点

MN//DE，

而MN 平面BCD，ED 平面BCD, 所以MN//平面BCD；

（2）侧面 ABC底边BC上的高为AE即BC AE，

又因为平面ABC 平面ADM且平面ABC 平面ADM AE，BC 平面BCD,

所以BC 平面ADM,而AD 平面ADM,

所以AD BC

16．(本小题满分14分)

已知a cos ,sin ,b cos ,sin ．

（1）若

6

，求a b的值；

4

（2）若a b , ，求tan 的值．

58

【命题立意】本题旨在考查向量的数量积运算和三角函数的化简和求值。考查运算能力，难度较小。 【

解

析

】

（

1

）

由

；i n

6

，得

6

43（2）a b cos ，所以sin

5533

当sin 时，tan ，

54

1 tan 1

tan tan 2 tan ；

41 tan 7

33

同理当sin 时，tan ，tan 7；

54

1

综上：tan 的值为7或。

7

17．(本小题满分15分)

x2y23

已知椭圆E＝1过点D(1)，且右焦点为F(1,0)，

ab2右顶点为A．过点F的弦为BC．直线BA，直线CA分 别交直线l:x＝m,(m＞2)于P Q两点． （1）求椭圆方程；

（2）若FP⊥FQ，求m的值．

【命题立意】本题旨在考查解析几何中的直线和椭圆置关系。考查逻辑思维能力和运算能力。难度中等。 19

【解析】（1）＝1,a2－b2＝1,解之得a2＝4，b2＝3，

a4bx2y2

＝1；

43

y（2）法一：设B(x0，y0)，则BC：y＝(x－1)，

x0－1

a b c o s

c

o

s

sinc

yy＝x－1)，x0－1xy

与椭圆E：＝1联立方程组：

43x2y2

1．43

2

2

8－5x0－3y08－5x0－3y0

解得x＝x0，y＝y0或x＝yC)．

5－2x05－2x05－2x05－2x0－3y0x2

9(1－5－2x04yy3y3y29

kABkAC＝ ．

4x0－28－5x0x0－2x0＋2x0－4x0－4

25－2x09

显然kAB＝kAP,kAC＝kAQ，所以kAPkAQQ(m,y1)

4m－2yym－2m－2

kFQ＝ AQ，同理kFP＝ k．

m－1m－2m－1m－1m－1APm－229m－22

所以kFP kFQ＝(kAPkAQ＝－(＝－1,

4m－1m－1m－22

又m＞2，所以，所以m＝4．

m－13

18．(本小题满分15分)

如图，折线AOB为一条客机的飞行航线，其中OA,OB夹角为

2

．若一架客机沿A O B3

方向飞行至距离O点90km处的点C时，发现航线转折点O处开始产生一个圆形区域的高压气旋，高压气旋范围内的区域为危险区域（含边界）．为了保证飞行安全，客机航线需临时调整为CD．若CD与OA的夹角为 ，D在OB上．已知客机的飞行速度为15km/min． （1）当飞机在临时航线上飞行t分钟至点E时，试用t和 表示飞机到O点的距离OE； （2）当飞机在临时航线上飞行t分钟时，

高压气旋半径r 3，且半径增大到81km时

不再继续增大．若CD与OA的夹角 飞行．

【命题立意】本题旨在考查解三角形。

且解决问题的能力，难度中等。 【解析】

4

，试计算飞机在临时航线CD上是否能安全

（1）在 COE中，OC 90,CE

15 t,O C E，由余弦定理可知：

OE2 OC2 CE2 2OC CEcos 225t2 2700tcos 8100，则

OE

（2）在 OCD中，OC 90, DOC

2 2 , ODC 3 43

,由正弦定理 12

CDOC

得CD 45，则飞机在临时航线CD

上飞行总时间为

sin DOCsin

ODC

4515

而r 3 81 t 9，所以

2232

①当0 t

9时，r OE 9t 25t 900，设

f

t t3 25t2 900，则f

t 3t2 50t

502 4 3 0 f t 0 f t 在0 t 9时增，而

f

9 93 2592 9 900 0，所以OE2 r2，即这段时间能安全通过；

②当9 t

OE r 81，设

g

t t2

36在9 t g

9 92 9 36 0，则 g 9 0，所以OE r，即这段时间也能安全通过；

答：(1)飞机到O

点的距离为OE ;

