数学建模-神经网络

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第十九章神经网络模型

§1 神经网络简介

人工神经网络是在现代神经科学的基础上提出和发展起来的，旨在反映人脑结构及 功能的一种抽象数学模型。自1943 年美国心理学家W. McCulloch 和数学家W. Pitts 提 出形式神经元的抽象数学模型—MP 模型以来，人工神经网络理论技术经过了50 多年 曲折的发展。特别是20 世纪80 年代，人工神经网络的研究取得了重大进展，有关的理 论和方法已经发展成一门界于物理学、数学、计算机科学和神经生物学之间的交叉学科。 它在模式识别，图像处理，智能控制，组合优化，金融预测与管理，通信，机器人以及 专家系统等领域得到广泛的应用，提出了40 多种神经网络模型，其中比较著名的有感 知机，Hopfield 网络，Boltzman 机，自适应共振理论及反向传播网络（BP）等。在这 里我们仅讨论最基本的网络模型及其学习算法。 1.1 人工神经元模型

下图表示出了作为人工神经网络（artificial neural network，以下简称NN）的基本 单元的神经元模型，它有三个基本要素：

（i）一组连接（对应于生物神经元的突触），连接强度由各连接上的权值表示，权 值为正表示激活，为负表示抑制。

（ii）一个求和单元，用于求取各输入信号的加权和（线性组合）。

（iii）一个非线性激活函数，起非线性映射作用并将神经元输出幅度限制在一定范 围内（一般限制在(0,1)或(?1,1)之间）。 此外还有一个阈值k

θ（或偏置k k b = ?θ）。

以上作用可分别以数学式表达出来：

Σ

=

p j k kj j 1

=

u w x

，k k k v = u ?θ，( ) k k y =?v

式中p x , x , , x 1 2 L 为输入信号，k k kp w ,w , ,w 1 2 L 为神经元k 之权值，k u 为线性组合结 果，k

θ为阈值，?(?)为激活函数，k y 为神经元k 的输出。

若把输入的维数增加一维，则可把阈值k

θ包括进去。例如

Σ

=

=

p j k kj j 0

v w x

，( ) k k y =?u

此处增加了一个新的连接，其输入为1 0 x = ?（或+1），权值为k k w =θ0 （或k b ），如 下图所示。

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激活函数?(?)可以有以下几种: （i）阈值函数

??? < ≥ = 0, 0 1, 0 ( ) v v

?v （1）

即阶梯函数。这时相应的输出k y 为

??? < ≥ = 0, 0 1, 0

k k

v v y

k

其中

Σ

=

= ?

p j k kj j k 1

v w x

θ，常称此种神经元为M ?P模型。

（ii）分段线性函数

?? ? ?? ? ? ≤? + ?<< ≥ = 0, 1 (1 ), 1 1 2 1 1, 1 ( ) v v v v

?v （2）

它类似于一个放大系数为1 的非线性放大器，当工作于线性区时它是一个线性组合器， 放大系数趋于无穷大时变成一个阈值单元。 （iii）sigmoid 函数 最常用的函数形式为

1 exp( ) ( ) 1 v v

α ?

+ ? = （3）

参数α>0可控制其斜率。另一种常用的是双曲正切函数

1 exp( ) 1 exp( ) 2

( ) tanh v v v v + ? ?? = ?? ?

??

?= ?（4）

这类函数具有平滑和渐近性，并保持单调性。 Matlab 中的激活（传递）函数如下表所示： 函数名功能

purelin 线性传递函数

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hardlim 硬限幅传递函数

hardlims 对称硬限幅传递函数 satlin 饱和线性传递函数 satlins 对称饱和线性传递函数 logsig 对数S 形传递函数 tansig 正切S 形传递函数 radbas 径向基传递函数

compet 竞争层传递函数

各个函数的定义及使用方法，可以参看Matlab 的帮助（如在Matlab 命令窗口运行 help tansig，可以看到tantig 的使用方法，及tansig 的定义为1

1

( ) 2 2 ? + = e?v

?v ）。

1.2 网络结构及工作方式

除单元特性外，网络的拓扑结构也是NN 的一个重要特性。从连接方式看NN 主要 有两种。

（i）前馈型网络

各神经元接受前一层的输入，并输出给下一层，没有反馈。结点分为两类，即输入 单元和计算单元，每一计算单元可有任意个输入，但只有一个输出（它可耦合到任意多 个其它结点作为其输入）。通常前馈网络可分为不同的层，第i层的输入只与第i ?1层 输出相连，输入和输出结点与外界相连，而其它中间层则称为隐层。 （ii）反馈型网络

