2014年考研数学一真题与解析

2014年考研数学一真题与解析

一、选择题

1—8小题．每小题4分，共32分．

１．下列曲线有渐近线的是

（A）y x sinx

（B）y x sinx

2

2

（C）y x sin

1x

（D）y x sin

1x

【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以．【详解】对于y x sin应该选（C）

2．设函数f(x)具有二阶导数，g(x) f(0)(1 x) f(1)x，则在[0,1]上（

（A）当f'(x) 0时，f(x) g(x)（C）当f (x) 0时，f(x) g(x)

）

1y1

，可知lim 1且lim(y x) limsin 0，所以有斜渐近线y x

x xx x xx

（B）当f'(x) 0时，f(x) g(x)（D）当f (x) 0时，f(x) g(x)

【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．

【详解1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点x1,x2及常数0 1，恒有f (1 )x1 x2 (1 )f(x1) f(x2)，则曲线是凸的．显然此题中x1 0,x2 1, x，则(1 )f(x1) f(x2) f(0)(1 x) f(1)x g(x)，而

f (1 )x1 x2 f(x)，

故当f (x) 0时，曲线是凸的，即f (1 )x1 x2 (1 )f(x1) f(x2)，也就是f(x) g(x)，应该选（C）

【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令

F(x) f(x) g(x) f(x) f(0)(1 x) f(1)x，则F(0) F(1) 0，且F"(x) f"(x)，故当f (x) 0时，曲线是凸的，从而F(x) F(0) F(1) 0，即F(x) f(x) g(x) 0，也就是f(x) g(x)，应该选（C）

３．设f(x)是连续函数，则

（Ａ）（Ｂ）

10

dy

1 y 1 y20

f(x,y)dy

1 x2

dx

010

1x 1

01 x1

f(x,y)dy dx

10 1

00

f(x,y)dyf(x,y)dy

2

1cos sin 0

dx

f(x,y)dy dx

1 x2

(Ｃ）

20

d

1cos sin 0

f(rcos ,rsin )dr d

2

f(rcos ,rsin )dr

（Ｄ）

20

d

1cos sin 0

f(rcos ,rsin )rdr d

1cos sin 0

f(rcos ,rsin )rdr

【分析】此题考查二重积分交换次序的问题，关键在于画出积分区域的草图．【详解】积分区域如图所示

如果换成直角坐标则应该是

1

dx

x2

f(x,y)dy dx

11 x

（A），（B）f(x,y)dy，

两个选择项都不正确；

如果换成极坐标则为

2

d

1cos sin 0

f(rcos ,rsin )rdr d

2

1cos sin 0

f(rcos ,rsin )rdr．

应该选（D）

４．若函数

(x acosx bsinx)

1

1

2

dx min (x acosx bsinx)2dx，则a1cosx b1sinx

a,b R

（Ａ）2sinx

2

（Ｂ）2cosx（Ｃ）2 sinx（Ｄ）2 cosx

23 22

【详解】注意 xdx ， cosxdx sinxdx ， xcosxdx cosxsinxdx 0，

32

xsinxdx 2 ，

所以

23 22

(x acosx bsinx)dx (a b2) 4 b

32

2

2

所以就相当于求函数a b 4b的极小值点，显然可知当a 0,b 2时取得最小值，所以应该选（A）．

a

５．行列式

0ca0c0b00b

等于d00d

（A）(ad bc)

2

2

2

（B） (ad bc)

