九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法

类型一：an?1?pan?q（p?1）

思路1（递推法）：an?pan?1?q?p(pan?2?q)?q?p??p?pan?3?q??q???q? ……?pn?1a1?q(1?p?p2?…?pn?2?q?qn?1。 )??a1??p??p?11?p??思路2（构造法）：设an?1???p?an???，即??p?1??q得??qp?1，数列

?an???是以a1??为首项、p为公比的等比数列，则an??q?n?1qan??a1?p?。 ?p?11?p???q?n?1??a1??p，即p?1?p?1?q例1 已知数列?an?满足an?2an?1?3且a1?1，求数列?an?的通项公式。 解：方法1（递推法）：

an?2an?1?3?2(2an?2?3)?3?2??2?2an?3?3??3???3?……?2n?1?3(1?2?2?…?22n?23?n?13?n?1)??1??2??2?3。 ?2?1?1?2?方法2（构造法）：设an?1???2?an???，即??3，?数列?an?3?是以a1?3?4n?1n?1n?1为首项、2为公比的等比数列，则an?3?4?2?2，即an?2?3。

1

类型二：an?1?an?思路1（递推法）：

f(n)

an?an?1?f(n?1)?an?2?f(n?2)?f(n?1)?an?3?f(n?3)?f(n?2)?f(n?1)?…?a1??f(n)。

i?1n?1思路2（叠加法）：an?an?1?f(n?1)，依次类推有：an?1?an?2?f(n?2)、

n?1an?2?an?3?f(n?3)、…、a2?a1?f(1)，将各式叠加并整理得an?a1??i?1f(n)，即

n?1an?a1??i?1f(n)。

例2 已知a1?1，an?an?1?n，求an。

解：方法1（递推法）：an?an?1?n?an?2?(n?1)?n?an?3?(n?2)?(n?1)?n?

n……?a1?[2?3?…?(n?2)?(n?1)?n]??i?1n?n(n?1)2。

方法2（叠加法）：an?an?1?n，依次类推有：an?1?an?2?n?1、an?2?an?3?n?2、…、

nnna2?a1?2，将各式叠加并整理得an?a1??i?2n，an?a1??i?2n??i?1n?n(n?1)2。

2

类型三：an?1?思路1（递推法）：

f(n)?an

an?f(n?1)?an?1?f(n?1)?f(n?2)?an?2?f(n?1)?f(n?2)?f(n?3)?an?3?…

?f(1)?f(2)?f(3)?…?f(n?2)?f(n?1)?a1。

思路2（叠乘法）：

anan?1a2a1?f(n?1)，依次类推有：

an?1an?2ana1?f(n?2)、

an?2an?3?f(n?3)、…、?f(1)，将各式叠乘并整理得?f(1)?f(2)?f(3)?…

?f(n?2)?f(n?1)，即an?f(1)?f(2)?f(3)?…?f(n?2)?f(n?1)?a1。

例3 已知a1?1，an?an?1，求an。

n?1n?1n?1n?2n?1n?2n?3an?1??an?2???an?3?… 解：方法1（递推法）：an?n?1n?1nn?1nn?1n?1?2n(n?1)。

方法2（叠乘法）：anan?1?n?1n?1ana1，依次类推有：an?1an?2?n?2n、an?2an?3?n?3n?1、…、a3a2?24、

a2a1?13，将各式叠乘并整理得?21n?1n?2n?3???…??，即

43n?1nn?1an?n?1n?2n?3212???…???。 n?1nn?143n(n?1)

3

类型四：an?1?pan?qan?1

思路（特征根法）：为了方便，我们先假定a1?m、a2?n。递推式对应的特征方程?p?为x2?px?q，当特征方程有两个相等实根时， an??cn?d?????2?n?1(c、d为待定系

数，可利用a1?m、a2?n求得)；当特征方程有两个不等实根时x1、x2时，

an?ex1n?1?fx2n?1(e、f为待定系数，可利用a1?m、a2?n求得)；当特征方程的根

为虚根时数列?an?的通项与上同理，此处暂不作讨论。

例4 已知a1?2、a2?3,an?1?6an?1?an,求an。

解：递推式对应的特征方程为x2??x?6即x2?x?6?0，解得x1?2、x2??3。

n?1n?1设an?ex1?fx2，而a1?2、a2?3，即

9?e???e?f?29n?11?5n?1a??2??(?3)。 ，解得，即??n55?2e?3f?3?f?1?5?