所有结点都是计算单元，同时也可接受输入，并向外界输出。

NN 的工作过程主要分为两个阶段：第一个阶段是学习期，此时各计算单元状态不

变，各连线上的权值可通过学习来修改；第二阶段是工作期，此时各连接权固定，计算 单元状态变化，以达到某种稳定状态。

从作用效果看，前馈网络主要是函数映射，可用于模式识别和函数逼近。反馈网络 按对能量函数的极小点的利用来分类有两种：第一类是能量函数的所有极小点都起作 用，这一类主要用作各种联想存储器；第二类只利用全局极小点，它主要用于求解最优 化问题。

§2 蠓虫分类问题与多层前馈网络 2.1 蠓虫分类问题

蠓虫分类问题可概括叙述如下：生物学家试图对两种蠓虫（Af 与Apf）进行鉴别， 依据的资料是触角和翅膀的长度，已经测得了9 支Af 和6 支Apf 的数据如下： Af: (1.24,1.27)，(1.36,1.74)，(1.38,1.64)，(1.38,1.82)，(1.38,1.90)，(1.40,1.70)，

(1.48,1.82)，(1.54,1.82)，(1.56,2.08).

Apf: (1.14,1.82)，(1.18,1.96)，(1.20,1.86)，(1.26,2.00)，(1.28,2.00)，(1.30,1.96). 现在的问题是：

（i）根据如上资料，如何制定一种方法，正确地区分两类蠓虫。

（ii）对触角和翼长分别为(1.24,1.80)，(1.28,1.84)与(1.40,2.04)的3 个标本，用所得 到的方法加以识别。

（iii）设Af 是宝贵的传粉益虫，Apf 是某疾病的载体，是否应该修改分类方法。 如上的问题是有代表性的，它的特点是要求依据已知资料（9 支Af 的数据和6 支

Apf 的数据）制定一种分类方法，类别是已经给定的（Af 或Apf）。今后，我们将9 支

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Af 及6 支Apf 的数据集合称之为学习样本。 2.2 多层前馈网络

为解决上述问题，考虑一个其结构如下图所示的人工神经网络， 激活函数由

1 exp( ) ( ) 1 v v

α ?

+ ? =

来决定。图中最下面单元，即由所示的一层称为输入层，用以输入已知测量值。在 我们的例子中，它只需包括两个单元，一个用以输入触角长度，一个用以输入翅膀长度。 中间一层称为处理层或隐单元层，单元个数适当选取，对于它的选取方法，有一些文献 进行了讨论，但通过试验来决定，或许是最好的途径。在我们的例子中，取三个就足够 了。最上面一层称为输出层，在我们的例子中只包含二个单元，用以输出与每一组输入 数据相对应的分类信息．任何一个中间层单元接受所有输入单元传来的信号，并把处理 后的结果传向每一个输出单元，供输出层再次加工，同层的神经元彼此不相联接，输入 与输出单元之间也没有直接联接。这样，除了神经元的形式定义外，我们又给出了网络 结构。有些文献将这样的网络称为两层前传网络，称为两层的理由是，只有中间层及输 出层的单元才对信号进行处理；输入层的单元对输入数据没有任何加工，故不计算在层 数之内。

为了叙述上的方便，此处引人如下记号上的约定：令s 表示一个确定的已知样品标 号，在蠓虫问题中，s = 1,2,L,15，分别表示学习样本中的15 个样品；当将第s个样 品的原始数据输入网络时，相应的输出单元状态记为Os (i = 1,2) i ，隐单元状态记为

?