2

2

2

2

（C）ad bc【详解】

2

（D） ad bc

22

0a0ca0c0b0

a0ba0b

0b

a0d0 b0c0d0

c0dc0d

0d

ad

abab

bccdcd

ad(ad bc) bc(ad bc) (ad bc)2

应该选（B）．

6．设 1, 2, 3是三维向量，则对任意的常数k,l，向量 1 k 3， 2 l 3线性无关是向量 1, 2, 3线性无关的

（A）必要而非充分条件（C）充分必要条件

【详解】若向量 1, 2, 3线性无关，则

（B）充分而非必要条件（D）非充分非必要条件

10

（ 1 k 3， 2 l 3） ( 1, 2, 3) 01 ( 1, 2, 3)K，对任意的常数k,l，矩阵K的秩都等

kl

于2，所以向量 1 k 3， 2 l 3一定线性无关．

1 0 0

而当 1 0 , 2 1 , 3 0 时，对任意的常数k,l，向量 1 k 3， 2 l 3线性无关，但

0 0 0

． 1, 2, 3线性相关；故选择（A）

7．设事件A，B想到独立，P(B) 0.5,P(A B) 0.3则P(B A) （

（A）0.1

（B）0.2

（C）0.3

（D）0.4

）

【详解】P(A B) 0.3 P(A) P(AB) P(A) P(A)P(B) P(A) 0.5P(A) 0.5P(A)．所以P(A) 0.6，P(B A) P(B) P(AB) 0.5 0.5P(A) 0.2．故选择（B）．

8．设连续型随机变量X1,X2相互独立，且方差均存在，X1,X2的概率密度分别为f1(x),f2(x)，随机变量Y1的概率密度为fY1(y)

11

(f1(y) f2(y))，随机变量Y2 (X1 X2)，则22

（A）EY1 EY2,DY1 DY2（C）EY1 EY2,DY1 DY2

（B）EY1 EY2,DY1 DY2（D）EY1 EY2,DY1 DY2

1 1

【详解】EY1 y(f1(y) f2(y))dy EX1 EX2 E(Y2)，

2 2EY12

1 21122

，y(f(y) f(y))dy EX EX1212 222

DY1 E(Y12) E2(Y1)

111112

EX12 EX2 E2(X1) E2(X2) E(X1)E(X2)22442111112

D(X1) D(X2) E X1 X2 D(X1) D(X2) DY2

44444

故应该选择（D）．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）

9．曲面z x(1 siny) y(1 sinx)在点(1,0,1)处的切平面方程为

2

2

2

2

．

【详解】曲面z x(1 siny) y(1 sinx)在点(1,0,1)处的法向量为zx,zy, 1|(1,0,1) (2, 1, 1)，所以切平面方程为2(x 1) ( 1)(y 0) ( 1)(z 1) 0，即2x y z 1 0．10．设f(x)为周期为4的可导奇函数，且f'(x) 2(x 1),x 0,2 ，则f(7) 【详解】当x 0,2 时，f(x)

．

2(x 1)dx x2 2x C，由f(0) 0可知C 0，即

f(x) x2 2x；f(x)为周期为4奇函数，故f(7) f( 1) f(1) 1．

11．微分方程xy' y(lnx lny) 0满足y(1) e的解为

3

．

【详解】方程的标准形式为

3

dyyyy

ln，这是一个齐次型方程，设u ，得到通解为y xeCx 1，将

xdxxx

2x 1

初始条件y(1) e代入可得特解为y xe

2

2

．

12．设L是柱面x y 1和平面y z 0的交线，从z轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分

L

zdx ydz

．

dydzdzdxdxdy

【详解】由斯托克斯公式Pdx Qdy Rdz 可知

L x y z

PQR

L

zdx ydz dydz dzdx dxdy

Dxy

dxdy ．

y z 022

其中 : 2取上侧，Dxy (x,y)|x y 1．2

x y 1

13．设二次型f(x1,x2,x3) x1 x2 2ax1x3 4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围是．【详解】由配方法可知

2

f(x1,x2,x3) x12 x2 2ax1x3 4x2x3

2

(x1 ax3)2 (x2 2x3)2 (4 a2)x3

22

由于负惯性指数为1，故必须要求4 a 0，所以a的取值范围是 2,2 ．

2

2x

, x 2

14．设总体X的概率密度为f(x, ) 3 2，其中 是未知参数，X1,X2, ,Xn是来自总

0,其它

体的简单样本，若C

X

i 1

2

n

2

i

是 的无偏估计，则常数C=

2

【详解】E(X)

2

n

n2 522x5222

所以E 由于C Xi是 的无偏估计，C Xi Cn ，x ， 2

223 i 1 i 1

故Cn

52

． 1，C

25n

三、解答题

15．（本题满分10分）

求极限lim

x

x1

(t(e 1) t)dtx2ln(1 )

x

．

2

1t

【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．【详解】

x1

2

1

(et

dt

x

2

t

1xlim

1

(t 1) t)

lim

1

(t(e 1) t)dt

2

x

x2ln(1 1

x x

limx

(x(e 1) x)

x)

lim x x2(1x 12x2 o(1x2) x 1

216．（本题满分10分）

设函数y f(x)由方程y3

xy2

x2

y 6 0确定，求f(x)的极值．【详解】

解：在方程两边同时对x求导一次，得到

(3y2 2xy x2)y' (y2 2xy) 0，

（１）

即

dy y2 2dx

xy3y2 2xy x2

令

dy

dx

0及y3 xy2 x2y 6 0，得到函数唯一驻点x 1,y 2．在（１）式两边同时对x求导一次，得到

（(6yy' 4y 2xy' 4x)y' (3y2

2xy x2

)y" 2y 0

把x 1,y 2,y'(1) 0代入，得到y"(1)