4

类型五：an?1?pan?rqn （p?q?0）

?an?1????????n?1?，则nq?q?an思路（构造法）：an?pan?1?rqn?1，设

???q?p?nn?1???1q?rq????p????q?ar?a1r?，从而解得?。那么?n是以为首项，???nqp?qrqp?q??????p?q?pq为公比的等比数列。

例5 已知a1?1，an??an?1?2n?1，求an。

1?????1???a2，解得?，??n??n123???????3?n?1??2???1?an?1?解：设n?????n?1???，则?nn?1???12?222??????an1?1?是以??为首项，为公比的等比数列，即n?????2362236?2?1111an1，?an?2?13n。

类型六：an?1?pan?f(n) （p?0且p?1）

，递推式两边同时除以p得

n)1思路（转化法）：an?pan?1?f(n?anpn?an?1pn?1?f(n?1)pn，我们令

anpn?bn，那么问题就可以转化为类型二进行求解了。

n?1例6 已知a1?2，an?1?4an?2，求an。

n解：an?4an?1?2，式子两边同时除以4n得

an4n?an?14n?1an?1????，令n?bn，则

4?2?n 5

bn?bn?1?1??1????，依此类推有bn?1?bn?2????2??2?2nnnn?1、bn?2?bn?3?1?????2?n?2、…、

?1?b2?b1???，各式叠加得bn?b1??2?n?i?2?1???，即?2?nnbn?b1??i?2n1?1?????22??nnn?i?2?1?????2?nn?i?1?1??1??1????? ?2??2?n??1??nn?an?4?bn?4??1?????4?2。

?2?????类型七：an?1?panr （an?0）

思路（转化法）：对递推式两边取对数得logman?1?rlogman?logmp，我们令

bn?logman，这样一来，问题就可以转化成类型一进行求解了。

2例7 已知a1?10，an?1?an，求an。

2解：对递推式an?1?an左右两边分别取对数得lgan?1?2lgan，令lgan?bn，则

bn?1?2bn，即数列?bn?是以b1?lg10?1为首项，2为公比的等比数列，即bn?2n?1，

因而得an?10bn?102n?1。

c?anpan?d类型八：an?1?（c?0） 1an?1pan?dc?an1an?1d1pc思路（转化法）：对递推式两边取倒数得?，那么?can??，

令bn?1an，这样，问题就可以转化为类型一进行求解了。

例8 已知a1?4，an?1?2?an2an?1，求an。

6

解：对递推式左右两边取倒数得

1212121an?1?2an?12an即

1an?1?12an?1?1，令

1an14?bn则

74bn?1?bn?1。设bn?1????bn???，即???2，?数列?bn?2?是以

72n?1?2??为

首项、

为公比的等比数列，则bn?2??a?an?bc?an?d，即bn?2n?2?72n?1，?an?22n?1n?2?7。

类型九： an?1?（c?0、ad?bc?0） ax?bcx?d思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为x?即cx2?(d?a)x?b?0。当

???为等差数列，我?????1?1特征方程有两个相等实根x1?x2??时，数列?即??a?da???n??an?2c?们可设

1an?1?a?d2c?an?1a?d2c；当特征方程??（?为待定系数，可利用a1、a2求得）

?a?x1?a1?x1有两个不等实根x1、x2时，数列?n是以为首项的等比数列，我们可设?a1?x2?an?x2??a1?x1?n?1??；当特征方程???（?为待定系数，可利用已知其值的项间接求得）