) 3 , 2 , 1 ( = j H sj

，输入单元取值记为I s (k = 1,2)

k 。请注意，此处下标i, j,k 依次对应于

输出层、中间层及输入层。在这一约定下，从中间层到输出层的权记为ij w ，从输入层

到中间层的权记为jk w 。如果ij w ，jk w 均已给定，那么，对应于任何一组确定的输入

( , ) 1 2

I s I s ，网络中所有单元的取值不难确定。事实上，对样品s而言，隐单元j的输入

是

Σ

=

2 k 1 s jk k s j

=

h w I （5）

相应的输出状态是

Σ

2 1

=

= =

( ) ( )

k s jk k s j sj

H

?

h

?

w I

（

6）

由此，输出单元i 所接收到的迭加信号是

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ΣΣΣ

= = =

= =

3 1 3 1 2

1

( )

j j k s ij jk k sj ij s i

h w H w ?w I （7）

网络的最终输出是

( ) ( ) ( ( ))

3 1 2 1 3 1

ΣΣΣ

= = =

= = =

j k s ij jk k j sj ij s i s i

O ?h ?w H ?w ?w I （8）

这里，没有考虑阈值，正如前面已经说明的那样，这一点是无关紧要的。还应指出的是， 对于任何一组确定的输入，输出是所有权{ , } ij jk w w 的函数。

如果我们能够选定一组适当的权值{ , } ij jk w w ，使得对应于学习样本中任何一组Af 样品的输入( , ) 1 2

I s I s ，输出( , ) (1,0) 1 2 Os Os = ，对应于Apf 的输入数据，输出为(0,1)，

那么蠓虫分类问题实际上就解决了。因为，对于任何一个未知类别的样品，只要将其触 角及翅膀长度输入网络，视其输出模式靠近(1,0)亦或(0,1)，就可能判断其归属。当然， 有可能出现介于中间无法判断的情况。现在的问题是，如何找到一组适当的权值，实现 上面所设想的网络功能。 2.3 向后传播算法

对于一个多层网络，如何求得一组恰当的权值，使网络具有特定的功能，在很长一 段时间内，曾经是使研究工作者感到困难的一个问题，直到1985 年，美国加州大学的 一个研究小组提出了所谓向后传播算法（Back-Propagation），使问题有了重大进展，这

一算法也是促成人工神经网络研究迅猛发展的一个原因。下面就来介绍这一算法。 如前所述，我们希望对应于学习样本中Af 样品的输出是(1,0)，对应于Apf 的输出 是(0,1)，这样的输出称之为理想输出。实际上要精确地作到这一点是不可能的，只能 希望实际输出尽可能地接近理想输出。为清楚起见，把对应于样品s 的理想输出记为

{ s}

i T ，那么 = Σ?

i s s i s i ,

E W T O

( )2 2

( ) 1 （9）

度量了在一组给定的权下，实际输出与理想输出的差异，由此，寻找一组恰当的权的问 题，自然地归结为求适当W 的值，使E(W)达到极小的问题。将式（8）代入（9），有

ΣΣΣ

= =

= ?

s i j k s ij jk k s i , 2 3 1 2 1

E W T w w I

[ ( ( ))] 2

( ) 1 ??（10）

易知，对每一个变量ij w 或ij w 而言，这是一个连续可微的非线性函数，为了求得其极 小点与极小值，最为方便的就是使用最速下降法。最速下降法是一种迭代算法，为求出

E(W)的（局部）极小，它从一个任取的初始点0 W 出发，计算在0 W 点的负梯度方向 —( ) 0 ?E W ，这是函数在该点下降最快的方向；只要( ) 0 0 ?E W ≠，就可沿该方向

移动

一小段距离，达到一个新的点( ) 1 0 0 W =W ?η?E W ，η是一个参数，只要η足够小，

定能保证( ) ( ) 1 0 E W

对于隐单元到输出单元的权ij w 而言，最速下降法给出的每一步的修正量是

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= Σ? = Σ ? ?

Δ = ?

s s sj s i sj s i s i s i ij

T O h H H w

ij

w ηE η[ ]?'( ) ηδ（11）

此处令

' ( )[ s ]

i s i s i s

i

δ=?h T ?O （12）

对输入单元到隐单元的权jk w

= Σ? ? ?

Δ = ?

s i sj

sj ij s i s i s i jk

T O h w h I w w E

jk ,

ηη[ ]?'( ) ?'( )

= Σ= Σ

s s k s j s i s k sj ij s

i ,

ηδw ?h I ηδI

' ( ) （13）

此处

= Σ

i s ij i sj s

j

δ?'(h ) w δ

从（11）和（13）式可以看出，所有权的修正量都有如下形式，即

Δ = Σ

s sq sp

pq

w ηδv （14）

指标p 对应于两个单元中输出信号的一端，q 对应于输入信号的一端，v 或者代表H 或 者代表I 。形式上看来，这一修正是“局部”的，可以看作是Hebb 律的一种表现形式。 还应注意，s

i

δ

由实际输出与理想输出的差及s i h 决定，而s

j

δ则需依赖s δ

i

算出，因此，

这一算法才称为向后传播算法。稍加分析还可知道，利用由（11）~（13）式所给出的 计算安排，较之不考虑sp

δ的向后传播，直接计算所有含?'的原表达式，极大地降低了

计算工作量。这组关系式称作广义δ?法则，它们不难推广到一般的多层网络上去。 利用这一迭代算法，最终生成在一定精度内满足要求的{ , } ij jk w w 的过程，称为人

