海淀区高三年级第二学期期末练习数学(理科)
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海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 (理科)
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 (理科)
2011.5
选择题 (共40分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,
选出符合题目要求的一项.
1. 复数1 在复平面上对应的点的坐标是
A.(1,1) B. ( 1,1) C. ( 1, 1) D. (1, 1) 2. 已知全集U R, 集合A 1,2,3,4,5 ,B {x R|x 2},下图中阴影部分所表示的集合为
A {1} B. {0,1} C. {1,2} D. {0,1,2}
1i
1
的零点所在区间 x
11
A.(0,) B. (,1) C. (1,2) D. (2,3)
22
3.函数f(x) log2x 4.若直线l的参数方程为
A.
x 1 3t
(t为参数),则直线l倾斜角的余弦值为
y 2 4t
4334 B. C. D. 5555
5. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下:
甲 乙 9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4 根据上图,对这两名运动员的成绩进行比较,下列四个结论中,不正确的是 ...A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差
B.甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数 C.甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 (理科)
6.一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是 ....
7.若椭圆C1:
主视图
左视图
A2
x
a1
2
y2b1
2
B
C
1(a1 b1 0)和椭圆C2:
x2a2
2
y2b2
2
D
1(a2 b2 0)
的焦点相同且a1 a2.给出如下四个结论:
① 椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点; ②
a1b1
; a2b2
2222
③ a1 a2 b1 b2; ④a1 a2 b1 b2.
其中,所有正确结论的序号是
A.②③④ B. ①③④ C.①②④ D. ①②③
P为正方形 8. 在一个正方体ABCD A1BC11D1中,
D1
A1
1
C1
O为底面正方形ABCD的中心,四边上的动点,A1B1C1D1
M,N分别为AB,BC中点,点Q为平面ABCD内一点,线
OP段D1Q与互相平分,则满足MQ MN的实数 的值
有
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
A
D
O
Q
CN
B
非选择题(共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
y 2x,
9.点P(x,y)在不等式组 y x,表示的平面区域内,则z x y的最大值为_______.
x 2
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 (理科)
10.运行如图所示的程序框图,若输入n 4,则输出S的值为. 11.若x(1 mx)4 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5,
a 6,则实数m的值为 ;
其中2
a5 a1 a2 a3 a4 的值为.
12.如图,已知 O的弦AB交半径OC于点D,若AD 3,
BD 2,且D为OC的中点,则CD的长为 .
13.已知数列 an 满足a1 t,,an 1 an 2 0 (t N*,n N*),记数列 an 的前n项和的最大值为f(t),则f(t) . 14. 已知函数f(x)
sinx
x
3
时,f(x)取得极小值. 2
(1)判断下列三个命题的真假:
①f(x)是偶函数;②f(x) 1 ;③当x
其中真命题有____________________;(写出所有真命题的序号) (2)满足f(
n n
) f( )的正整数n的最小值为___________. 666
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15. (本小题共13分)
已知函数f(x) cos2 x xcos x ( 0)的最小正周期为 .
(Ⅰ)求f( )的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间及其图象的对称轴方程.
16.(本小题共13分)
某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘
客,假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.
(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率;
(Ⅱ) 用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数,求X的分布列和数学期望.
23
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 (理科)
17.(本小题共14分)
PAB和 PAD如图,四棱锥P ABCD的底面是直角梯形,AB//CD,AB AD,
是两个边长为2的正三角形,DC 4,O为BD的中点,E为PA的中点. (Ⅰ)求证:PO 平面ABCD;
(Ⅱ)求证:OE//平面PDC;
(Ⅲ)求直线CB与平面PDC所成角的正弦值.
E
18. (本小题共14分)
已知函数f(x) (ax x)lnx
2
D
C
12
ax x.(a R). 2
(I)当a 0时,求曲线y f(x)在(e,f(e))处的切线方程(e 2.718...); (II)求函数f(x)的单调区间.
19.(本小题共13分)
在平面直角坐标系xOy中,设点P(x,y),M(x, 4),以线段PM为直径的圆经过
原点O.
