2007级数学分析第1学期期终考试2008-01

上 海 交 通 大 学 试 卷 A卷 （ 2007 至 20078 学年 第1学期 2008年2月16日） 班级_______________________ 学号______________________ 姓名 课程名称 成绩 一、填空题(每题4分，共24分)

π?arctanx1.极限lim2＝ .

x???3sinx1p?2p???np2.极限lim= （其中p?0）.

n??np?13.积分?[x2008(ex?e?x)?2sin2x]dx= .

?ππdx2x3?t3dt= . 4.?tedx05.设曲线方程为y??x0sintdt，0?x?π，则曲线的长度为 .

6.常微分方程y??y?1的通解是 .

二、单项选择题(每题3分，共12分)

1.设f(x)?(x2?a2)g(x)，其中g(x)在a点连续，则f?(a)＝（ ） (A)[2xg(x)?(x2?a2)g?(x)]x?a； (B)2ag(a)； (C)0； (D)不存在.

12.设?xf(x)dx?arcsinx?C，则?dx＝（ ）

f(x)(A)1?x2?C； (B)x1?x2?C；

33112222(C)?(1?x)?C； (D)?(1?x)?C.

233.设F'(x)?f(x),x?[a,b].则下列结论正确的是( )

(A)?f(x)dx?F(x)?C； (B)f(x)在[a,b]上必Riemann可积； (C)F(x)??f(t)dx?C，?x?[a,b]； (D)?f(x)dx?F(b)?F(a).

aaxb4.考虑下列断语( )

I 设f、g?R[a,b].若f(x)?g(x)（等号仅在有限个点取得），则?f(x)dx??g(x)dx；

aabbbbII 设f、g?R[a,b].若f(x)?g(x)，则?f(x)dx??g(x)dx.

aa(A)命题I、命题II都正确； (B) 命题I正确,命题II不正确； (C)命题I不正确,命题II正确； (D) 命题I、命题II都不正确.

总6页 第1页（管院用）

题 号

一 二 三 四 五 六 七 总 分 得 分 批阅人 三、计算下列各题（每题6分，共24分）. 1.?arccotxdx.

2.设(0,??)上的连续函数f(x)满足f(x)?2lnx?x 3.?

总6页 第2页（管院用）

?22?e1f(x)dx，求f(x). xx2x?12?2dx.

4. 求方程yy???y?2?0满足y(1)?1,y?(1)?1的特解.

(x?2)2x2?2x2??四、(10分)全面讨论函数y?的性态（已知y??），并列表作,y?x?1(x?1)2(x?1)3图.（此页用于分析讨论和列表，图形画在下页空白处）

总6页 第3页（管院用）

五、(12分)设直线y?ax与抛物线y?x2所围成的图形面积为S1，他们与直线x?1所围成图形面积为S2，且0?a?1，

（1）试确定a值，使S1?S2达到最小，并求出最小值；

（2）求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

总6页 第4页（管院用）

六、(8分)设f(x)在[a,b]上二阶可导，f?(a)?0,f?(b)?0,f(a)?f(b).证明: (1)f?(x)在(a,b)内至少存在两个零点；

(2)在(a,b)内至少存在一点?满足f??(?)?f(t)dt?f?(?)f(?)?0.

a?

总6页 第5页（管院用）

七、（10分）设f(x)在[a,b]上有定义，且?x??[a,b]，limf(x)?0.证明：

x?x?(1)对于???0，f(x)在[a,b]上至多有有限个点的函数绝对值大于(2)证明f(x)?R[a,b]； (3)计算?f(x)dx的值.

ab?； 2

总6页 第6页（管院用）

上 海 交 通 大 学 试 卷 B卷 （ 2007 至 2008 学年 第1学期 2008年1月16日） 班级_______________________ 学号______________________ 姓名 课程名称 《数学分析》（C类电、软院用） 成绩 一、填空题(每题4分，共24分)

π?arctanx1.极限lim2＝ .

x???sin(x/2)1q?2q???nq2.极限lim= （其中q?0）.

n??nq?13.积分?[x2008(ex?e?x)?2cos2x]dx= .

?ππdxx2?t2dt= . 4.?tedx0xππ5.设曲线方程为y??πcostdt，??x?，则曲线的长度为 . ?2226.常微分方程y??y?1的通解是 .

二、单项选择题(每题3分，共12分)

1.设f(x)?(x2?a2)g(x)，其中g(x)在a点连续，则f?(a)＝（ ） (A)[2xg(x)?(x2?a2)g?(x)]； (B) 0；

x?a(C)2ag(a)； (D)不存在.

12.设?xf(x)dx?arccosx?C，则?dx＝（ ）

f(x)3122(A)(1?x)?C； (B)x1?x2?C；

33122(C)?(1?x)?C； (D)1?x2?C.

23.设F'(x)?f(x),x?[a,b].则下列结论正确的是( )

(A)?f(x)dx?F(b)?F(a)； (B)f(x)在[a,b]上必Riemann可积；

ab(C)F(x)??f(t)dx?C，?x?[a,b]； (D)?f(x)dx?F(x)?C.

ax4.考虑下列断语( )

I 设f、g?R[a,b].若f(x)?g(x)（等号仅在有限个点取得），则?f(x)dx??g(x)dx；

aabbbbII 设f、g?R[a,b].若f(x)?g(x)，则?f(x)dx??g(x)dx.

aa(A)命题I,命题II都正确； (B) 命题I正确,命题II不正确； (C)命题I不正确,命题II正确； (D) 命题I,命题II都不正确.

总6页 第7页（管院用）

题 号 得 分 批阅人

一 二 三 四 五 六 七 总 分 三、计算下列各题（每题6分，共24分）. 1. ?arctanxdx.

2.设(0,??)上的连续函数f(x)满足f(x)?lnx?x2?

3.?

总6页 第8页（管院用）

?2e1f(x)dx，求f(x). xx2x?12?2dx.

4. 求方程yy???y?2?0满足y(1)?1,y?(1)?2的特解.

(x?2)2x2?2x2??+1的性态（已知y??四、(10分)全面讨论函数y?），并列表,y?23x?1(x?1)(x?1)作图.（此页用于分析讨论和列表，图形画在下页空白处）

总6页 第9页（管院用）

五、(12分)设直线y?kx与抛物线y?x2所围成的图形面积为S1，他们与直线x?1所围成图形面积为S2，且0?k?2，

（1）试确定k值，使S1?S2达到最小，并求出最小值；

（2）求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

总6页 第10页（管院用）

六、(8分)设f(x)在[a,b]上二阶可导，f?(a)?0,f?(b)?0,f(a)?f(b).证明:

(1)f?(x)在(a,b)内至少存在两个零点；

(2)在(a,b)内至少存在一点?满足f??(?)?f(t)dt?f?(?)f(?)?0.

a?

总6页 第11页（管院用）

七、（10分）设f(x)在[a,b]上有定义，且?x??[a,b]，limf(x)?0.证明：

x?x?(1)对于???0，f(x)在[a,b]上至多有有限个点的函数绝对值大于(2)证明f(x)?R[a,b]； (3)计算?f(x)dx的值.

ab?； 2

总6页 第12页（管院用）

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