an?x2?a1?x2?an?x1的根为虚根时数列?an?通项的讨论方法与上同理，此处暂不作讨论。

例9 已知a1?12， an?4an?1?3an?1?2（n?2），求an。

4x?3x?22解：当n?2时，递推式对应的特征方程为x?即x?2x?3?0，解得

?a?1?a1?x12x1??1、x2?3。数列?n???1为首项的等比数列，设是以?a1?x2?2?an?3?an?1an?3

???1???n?1，由a1?12得a2?2则?3???，???3，即

an?1an?3???1??3n?1，

7

?1,n?1n?3?1?2从而an?n?1，?an??n。

3?1?3?1,n?2n?1??3?1

8

常见递推数列通项公式的求法

重、难点：

1. 重点：

递推关系的几种形式。

2. 难点：

灵活应用求通项公式的方法解题。

【典型例题】

[例1] an?1?kan?b型。

（1）k?1时，an?1?an?b?{an}是等差数列，an?b?n?(a1?b) （2）k?1时，设an?1?m?k(an?m) ∴ an?1?kan?km?m

m?bk?1

bk?1 bk?1n?1比较系数：km?m?b ∴

{an?b}∴

k?1是等比数列，公比为k，首项为bk?1bk?1n?1a1?∴

an??(a1?)?k ∴

an?(a1?)?k?bk?1

[例2] an?1?kan?f(n)型。

（1）k?1时，an?1?an?f(n)，若f(n)可求和，则可用累加消项的方法。

an?1?an?1n(n?1)求{an}的通项公式。

例：已知{an}满足a1?1，解：

an?1?an?1n(n?1)1n?11n

?1n?1n?1

1n?2?1n?1

∵

∴

an?an?1??an?1?an?2? 9

an?2?an?3?121n?313

?1n?2……

12

1n ∴

an?2?1n

a3?a2??a2?a1?1?对这（n?1）个式子求和得：

an?a1?1?（2）k?1时，当f(n)?an?b则可设an?1?A(n?1)?B?k(an?An?B) ∴ an?1?kan?(k?1)An?(k?1)B?A

?(k?1)A?abaaB???A?2(k?1)B?A?bk?1(k?1) ?k?1，∴ 解得：

∴ {an?An?B}是以a1?A?B为首项，k为公比的等比数列 ∴ an?An?B?(a1?A?B)?k∴ an?(a1?A?B)?kn?1n?1

?An?B 将A、B代入即可

n（3）f(n)?q（q?0，1）

an?1等式两边同时除以qCn?anqnn?1得qkqn?1?kqq?ann?1q

令 则

Cn?1?Cn?1q ∴ {Cn}可归为an?1?kan?b型

[例3] an?1?f(n)?an型。

（1）若f(n)是常数时，可归为等比数列。

（2）若f(n)可求积，可用累积约项的方法化简求通项。

13，

2n?12n?1例：已知：

a1?an?an?1（n?2）求数列{an}的通项。

10

an?an?1?an?2an?332n?1解：an?1an?2?a3a2?a2a11?2n?12n?32n?5533?????2n?12n?12n?3752n?1

∴

an?a1??2n?1

an?k?m?an?1m?an?1型。

1?k(1an?1?1)1?k?1an?1?km

[例4]

考虑函数倒数关系有anCn?1m ∴ an令 练习：

an 则{Cn}可归为an?1?kan?b型。

1. 已知{an}满足a1?3，an?1?2an?1求通项公式。 解：

设an?1?m?2(an?m) an?1?2an?m ∴ m?1 ∴ {an?1?1}是以4为首项，2为公比为等比数列 ∴ an?1?4?2n?1 ∴ an?2n?1?1

*2. 已知{an}的首项a1?1，an?1?an?2n（n?N）求通项公式。

解：

an?an?1?2(n?1) an?1?an?2?2(n?2) an?2?an?3?2(n?3)…… a3?a2?2?2

?a2?a1?2?1

2an?a1?2[1?2???(n?1)]?n?n

11

∴ an?n?n?1

an?1?nn?2an23. 已知{an}中，解： an?an?1?且a1?2求数列通项公式。

an?2?a3?a2?n?1n?2n?3n?4212??????an?1an?2an?3a2a1n?1nn?1n?243an?24∴ a1n(n?1)a ∴

n?n(n?1)