(Ⅰ)求动点P的轨迹W的方程;
(Ⅱ)过点E(0, 4)的直线l与轨迹W交于两点A,B,点A关于y轴的对称点为A',试判断直线A'B是否恒过一定点,并证明你的结论.
20. (本小题共13分)
对于数列A:a1,a2, ,an,若满足ai 0,1 (i 1,2,3, ,n),则称数列A为“0-1数列”.定义变换T,T将“0-1数列”A中原有的每个1都变成0,1,原有的每个0都变成1,0. 例如A:1,0,1,则T(A):0,1,1,0,0,1.设A0是“0-1数列”,令Ak T(Ak 1),
k 1,2,3, .
(Ⅰ) 若数列A2:1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1. 求数列A1,A0;
(Ⅱ) 若数列A0共有10项,则数列A2中连续两项相等的数对至少有多少对?请说明理由; (Ⅲ)若A0为0,1,记数列Ak中连续两项都是0的数对个数为lk,k 1,2,3, .求lk关于k的表达式.
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 (理科)
海淀区高三年级第二学期期末练习
数 学(理)
答案及评分参考 201
1.5
选择题 (共40分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
非选择题 (共110分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题
5分. 共30分.有两空的题目,第一空3分,第二空2分)
9. 6 10. 11 11.
31 ,
162
t2 2t
, (t为偶数) 4
13. 14. ①② , 9 2
(t 1) , (t为奇数) 4
三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. (共13分) 解:(Ⅰ) f(x) 分
1(1 cos2 x)2 x 22
1
sin(2 x ), 26
3分 因
为
f(x)
最小正周期为
π
,所以
2π
π2ω
,解得
ω 1, 4分
所以f(x) sin(2x
π1
) , 62
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 (理科)
5分 所
以
f(
2π1
) . 632
分 (
Ⅱ
)
分
别
由
2k
2
6
2k
2
,k,(Z)
2k
2
2x
6
2k
3
,(k Z)2
可得k 分
3
x k
6
,(k Z),k
6
x k
2
,(k Z). 83
所以,函数f(x)的单调增区间为[k
,k ],(k Z);
36
调
减
区
间
为
f(x)
[k
的单
6
,k
2
],(k Z). 10分 3
由2x 所
ππkπ
得x π ,(k Z). kπ ,(k Z)
6226
,
以
f(x)
图象的对称轴方程为
kπ
x π (k Z). 13分
26
16.(共13分)
解:(Ⅰ) 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A, 1分
由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是
1
, 3分 3则
2 65
P(A) 1 P(A) 1
3 81 .
6分
X(Ⅱ) 的可能取值
0,1,2,3,4, 7分
为
4
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 (理科)
由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为所
1
,且每个人下电梯互不影响, 3
,
以
X B(
1
4.
,
3
11分
14
E(X)
4 .
33
13
分
17.(共14分)
(Ⅰ)证明:设F为
DC的中点,连接BF,则DF AB ∵AB
AD,AB AD,AB//DC,
∴四边形ABFD为正方形, ∵O为BD的中点, ∴O为AF,BD的交点,
E
∵PD PB 2,
D
∴PO BD, ..2分 ∵BD ∴POC
AO
2
2
1
BD 2
2
在三角形PAO中,PO AO PA 4,∴PO AO, 4分 ∵AO BD O,∴PO 平面ABCD; 5分 (Ⅱ)方法1:连接PF,∵O为AF的中点,E为PA中点, ∴OE//PF,
∵OE 平面PDC,PF 平面PDC,
∴OE//平面PDC. 9分
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 (理科)
方法2:由(Ⅰ)知PO 平面ABCD,又AB AD,所以过O分别做AD,AB的平行线,以它们做x,y轴,以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 由已知得:
A( 1, 1,0),B( 1,1,0),D(1, 1,0)
F(1,1,0),C
(1,3,0),P,
11E( , ,,
222
11则OE ( , ,PF (1,1,,PD (1, 1,,PC (1,3,.
