微积分在不等式证明中的应用研究

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微积分在不等式证明中的应用研究

张 翔 刘晓波

(南京晓庄学院数学与信息技术学院,江苏南京211171)

摘 要:利用微积分证明不等式,其中包括拉格朗日中值定理、函数单调性、函数的最值、曲线的凹凸性、构造辅助函数、运用导数积分等方法,给出一些主要的证明方法,并举例加以说明应用。

关键词:微积分;不等式;证明;辅助函数

中图分类号:G64 文献标识码:A 文章编号:1672 3198(2010)04 0216 02 不等式的证明,在初等数学里已经介绍过若干种方法,如比较法,综合法,分析法,放缩法,反证法,数学归纳法和构造法等等。然后有些不等式用初等数学方法很难证明,但是利用微积分证明却相对容易一些。利用微积分证明不等式,是根据不等式的特点,通常需要构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用微积分来研究函数的形态。

证明:构造函数f(x)=(k>1,x>0)易判别x=

x

kk

为f(x)的最小值 。所以 (x>0,kk-1x(k-1)k-1>1)令x=xi,xi>0,i xi=1取k=n+1,代入上式整理=1后得

xi+ (n2+1)n()

xin

n

2n2

k

2

n

2

1 利用函数单调性证明不等式

利用函数单调性来证明不等式是不等式证明的一个重要方法。

x y

lnx-lny例1 设x>0,y>0,L(x,y)

xx=y P(x,y)

()ye

x

1(i )=1xi

n

n2-1

(i=1,2, n)

n

n-12

x y

2n于是i (xi+) (n+1)()(i )由平均值不等=1=1xinxi

nn

nnnn

式得i xi (i= 1xi)=()即i= xi n代入上式整理即=11nnn

n

得i (xi+) (n+)。=1xin

2n

n2

3 利用函数的泰勒展开式证明不等式

若函数f(x)在有x0的某区间有定义,并且有直到n-1阶的各阶导数,有在点x0处有n阶导数fn)(xn),则有展开式:

f(x0)f(x0)''

f(x)=f(x0)+(x-x0)+(x-x0)2+ +

1!2!0(x-x0)n+Rn(x)n!

在泰勒公式中,取x0=0,变为麦克劳林公式

002(n)0n

f(x)=f(x0)+x+x+ +x+

1!2!n!

Rn(x)

在上述公式中若Rn(x) 0(或Rn(x) 0)则可得f(x) f(0)+

2(n)nx+x+ +x

2!n!1!

(n)

(n)

(

xx=y

证明:由于x,y的对称性,我们不妨设x y>0,

先研究x>y的情形,令f(x)=lnP(x,y)-lnL(x,y)

则f'(x)=(lnx-lny)(L2(x,y)-xy)2

x(x-y)

由于x>y则有不等式 L(x,y) (此不等式系

2

ostle,Tewilliger和Mitrinuvic分别于1957和1970年建立)知f'(x)>0,即是单调增函数,

因此有f(x)>f(y)=lny-lny=0即得lnP(x,y)>lnL(x,y),(x>y),

由指数函数的单调性有p(x,y)>L(x,y)当x=y时,p(x,y)=L(x,y)

n

例2.设xi>0(i=1,2, n),试证明i (1+xi) =1

n

1+

=1

(ai))

n

。

n

证明:构造辅助函数f(x)=

n

(x)i ,=1nx+xi

(x+xi) x 0则f'(x)=i=1

2n

x+x+ +x1!2!n!

分析:使用泰勒展开式证明不等式主要是针对形如ex,sinx,或f(x) f(0)+cosx,lnx,

等形式的函数不等式的证明,当这样的形式1+X

由平均值不等式知切x 0成立,

(x)i= 1 故f'(x) 1对一nx+xif(x)

n

出现时候,观察一下不等式的变化,优先考虑使用泰勒展开

式证明不等式。使用泰勒展开式证明不等式,取相应的前几项,很容易得出所要证明的结果。

例4.设在f(x)[0,1]上二阶可导,且有|f(x)| 1,|f'(x)|<2证明|f'(x)| 3。

证明:由泰勒展开式知存在 (0,x)及 (x,1),使得

f(1)=f(x)+f'(x)(1-x)+f''( )(1-x)2f(0)=f(x)