工神经网络的学习过程。可以看出，这里所提供的学习机制是元与元之间权的不断调整， 学习样本中任何一个样品所提供的信息，最终将包含在网络的每一个权之中。参数η的 大小则反映了学习效率。

为了更有效地应用BP 算法，我们做出如下一些补充说明。

（i）在式（11）与（13）中，ij jk Δw ,Δw 表示为与所有样品s有关的求和计算。 实际上，我们还可以每次仅考虑输入一个样品所造成的修正，然后，按照随机选取的顺 序，将所有样品逐个输入，不断重复这一手续，直至收敛到一个满意的解为止。 （ii）在如上的算法中，利用实际输出与理想输出差的平方和作为度量{ , } ij jk w w 优 劣的标准，这并不是唯一的度量方式，完全可以从其它的函数形式出发，例如从相对熵 出发，导出相应的算法。

（iii）在如上的讨论中使用的是最速下降法，显然，这也不是唯一的选择，其它的

非线性优化方法，诸如共轭梯度法，拟牛顿法等，都可用于计算。为了加速算法的收敛 速度，还可以考虑各种不同的修正方式。

（iv）BP 算法的出现，虽然对人工神经网络的发展起了重大推动作用，但是这一 算法仍有很多问题．对于一个大的网络系统，BP 算法的工作量仍然是十分可观的，这 主要在于算法的收敛速度很慢。更为严重的是，此处所讨论的是非线性函数的优化，那 么它就无法逃脱该类问题的共同困难：BP 算法所求得的解，只能保证是依赖于初值选

取的局部极小点。为克服这一缺陷，可以考虑改进方法，例如模拟退火算法，或从多个

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随机选定的初值点出发，进行多次计算，但这些方法都不可避免地加大了工作量。 2.4 蠓虫分类问题的求解

下面利用上文所叙述的网络结构及方法，对蠓虫分类问题求解。编写Matlab 程序 如下： clear

p1=[1.24,1.27;1.36,1.74;1.38,1.64;1.38,1.82;1.38,1.90; 1.40,1.70;1.48,1.82;1.54,1.82;1.56,2.08]; p2=[1.14,1.82;1.18,1.96;1.20,1.86;1.26,2.00 1.28,2.00;1.30,1.96]; p=[p1;p2]';

pr=minmax(p);

goal=[ones(1,9),zeros(1,6);zeros(1,9),ones(1,6)]; plot(p1(:,1),p1(:,2),'h',p2(:,1),p2(:,2),'o') net=newff(pr,[3,2],{'logsig','logsig'}); net.trainParam.show = 10; net.trainParam.lr = 0.05; net.trainParam.goal = 1e-10; net.trainParam.epochs = 50000; net = train(net,p,goal);

x=[1.24 1.80;1.28 1.84;1.40 2.04]'; y0=sim(net,p) y=sim(net,x)

§3 处理蠓虫分类的另一种网络方法

3.1 几个有关概念

在介绍本节主要内容之前，首先说明几个不同的概念。在上一节中，我们把利用 BP 算法确定联接强度，即权值的过程称为“学习过程”，这种学习的特点是，对任何一 个输入样品，其类别事先是已知的，理想输出也已事先规定，因而从它所产生的实际输 出与理想输出的异同，我们清楚地知道网络判断正确与否，故此把这一类学习称为在教 师监督下的学习；与它不同的是，有些情况下学习是无监督的，例如，我们试图把一组 样品按其本身特点分类，所要划分的类别是事先未知的，需要网络自身通过学习来决定， 因而，在学习过程中，对每一输入所产生的输出也就无所谓对错，对于这样的情况，显 然BP 算法是不适用的。