n?1a2?ann?1?4. 数列{an}中，2n?1?an，a1?2，求{an}的通项。

解：

12n?1?an1a?n?1?1n?12an ∴ an?1a?1?1n2n

bb1n?1设an?1?bn?2n?1bn?bn?1?1n ∴

∴ 2n

b1∴

n?bn?1?2n

b1n?1?bn?2?2n?1

b1n?2?bn?3?2n?2……

b13?b2?23

?bb

2?1?122

112[1?()n?1]?2211b?1111?2?2n n?b122?23???2n1?2

12

n(n?1)

bn?12?12n∴

?12?2?12nn ∴

an?12an?2nn2?1

5. 已知：a1?1，n?2时，解：

an?An?B?121212an?1?2n?1，求{an}的通项公式。

设

[an?1?A(n?1)?B]1212

an?an?1?An?A?B

????????∴ ?121A?21?A??4?A?B??122 解得：?B?6 ∴ a1?4?6?3

1∴ {an?4n?6}是以3为首项，2为公比的等比数列

1n?13an?4n?6?3?()an?n?1?4n?622∴ ∴

【模拟试题】

1. 已知{an}中，a1?3，an?1?an?2，求an。

2. 已知{an}中，a1?1，an?3an?1?2（n?2）求an。

13

n

n3. 已知{an}中，a1?1，an?2an?1?2（n?2）求an。

an?4?4an?1（n?2）求an。

4. 已知{an}中，a1?4，

5. 已知{an}中，a1?1，其前n项和Sn与an满足

{1an?2Sn22Sn?1（n?2）

}S（1）求证：n为等差数列 （2）求{an}的通项公式

6. 已知在正整数数列{an}中，前n项和Sn满足

?Sn?18(an?2)2

12 （1）求证：{an}是等差数列 （2）若bnan?30求{bn}的前n项和的最小值

14

1. 解：

nn?1由an?1?an?2，得an?an?1?2

∴ an?an?1?2n?1 ……

an?1?an?2?2n?2?a2?a1?2

n?1∴

an?a1?2(1?2)1?2?2?2n ∴ an?2?2?a1?2?1

nn2. 解：

由an?3an?1?2得：an?1?3(an?1?1)

an?1?3∴ an?1?1 即{an?1}是等比数列

n?1an?1?(a1?1)?3 ∴ an?(a1?1)?3n?1?1?2?3n?1?1

3. 解：

n由an?2an?1?2得2nan?an?12n?1?1∴ 2{an}nan成等差数列，2n?12?(n?1) ∴

an?n?2?2nn?1

4. 解： an?1?2?2?4an1an?212?2(an?2)an?12（n?1）设

1 ∴ an?1?2bn??an2(an?2)?12?1an?2（n?1）

1∴ an?1?2?1an?2

即

bn?1?bn?(n?1)

1?1a1?215

∴ {bn}是等差数列 ∴ an?2

?(n?1)?12?n2

an?2n?2

5. 解：

Sn?Sn?1?2Sn2（1）

1Sn?1Sn?1?22Sn?1 ∴ Sn?1?Sn?2SnSn?1

{ ∴

}Sn是首项为1，公差为2的等差数列

11∴ Sn?2n?1

2(12n?112n?1)2（2）

Sn?12n?1 ∴

an?2???1?24n?8n?32(n?2)

n?1(n?2)?1?an???2?2?4n?8n?3又 ∵ a1?1 ∴

6. 解：

a1?S1?18(a1?2)2（1）

∴ a1?2

18(an?2)?2n?2时，

an?Sn?Sn?1?18(an?1?2)2

整理得：(an?an?1)(an?an?1?4)?0

∵ {an}是正整数数列 ∴ an?an?1?0 ∴ an?an?1?4 ∴ {an}是首项为2，公差为4的等差数列 ∴ an?4n?2

bn?12(4n?2)?30?2n?31（2）

∴ {bn}为等差数列 ∴ Sn?n?30n

2∴ 当n?15时，Sn的最小值为15?30?15??225

2 16

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/x753.html