2-f'(x)x+

2

f''( )(0-x)2

由拉格朗日中值定理得f(1)-f(0)=f (0) 1即得证。

2 利用函数极(最)值证明不等式

若所设函数不是单调函数,我们可以考虑利用函数的极值证明不等式。

nn

n

例3.设xi>0,i= 1xi=1,证明i= (xi+) n+。1xin

相减得f(1)-f(0)=f'(x)+

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定理知g(x)=

22

f''( )(1-x)-f'( )x22

f'(x)=f(1)-f(0)+f''( )x2-f''( )(1-x)2,

222f''( )x|+|f''( )22

(1-x)2| 1+1+x2+(1-x)2 3。所以|f'(x)| |f(1)|+|f(0)|+|

例5.证明不等式:当0<x<时,>1-cosx>。

2224分析证明:由于cosx=1-+cos ,0< <x<24!2

2

故=-cos ,2

x224

()222

2

显然>-cos >- 1=->-2224224296296=->>293即>>2x2 22故>1-cosx>当0<x<时成立。22

2

2

为[0, ]上的严格递增函数故>整x理后即得证。

5 利用积分证明不等式

例8.设0 a1 a2 a3 a4 R(1)设a2+a3 a1+a4

若0< <1则a2+a3 a1+a4若 <0则a2+a3 a1

+a4

(2).设a2+a3 a1+a4, >1,则a2 +a3 a1 +a4 证明:记a3-a1= ,由所设得 0,由积分知识易得(a4-a3)= -1 ) dy

a4a3

x

-1

dx=

a4- a3-

(y+ )

-1

dy=

a1

a4-

(y+

(1)由于a2+a3 a1+a4, <1, 0故得a4- a2,(y+-1-1 ) y

a- a

-1-1

所以(a4 -a3 )=(y+ ) dy y dy=

aa2 (a2-a1)

41

21

4 利用函数的凹凸性证明不等式

若函数y=f(x)的图形在区间(a,b)是凹(凸)的,则对

(a,b)内任意两点x1和x2,都有f(x)<[f(x1)+f

2

(x2)],从而可利用函数图形的凹凸性证明一些不等式,特别是一类多元不等式,通常是根据欲证明不等式,构造辅助函数,利用该函数在某区间上的二阶导数的正负来判定在该区间上的凹凸性,从而证明不等式。

例6.证明Holder不等式i aibi (i ai )(i bi )其=1=1=1中 >1, >1,

n

n

n

n

1

若0< <1则有a4-a3 a2-a1即a2+a3 a1+a4若 <0则有a4 -a3 a2 -a1 即a2 +a3 a1 +a4 同理可证(2)

例9.对任意正整数n>1,求证:+ +

<()n+()n

2n+2nn

n

)<2。n

证明:令f(x)=xn,x [0,1]虽然当n>1时,函数f(x)是下凸的,

将[0,1]n等分,由积分性质我们有不等式

1

f(0)+f(1)+ +

f()<xndy<

nn0

n

1

+=1及ai>0,bi>0,i=1,2, n。

f(0)+

证明:设f(x)=x(x>0)由凸函数的Jensen不等式得f(

i=1

pixi

i=1n

pi

)

i=1

pif(xi)

i=1n

pi

其中xi>0,pi>0,i=1,2, n

pixi2n(i pixi) i =1=1 -1

即(i pixi) ( pixi)( pi)即=1

pi(i pi)i=1=1令pi=bi ,xi=aibi代入整理即得证。

例7.设ai>0且不全相等, , R且 >

则M (a1,a2 an)>M (a1,a2 an)

n

其中Mx(a1,a2 an)=(i= 1aix)定义M0(a1,a2

n

11n

f(1)+ +f()+其中=i i而 i为

nn2n2n=1

f(x)dy与()之差,因此有

nn

nnnn()+ +()<<()+ +()+nnn+1nn2

n从第一个不等式得()n+ +()+()n<

nnnn+1

i-1

ian)=ln

1,.a2 an。

nx

证明:设f(x)=ln(i= 1ai)

n

f (x)=

i=1

n

+1<2

从第二个不等式得nn()n+ +()+()n=(()n+ +()nnnnn+)+>+=。22n+122n+2参考文献

[1]刘晓波.凸函数的一个性质 [J].厦门数学通讯,1987,(1).[2]匡继昌.常用不等式[M].济南:山东科技出版社,2004.

[3]胡克.解析不等式的若干问题[M].武汉:武汉大学出版社,2007.[4]G.H.哈代.J.E.Littlewood.G.波利亚著,越民文译,不等式

ailnai aix

i=1

n

n

n

n

f' (x)=

i=1

aixi aixln2ai-(i aixlnai)2

=1=1

(i ai)=1

x

2

[M].北京:北京科学出版社.1965.

[5]孙本旺.汪浩主编,数学分析中的典型例题和解题方法[M].长

沙:湖南科学技术出版社.1983.

由Canchy不等式知f''(x)>0即f(x)为下凸函数由文[1]

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/x6o4.html