另一个有关概念是所谓有竞争的学习。在上节所讨论的蠓虫分类网络中，尽管我们 所希望的理想输出是(1,0)或(0,1)，但实际输出并不如此，一般而言，两个输出单元均 同时不为0。与此不同，我们完全可以设想另外一种输出模式：对应任何一组输入，所 有输出单元中，只允许有一个处于激发态，即取值为1，其它输出单元均被抑制，即取 值为0。一种形象的说法是，对应任何一组输入，要求所有的输出单元彼此竞争，唯一 的胜利者赢得一切，失败者一无所获，形成这样一种输出机制的网络学习过程，称为有 竞争的学习。

3.2 最简单的无监督有竞争的学习

本节叙述一种无监督有竞争的网络学习方法，由此产生的网络可用来将一组输入样

品自动划分类别，相似的样品归于同一类别，因而激发同一输出单元，这一分类方式，

是网络自身通过学习，从输入数据的关系中得出的。

蠓虫分类问题对应有教师的网络学习过程，显然不能由如上的方法来解决。但在这

种无监督有竞争的学习阐明之后，很容易从中导出一种适用于有监督情况的网络方法； 此外，本节所介绍的网络，在数据压缩等多种领域，都有其重要应用。

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考虑一个仅由输入层与输出层组成的网络系统，输入单元数目与每一样品的测量值 数目相等，输出单元数目适当选取。每一个输入单元与所有输出单元联接，第j 个输入 元到第i 个输出元的权记为ij w ，同层单元间无横向联接。无妨假设所有输入数值均已 规化到[?1,1]之间，又因为是有竞争的学习，输出单元只取0 或1 两个值，且对应每一 组输入，只有一个输出元取1。

取1 的输出元记为i*，称之为优胜者．对于任何一组输入s，规定优胜者是有最大 净输入的输出元，即对输入( , , ) 1 n I = I L I 而言，

=Σ≡?

j i ij j i

h w I W I (15)

取最大值的单元，其中i W 是输出元i 所有权系数组成的向量，也就是说 W I W I i i ?≥?* ，(?i) （16） 如果权向量是按照

j

Σ=

w2 1的方式标准化的，（16）式等价于 | | | | * W I W I i i ?≤?，(?i) （17）

ij

即优胜者是其标准化权向量最靠近输入向量的输出元。令1 * = i O ，其余的输出

= 0 i O 。这样的输出规定了输入向量的类别，但为了使这种分类方式有意义，问题化

为如何将学习样本中的所有样品，自然地划分为聚类，并对每一聚类找出适当的权向量。 为此，采用如下的算法：随机取定一组不大的初始权向量，注意不使它们有任何对称性。 然后，将已知样品按照随机顺序输入网络。对输入样品s，按上文所述确定优胜者i*， 对所有与i*有关的权作如下修正

( ) * i* j

sj

i j

Δw =ηI ?w （18）

所有其它输出单元的权保持不变。注意到1 * = i O ，O 0(i i* ) i = ≠，所有权的修正公式 可统一表示为

( ) * i* j

sj

i j i

Δw =ηO I ?w

这一形式也可视为Hebb 律的一种表现。（18）式的几何意义是清楚的，每次修正将优 胜者的权向量向输入向量移近一小段距离，这使得同一样品再次输入时，i*有更大的 获胜可能。可以合理地预期，反复重复以上步骤，使得每个输出单元对应了输入向量的 一个聚类，相应的权向量落在了该聚类样品的重心附近。当然，这只是一个极不严密的

说明。

特别应当指出，上述算法，对于事先按照

Σ= 1 I 标准化了的输入数据更为适用，

j

整个过程不难由计算机模拟实现。

为了更有效地使用如上算法，下面对实际计算时可能产生的问题，作一些简要说明。 首先，如果初始权选择不当，那么可能出现这样的输出单元，它的权远离任何输入

向量，因此，永远不会成为优胜者，相应的权也就永远不会得到修正，这样的单元称之 为死单元。为避免出现死单元，可以有多种方法。一种办法是初始权从学习样本中抽样 选取，这就保证了它们都落在正确范围内；另一种办法是修正上述的学习算法，使得每 一步不仅调整优胜者的权，同时也以一个小得多的η值，修正所有其它的权。这样，对 于总是失败的单元，其权逐渐地朝着平均输入方向运动，最终也会在某一次竞争中取胜。 此外，还存在有多种处理死单元的方法，感兴趣的读者可从文献中找到更多的方法。

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另外一个问题是这一算法的收敛性。如果式（18）或（19）中反映学习效率的参数