(2)飞机在临时航线CD上能安全飞行。 【易错警示】（1）已知两边和其中一边对角时，容易错用正弦定理 。

19．(本小题满分16分)

在数列 an 中，an+3=an+3n N,a1 1，Sn是其前n项和．记

bn na 0,c 0,c 1 ．

（1）设数列 a3n 2 n N的前n项和为Tn，求Tn的表达式；

（2）若S15 15a8 120，证明： an 为等差数列；

（3）若数列 bn 为等比数列，求数列 an 的通项公式，并求此时实数a的值．

【命题立意】本题旨在考查数列的通项公式和数列的求和。考查转化和化归思想和分类讨论的思想，要求较扎实的运算能力难度中等。

【解析】（1）由an+3=an+3n N得a3n 1 a3n 2=3n N，即数列 a3n 2 n N为

n n 1 31

3 n2 n； 222

（2）由S15 15a8 120得：a8 8，而an+3=an+3 n N ，所以a2 a8 6 2

公差为3等差数列，且首项a1 1，所以Tn n 1

且S15 5 a1 a2 a3 10 3 120 a1 a2 a3 6进而a1 1,a3 3，所以再由

an+3=an+3 n N 可知：a3n a3 3 n 1 3n，同理：

a3n 1 a2 3 n 1 3n 1,a3n 2 a1 3 n 1 3n 2,a3n 1 a1 3n 3n 1,所以a3n an3 an3 an3 an ,即an 1 an 1 n N ，所以 an 为 nn N1-131a

等差数列； （3

）bn 定

nSn 1 aSn a

bn 1

n 1 an a

为a 0,c 0,c 1 且数列 bn 为等比数列，所以b c

n

值即

Sn 1 aSn a n a Sn 1 a n 1 a Sn a n a an 1 Sn a 为定n 1 an an 1 an an 1 an a n a an 1 Sn a n aa S a n 1 an a

n 1 n 值设为 ，即

n 1 an a（*），当n 2时 n 1 a an Sn 1 a n a n 1 a （**） （*）（**）相减得： n a an 1 an 2n 2a （*）对n 2恒成立，所以

an 1 an 2 ，而

an+3 an=3 6

1

，所以an 1 an 2 n 2 ，而 2

a4 a1 3 4 a2 a4 2 2 a2 a1 1，所以 an 为首项为1，公差为1的等差数

列，进而an n,Sn

n n 1

代入（*）可得a2 a 0，而a 0，所以a 0。 2

20．(本小题满分16分)

已知函数f x ax 3a 1 x 2a 1 ，其中a R，g x lnx．

2

x

（1）若a 0且函数F x e f x ．

①求函数y F x 的极值；

②求函数y F x eg x b (b为常数)的单调区间；

（2）求所有实数a的值，使得函数G x g x f x 同时具备如下的两个性质： （i） 对于任意实数x1,x2 (0,1)且x1 x2，

G(x1) G(x2)x x

G(12)恒成立；

22G(x1) G(x2)x x

（ii）对于任意实数x1,x2 (1, )且x1 x2， G(12) 恒成立．

22

【命题立意】本题旨在考查导数的应用和恒成立问题。考查函数和方程思想，转化和化归思

想和分类讨论的思想，高超的运算能力。难度较大。 【解析】（1）

①因为F x xex，所以当x＞0时，F x 0；当x＜0时，F x 0． 因此F(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减， 所以F(x)有极小值为f (0)＝－1，无极大值． ②h(x)＝F(x)＋e∣g(x)－a∣＝(x－1)ex＋e∣lnx－a∣．

e

当x≥ea时，h(x)＝(x－1)ex＋e(lnx－a)，h (x)＝xex＋0恒成立，h(x)在(ea，＋∞)上单

x

调递增，

ee

当0＜x≤ea时，h(x)＝(x－1)ex＋e(a－lnx)，h (x)＝xex－[h (x)] ＝(x＋1) ex＞0恒成

xx

立．所以h (x)在(0，ea]上单调递增，而h (1)＝0． 因此当a≤0时，h (x)≤0恒成立．

当a＞0时，当x∈(0，1)时，h (x)＜0；当x∈[1，ea]时，h (x)≥0． 综上有：当a≤0时，h(x)减区间为(0，ea]，增区间为(ea，＋∞)． 当a＞0时，h(x)减区间为(0，1)，增区间为[1，＋∞)． （2）G x g x f x lnx ax2 (3a 1)x (2a 1)