4

9

0，所以函数y f(x)在x 1处取得极小值y 2．17．（本题满分10分）

2z 2设函数f(u)具有二阶连续导数，z f(ex

cosy)满足x z y

2 (4z excosy)e2x 2

．f(0) 0,f'(0) 0，求f(u)的表达式．

【详解】

设u ex

cosy，则z f(u) f(ex

cosy)，

z

f'(u)excosy 2z

2 x, x

2

f"(u)e2xcosy f'(u)excosy; z y f'(u)esiny, 2 x

z y

2 f"(u)e2xsin2y f'(u)excosy；若

2z 2z2xx2x

f"(u)e f"(ecosy)e x2 y2

2z 2z由条件 2 (4z excosy)e2x，2

x y

可知

f"(u) 4f(u) u

这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．

对应齐次方程的通解为：

f(u) C1e2u C2e 2u其中C1,C2为任意常数．

对应非齐次方程特解可求得为y*

1u．4

故非齐次方程通解为f(u) C1e

2u

1

C2e 2u u．

4

11,C2 ．1616

将初始条件f(0) 0,f'(0) 0代入，可得C1

所以f(u)的表达式为f(u) 18．（本题满分10分）

12u1 2u1

e e u．16164

设曲面 :z x y(z 1)的上侧，计算曲面积分：

22

(x 1)dydz (y 1)dzdx (z 1)dxdy

33

【详解】设 1:

z 1 x y 1

2

2

取下侧，记由 , 1所围立体为 ，则高斯公式可得

1

3322

(x 1)dydz (y 1)dzdx (z 1)dxdy (3(x 1) 3(y 1) 1)dxdydz

(3x2 3y2 7 6x 6y)dxdydz

(3x2 3y2 7)dxdydz

d rdr 2(3r2 7)dz 4

r

2 11

在 1:

z 1

22

x y 1

取下侧上，

33

(x 1)dydz (y 1)dzdx (z 1)dxdy (1 1)dxdy 0， 1

1

所以

33

(x 1)dydz (y 1)dzdx (z 1)dxdy=

33

(x 1)dydz (y 1)dzdx (z 1)dxdy 4

1

19．（本题满分10分）设数列 an , bn 满足0 an （1）证明liman 0；

n

2

,0 bn

2

，cosan an cosbn且级数

b

n 1

n

收敛．

（2）证明级数【详解】

an

收敛． n 1bn

（1）证明：由cosan an cosbn，及0 an

2

,0 bn

2

可得

0 an cosan cosbn

2

，所以0 an bn

2

，

由于级数

b

n 1

n

收敛，所以级数

a

n 1

n

也收敛，由收敛的必要条件可得liman 0．

n

（2）证明：由于0 an

2

,0 bn

2

，

所以sin

an bnan bnb anbn an

,sinn 2222

ancosan cosbn

bnbn

2

2sin

an bnb an

sinn

bn

an bnbn an

222bn anbnb n

bn2bn2bn2

an

收敛．n 1bn

由于级数

bn收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数

n 1

20．（本题满分11分）

1 23 4

设A 01 11 ，E为三阶单位矩阵．

1203

（1）求方程组AX 0的一个基础解系；

（2）求满足AB E的所有矩阵．

【详解】（1）对系数矩阵A进行初等行变换如下：

1 23 4 1 23 4 1 23 4 1001

A 01 11 01 11 01 11 010 2 ，

12 03 1 3 04 31 00 001 3

得到方程组AX 0同解方程组

x1 x4

x2 2x4 x 3x

4 3

1

2

得到AX 0的一个基础解系 1 ．

3 1 x1 x2

（2）显然B矩阵是一个4 3矩阵，设B

x 3 x 4

对矩阵(AE)进行进行初等行变换如下：

y1y2y3y4

z1 z2 z3 z4

1 23 4100 1 2

(AE) 01 11010 01

12 03001 04

00 100 1 23 41

01 11010 010 00 1 3 1 41 001

由方程组可得矩阵B对应的三列分别为

3 1

3

411

00

010 101

1

126 1

2 1 31 3 1 41

x1 2 1 y1 6 1 z1 1 1

xyz 12 321 2 2 2 2 x 1 c1 3 ， y 4 c2 3 ， z 1 c3 3 ， 3 3 3

1 y 0 1 z 0 1 x 0

4 4 4

即满足AB E的所有矩阵为

2 c1

1 2c1B

1 3c1 c

1

其中c1,c2,c3为任意常数．

6 c2

3 2c2 4 3c2

c2

1 c3

1 2c3 1 3c3

c3

21．（本题满分11分）

1

1

证明n阶矩阵

1 1 1 0 01

1 1 0 02

与相似．

1 1 0 0n

1 1 0 01

1 1 0 02

，．B 1 1 0 0n

1

1

【详解】证明：设A

1

分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：

1

E A

1 1 1 1 1 1

( n) n 1，

1 所以A的n个特征值为 1 n, 2 3 n 0；

而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且A~

0

； 0

E B

0 1

0 2

( n) n 1

00 n

所以B的n个特征值也为 1 n, 2 3 n 0；

对于n 1重特征值 0，由于矩阵(0E B) B的秩显然为1，所以矩阵B对应n 1重特征值 0的特征向量应该有n 1个线性无关，进一步矩阵B存在n个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对

角化，且B~

0

0

1 1 0 01

1 1 0 02

与 相似． 1 1 0 0n

1

1

从而可知n阶矩阵

1

22．（本题满分11分）

设随机变量X的分布为P(X 1) P(X 2)

1

，在给定X i的条件下，随机变量Y服从均匀分布2

U(0,i),i 1,2．

（1）求Y的分布函数；（2）求期望E(Y).【详解】（1）分布函数

F(y) P(Y y) P(Y y,X 1) P(Y y,X 2)

P(Y y/X 1)P(X 1) P(Y y/X 2)P(X 2)1

P(Y y/X 1) P(Y y/X 2) 2

当y 0时，F(y) 0；

当0 y 1时，F(y)

11y3y y；222411y11 y ；22242

当1 y 2时，F(y) 当y 2时，F(y) 1．所以分布函数为

,y 0 0

3

y,0 y 1 4

F(y)

1 y,1 y 2 24 1,y 2

3

4,0 y 1 1

（2）概率密度函数为f(y) F'(y) ,1 y 2，

4 ,

0其它

E(Y)

2y33ydy dy ．041441

23．（本题满分11分）

x

1 e ,x 0

设总体X的分布函数为F(x, ) ，其中 为未知的大于零的参数，X1,X2, ,Xn是来

x 0 0,

2

自总体的简单随机样本，

（1）求E(X),E(X)；（2）求 的极大似然估计量．

2

^

（３）是否存在常数a，使得对任意的 0，都有limP n a 0．

n

【详解】（１）先求出总体X的概率密度函数

2x x

e ,x 0

，f(x, )

0,x 0

EX

2

2

2x

2

e

x2

dx

x2

xde

x2

xe

x2

x2

|0

e

x2

dx ；

EX

2x3

e

dx

1

xe

2

dx

2

1

te dt ;

t

（２）极大似然函数为

x2i n n i 1

2n

L( ) f(xi, ) n xie ,xi 0

i 1i 1

0,其它

当所有的观测值都大于零时，LnL( ) nln2

n

lnx

i 1

n

i

nln

x

i 1

1

n

2

i

，

^dlnL( )

令 0，得 的极大似然估计量为

d

x

i 1

n

2i

n

2

；

2

2

（３）因为X1,X2, ,Xn独立同分布，显然对应的X1,X2, ,Xn也独立同分布，又有（１）个可知

1n2

EX ，由辛钦大数定律，可得limP xi EXi 0，

n

ni 1

2

i

由前两问可知，

^

x

i 1

n

2i

n

，EXi ，所以存在常数a ，使得对任意的 0，都有

2

^

limP n a 0．n

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/x6zm.html