η取为一个固定常数，那么权向量永远不会真正在某一有限点集上稳定下来。因此，应

当考虑在公式中引进随学习时间而变化的收敛因子。例如，取= t = t ?a 0 ηη( ) η，

0

量，η下降太快，则会使学习变得无效。

3.3 LVQ 方法

上述有竞争学习的一个最重要应用是数据压缩中的向量量子化方法（Vector

Quantization）。它的基本想法是，把一个给定的输入向量集合I s分成M 个类别，然后 用类别指标来代表所有属于该类的向量。向量分量通常取连续值，一旦一组适当的类别 确定之后，代替传输或存储输入向量本身，可以只传输或存储它的类别指标。所有的类 别由M 个所谓“原型向量”来表示，我们可以利用一般的欧氏距离，对每一个输入向 量找到最靠近的原型向量，作为它的类别。显然，这种分类方法可以通过有竞争的学习 直接得到。一旦学习过程结束，所有权向量的集合，便构成了一个“电码本”。 一般而言，上述无监督有竞争的学习，实际提供了一种聚类分析方法，对如蠓虫分 类这种有监督的问题并不适用。1989 年，Kohonen 对向量量子化方法加以修改，提出 了一种适用于有监督情况的学习方法，称为学习向量量子化（Learning Vector

Quantization），该方法可用于蠓虫分类问题。在有监督的情况下，学习样品的类别是事 先已知的，与此相应，每个输出单元所对应的类别也事先作了规定，但是，代表同一类 别的输出单元可以不止一个。

在LVQ 中，对于任一输入向量，仍按无监督有竞争的方式选出优胜者i*，但权的 修正规则则依输入向量的类别与i*所代表的是否一致而不同，确切地说，令

?? ?? ? ?? ?

Δ =

不一致情况 一致情况

( ) ( )

* * *

i j sj i j sj

I w I w w

i j

η η

前一种情况，修正和无监督的学习一致，权朝向样品方向移动一小段距离；后一种 则相反，权向离开样品方向移动，这样就减少了错误分类的机会。 对于上述的蠓虫分类问题，我们编写Matlab 程序如下： clear

p1=[1.24,1.27;1.36,1.74;1.38,1.64;1.38,1.82;1.38,1.90; 1.40,1.70;1.48,1.82;1.54,1.82;1.56,2.08]; p2=[1.14,1.82;1.18,1.96;1.20,1.86;1.26,2.00 1.28,2.00;1.30,1.96];

p=[p1;p2]' pr=minmax(p)

goal=[ones(1,9),zeros(1,6);zeros(1,9),ones(1,6)] net = newlvq(pr,4,[0.6,0.4]) net = train(net,p,goal)

Y = sim(net,p)

x=[1.24 1.80;1.28 1.84;1.40 2.04]' sim(net,x) 习题十九

1. 利用BP 算法及sigmoid 函数，研究以下各函数的逼近问题

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（i）, 1 100 ( ) = 1 ≤x ≤

x f x

（ii）

2

( ) sin , 0

π

f x = x ≤x ≤

对每一函数要完成如下工作：

①获取两组数据，一组作为训练集，一组作为测试集；

②利用训练集训练一个单隐层的网络；用测试集检验训练结果，改变隐层单元数， 研究它对逼近效果的影响。 2. 给定待拟合的曲线形式为

f (x) = 0.5 + 0.4sin(2πx)

在f (x)上等间隔取11 个点的数据，在此数据的输出值上加均值为0，均方差σ= 0.05 的正态分布噪声作为给定训练数据，用多项式拟合此函数，分别取多项式的阶次为1， 3 和11 阶，图示出拟合结果，并讨论多项式阶次对拟合结果的影响。__

π

f x = x ≤x ≤

对每一函数要完成如下工作：

①获取两组数据，一组作为训练集，一组作为测试集；

②利用训练集训练一个单隐层的网络；用测试集检验训练结果，改变隐层单元数， 研究它对逼近效果的影响。 2. 给定待拟合的曲线形式为

f (x) = 0.5 + 0.4sin(2πx)

在f (x)上等间隔取11 个点的数据，在此数据的输出值上加均值为0，均方差σ= 0.05 的正态分布噪声作为给定训练数据，用多项式拟合此函数，分别取多项式的阶次为1， 3 和11 阶，图示出拟合结果，并讨论多项式阶次对拟合结果的影响。__

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