令H(x1,x2)

G(x1) G(x2)x x

G(12)

22

x xx x1a2

(lnx1 lnx2) ln(12) (x12 x2) a(12)2 2222

a1 (x1 x2)2 2

(x1 x2) ln 。 42 4x1x2

先证明：lnx x 1 0对任意x (0,1) (1, )恒成立，即

lnx x 1 （*）恒成立．

设y lnx x 1 x 0,x 1 ，y

11 x1 x

1 ，而y 在 0,1 上正，xxx

1, 上负，所以y lnx x 1 x 0,x 1 在 0,1 上增， 1, 上减，则

y lnx x 1 ln1 1 1 0

(x1 x2)2(x1 x2)2

1 1． （ⅰ）如果x1,x2 (0,1)，且x1 x2，则

4x1x24x1x2

(x1 x2)2 (x1 x2)2a1(x1 x2)22

根据（*）可得ln ,H(x1,x2) (x1 x2) ．

424xx4x1x212 4x1x2 a1(x1 x2)22

若G(x)满足性质①，则(x1 x2) H(x1,x2) 0恒成立,

424x1x2

于是

a11

对任意x1,x2 (0,1)且x1 x2恒成立，所以a ． 48x1x22

4x1x(1x 2x)22

（ⅱ）如果x1,x2 (1, )且x1 x2，则0 根据（*） 1 1．

(x1 x2)2(x1 x2)2

4x1x2 (x1 x2)2 (x1 x2)2(x1 x2)2

可得ln ln 2 22

(x1 x2) (x1 x2) 4x1x2 (x1 x2)a1(x1 x2)22

则H(x1,x2) (x1 x2) ．若G(x)满足性质②，则

42(x1 x2)2

a1(x1 x2)22

(x1 x2) H(x1,x2) 0恒成立． 242(x1 x2)

于是

a11

x,x (1, )x x对任意且恒成立，所以． a 121242(x1 x2)22

综合（ⅰ）（ⅱ）可得，a

1

． 2

1

，并证明满足性质，可得部分分，因为未从2

注：若由凹凸性，借助二次导数为0解得a 初等解法说明a取值的唯一性。

江苏省靖江高级中学高三数学最后一卷2015.5

数学II(附加题)

21．本题包括高考A，B，C，D四个选题中的B，C 两个小题，每小题10分，共20分． 把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1几何证明选讲

如图，圆内接四边形ABCD，AB,DC交于点P，且求证：AD .

B．选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵M

PB1PC1

，

PA2PD3

1 2 m 1 2 ，且 M n n 1

【命题立意】本题旨在考查矩阵与变换。考查运算能力。难度较小。 【解析】设M 1

ab 12 ab a 2cb 2d 10 1

，由得MM

cd 13 cd a 3cb 3d 01

a 2c 1 a 3

b 2d 0 b 2

3 2 1

解得 ，即M ，

11a 3c 0c 1

b 3d 1 d 1

而

m 6 2n m 3 2 2 6 2n 1 2 ，所以解得m 4,n 1 M

n 2 n n n 11 n 2 n

所以m n 5。

C．选修4—4：极坐标与参数方程

已知曲线C的极坐标方程为 2 2m cos 2 sin 1 0（m为常数），直线l的参 x 2 3t,

(t为参数)，数方程为 若直线l与曲线C交于两点A,B，且AB 求m的

y 2 4t

值．

【命题立意】本题旨在考查极坐标与参数方程。考查运算能力。难度中等。

【解析】：曲线C极坐标方程化为普通方程为x y 2mx 2y 1 0，表示圆心为

2

2

m, 1 l的参数方程化为普通方程为4x 3y 2 0，直

4m 解得m 1或

5

线l与圆C相交弦AB d

1 9

D．选修4—5：不等式选讲

设a,b,c

都是正数，且a2 b2 c2 2b c 16，求b c值.