222
1 ∴OE PF
2
∴OE//PF
∵OE 平面PDC,PF 平面PDC,
∴OE//平面PDC; 9分
(Ⅲ) 设平面PDC的法向量为n (x1,y1,z1),直线CB与平面PDC所成角θ,
n PC 0 x1 3y1 1 0则
,即 ,
n PD 0 x1 y11 0
y1 0解得 ,令z1 1,则平面PDC
的一个法向量为n ),
x1 1
又CB ( 2, 2,0)
则sinθ cos n,CB
, 3. 14∴直线CB与平面PDC
分
18. (共14分)
解:(I)当a 0时,f(x) x xlnx,f'(x) lnx, 2分 所以f(e) 0,f'(e) 1, 4分
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 (理科)
所以曲线y f(x)在(e,f(e))处的切线方程为y x e. 5分 (II)函数f(x)的定义域为(0, )
1
f'(x) (ax2 x) (2ax 1)lnx ax 1 (2ax 1)lnx, 6分
x
①当a 0时,2ax 1 0,在(0,1)上f'(x) 0,在(1, )上f'(x) 0
所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1, )上递减; 8分
111
时,在(0,1)和(, )上f'(x) 0,在(1,)上f'(x) 0 22a2a
11
所以f(x)在(0,1)和(, )上单调递增,在(1,)上递减; 10分
2a2a
1
③当a 时,在(0, )上f'(x) 0且仅有f'(1) 0,
2
②当0 a 所
以
f(x)在(0, )上单调递
增; 12分
111
时,在(0,)和(1, )上f'(x) 0,在(,1)上f'(x) 0 22a2a
11
所以f(x)在(0,)和(1, )上单调递增,在(,1)上递减 14分
2a2a
19.(共13分) 解:(I)由题意可得OP OM, 2分
④当a 所
以
O 0
P
,
O
即
M
(x
2
,yx 4分
2
即x 4y 0,即动点P的轨迹W的方程为x 4y 5分 (II)设直线l的方程为y kx 4,A(x1,y1),B(x2,y2),则A'( x1,y1). 由
y kx 4
2
x 4y
消
y
整理得
x2 4kx 16 0, 6分
则
16k2 64 0
,即
|k . 7分
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 (理科)
1212 9分
直线A'B:y y2
y2 y1
(x x2)
x2 x1
y
y2 y1
(x x2) y2
x2 x1
x22 x121 y (x x2) x22
4(x1 x2)4
x2 x1x x1x212
x x2
444x xxx y 21x 12
44 y
12分
即y 所
2
2
x2 x1
x 4 4
以
,
直
线
A'B
恒过定点
(0,4). 13分
20. (共13分)
解:(Ⅰ)由变换T的定义可得A,1,0,0,1 21:0,1分
A0:1,0,1 4
分
(Ⅱ) 数列A0中连续两项相等的数对至少有10对 5分
证明:对于任意一个“0-1数列”A0,A0中每一个1在A2中对应连续四项1,0,0,1,在A0中每一个0在A2中对应的连续四项为0,1,1,0,
因此,共有10项的“0-1数列”A0中的每一个项在A2中都会对应一个连续相等的数对, 所
以
A2
中至少有10对连续相等的数
对. 8分 (Ⅲ) 设Ak中有bk个01数对,
Ak 1中的00数对只能由Ak中的01数对得到,所以lk 1 bk,
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 (理科)
k 1kk由变换T的定义及A0:0,1可得Ak中0和1的个数总相等,且共有2所以bk 1 lk 2k, 所以lk 2 lk 2k,
由A0:0,1可得A1:1,0,0,1,A2:0,1,1,0,1,0,0,1 所以l1 1,l2 1, 当k 3时,
若k为偶数,lk lk 2 2k 2 lk 2 lk 4 2k 4 l4 l2 22
k 1
个,
上述各式相加可得lk 1 2 2 2
24k 2
1(1 4)1k
(2 1),
1 43
k 1
2
1
经检验,k 2时,也满足lk (2k 1)
3
若k为奇数,lk lk 2 2k 2 lk 2 lk 4 2k 4 l3 l1 2
上述各式相加可得lk 1 2 2 2
3k 2
1
2(1 4)1k
(2 1),
1 43
k 1
2
1
经检验,k 1时,也满足lk (2k 1)
3
1k
(2 1),k为奇数 3
所以lk …………………………………………………………………………..13分
1 (2k 1),k为偶数 3
说明:其它正确解法按相应步骤给分.
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