a

22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 如图，平行四边形ABCD所在平面与直角梯形ABEF所在平面互相垂直， 且AB BE

1

AF 1,BE//AF，AB AF, CBA ,BC 2,P为 23

DF中点．

⑴求异面直线DA与PE所成的角；

⑵求平面DEF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的余弦值． 【命题立意】本题旨在考查空间向量在立体几何中的应用。 考查逻辑思维能力，转化和化归能力，运算能力，难度中等。 【解析】在 ABC中，AB 1, CBA

2

2

2

3

,BC 2，

所以AC BA BC 2BA BCcos CBA 3

222

所以AC BA BC，所以AB AC

又因为平面ABCD 平面ABEF，平面ABCD 平面ABEF AB，

AC 平面ABCD，所以AC 平面ABEF

如图，建立空间直角坐标系{AB,AF,AC}，则

1A(0,0,0),B(1,0,0),CD( E(1,1,0),F(0,2,0),P(

2 3 ⑴DA (1,0,PE (,0,2

DA PE| |设异面直线DA与PE所成的角为

，则cos | |

2|DA| |PE|所以异面直线DA与PE所成的角为

； 6

⑵AF (0,2,0)是平面ABCD的一个法向量，

设平面DEF的一个法向量n (x,y,z)，DE (2,1,DF (1,2,

n DE (x,y,z) (2,1, 2x y 0则 ，

n DF (x,y,z) (1,2, x 2y 0

得z ，取x

1，则y 1,z

故n (1,1是平面DEF的一个法向量，

设平面DEF与平面ABCD所成的二面角（锐角）为 ，

AF n| |则cos | |

|AF| |n|

23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

若数列{an}满足a1＝1，且 (an＋1－an)2＝(n＋1)4（n∈N*）.

（1）若存在正整数m满足am＝15，求m的最小值；

（2）对于任意正整数c，试判断是否存在数列{an}(n∈N*)和正整数p，满足ap＝c.并说

明理由。 【命题立意】本题旨在考查数列求值。考查分类讨论的思想，要求缜密的逻辑思维能力和高超的运算能力，难度较大。

24

【解析】（1）由(an＋1－an)＝(n＋1)知an 1 an n 1 ，且a1 1，所以

2

an 1 22 32 n2，因为am＝15，当m 3时， am max 1 22 32 14，不可能，

而m 4时a4 1 22 32 42的所有对应值为 28, 20, 10, 2,4,12,22,30，所以

m 4，而m 5时，a5 1 22 32 42 52 15，所以m的最小值为5；

2

（2）因为n n 1 n 2 n 3 4，

①当c 4k 1k N时，因为a1 1，取p 1 4kk N，

2

2

2

2222 4k 2 2 4k 1 2 4k 2 4k 1 2 4k 1 ap a1 2 3 4 5 +

②当

c 4k 2 k N

时，令

a7 1 22 32 42 52 62 72 2

，

p 7 4k k N ，

2222 4k 4 2 4k 5 2 4k 6 2 4k 7 2 4k 7 ap a7 8 9 10 11 +

③当c 4k 3k N时

令

a17 1 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132 142 152 162 172 3

，取p 17 4kk N，

2222 4k 10 2 4k 11 2 4k 12 2 4k 13 2 4k 7 ap a17 14 15 16 17 +

④当c 4kk N时，因为

a12 1 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 0，

取p 12 4kk N，

2222 4k 9 2 4k 10 2 4k 11 2 4k 12 2 4k ap a12 13 14 15 16 +

而由上分析可知当c 1,2,3对应的数列和p为a1 1，p 1；

a7 1 22 32 42 52 62 72 2，p 7；

a17 1 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132 142 152 162 172 3

，p 17。

综上可知：对于任意正整数c，存在数列{an}(n∈N*)和正整数p，满足ap＝c.

- 18 -

江苏省靖江高级中学高三数学最后一卷2015．5

数学Ⅰ 必做题部分参考答案

一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分． 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

9

； 4． 2； 10

11

5． 80； 6． ； 7．

； 8． ；

22

9．

； 10．

； 11． 3；

1． 2,4 ； 2 ． 2 3i； 3． 12． 9, 8,0,1 ； 13． [

二．解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．(本小题满分14分)

证明：（1）连接DE,M,N分别是AE,AD的的中点

622

,]； 14． 3 33

MN//DE，

而MN 平面BCD，ED 平面BCD, 所以MN//平面BCD；

（2）侧面 ABC底边BC上的高为AE即BC AE，

又因为平面ABC 平面ADM且平面ABC 平面ADM AE，BC 平面BCD,

所以BC 平面ADM,而AD 平面ADM,

所以AD BC

16．(本小题满分14分)

，得a b cos cos sin sin cos

cos ； 66 43（2）a b cos ，所以sin

5533

当sin 时，tan ，

54

1 tan 1

tan tan 2 tan ；

4 1 tan 7

33

同理当sin 时，tan ，tan 7；

54

解：（1）由

综上：tan 的值为7或

1。 7

17．(本小题满分15分)

19

解：（1）＝1,a2－b2＝1,解之得a2＝4，b2＝3，

a4bx2y2

＝1；

43

y（2）法一：设B(x0，y0)，则BC：y＝(x－1)，

x0－1yy＝x－1)，x0－1xy

与椭圆E：＝1联立方程组：

43x2y2

1．43

2

2

8－5x0－3y08－5x0－3y0

解得x＝x0，y＝y0或x＝yC)．

5－2x05－2x05－2x05－2x0－3y0x02

9(1－5－2x04yy3y3y29

kABkAC＝ ．

4x0－28－5xx0－2x0＋2x0－4x0－4

25－2x09

显然kAB＝kAP,kAC＝kAQ，所以kAPkAQQ(m,y1)

4m－2yym－2m－2

kFQ＝ AQ，同理kFP＝ k．

m－1m－2m－1m－1m－1APm－229m－22

所以kFP kFQ＝(kAPkAQ＝－(＝－1,

4m－1m－1m－22

又m＞2，所以，所以m＝4．

m－13

法二：直线AC,AB斜率存在，分别设为k1,k2。

x2y2

则直线AC方程：y k1 x 2 与椭圆E：＝1联立方程得：

43

8k12 6

3 4k1 x 16kx 16k 12 0，有一根为x 2，则另外一根为x 2，所

4k1 3

2

21

21

8k12 6 12k1 12k1 12k2

以点C 2，同理kBF ，由,2 ，进而kCF 22

4k1 94k2 9 4k1 34k1 3

kCF

9 12k1 12k2

k k k 得①。 12BF2

44k12 94k2 9

直线AC方程：y k1 x 2 与x m联立得Qm,k1 m 2 ，同理Pm,k2 m 2 ,

22

由FP⊥FQ得：FP FQ 0即 m 1 k1k2 m 2 0，结合①，且m＞2解得

m 4。

18．(本小题满分15分)

解：（1）在 COE中，OC 90,CE 15t ,OC E，由余弦定理可知：

22OE OC

2

C E2

OCcCo sE 2

22 5t270 0 tcos，则

8100

OE

（2）在 OCD中，OC 90, DOC

2 2 , ODC 3 43

,由正弦定理 12

CDOC

得CD 45，则飞机在临时航线CD

上飞行总时间为

sin DOCsin

ODC

4515

而r 3 81 t 9，所以

2232

①当0 t

9时，r OE 9t 25t 900，设

f

t t3 25t2 900，则f

t 3t2 50t

502 4 3 0 f t 0 f t 在0 t 9时增，而

f

9 93 2592 9 900 0，所以OE2 r2，即这段时间能安全通过；

②当9 t

OE r 81，设

g

t t2

36在9 t g

9 92 9 36 0，则 g 9 0，所以OE r，即这段时间也能安全通过；

答：(1)飞机到O

点的距离为OE ;

(2)飞机在临时航线CD上能安全飞行。

19．(本小题满分16分)

解：（1）由an+3=an+3n N得a3n 1 a3n 2=3n N，即数列 a3n 2 n N为公

差为3等差数列，且首项a1 1，所以Tn n 1

n n 1 31

3 n2 n； 222

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