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华南理工大学网络教育学院

2011年春季高中起点本科、专科生入学考试

《数学》复习大纲

一、 考试性质：

本次考试为华南理工大学网络教育学院2011年春季高中起点本科生和专科生的招生入学选拔考试。主要考察学生在高中阶段所学数学课程基本内容的掌握情况。 二、 考试方式及试卷分数：

笔试，闭卷；满分为100分。 三、 考试时间：

120分钟。

四、考试内容的复习参考书：

普通高中《数学》统编教材（人教版）必修1、2、3、4、5 五、考试内容范围及要求： 第一部分：代数

（一）集合和简易逻辑

1．了解集合的意义及其表示方法。了解空集、全集、子集、交集、并集、补集的概念及其表示方法。了解符号?,?,?,?,?的含义，能运用这些符号表示集合与集合、元素与集合的关系。

2．了解充分条件、必要条件、充分必要条件的概念。 （二）函数

1．了解函数的概念，会求一些常见函数的定义域。

2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，会判断一些常见函数的单调性和奇偶性。 3．理解一次函数、反比例函数的概念，掌握它们的图像和性质，会求它们的解析式。

4．理解二次函数的概念，掌握它的图像和性质以及函数y?ax?bx?c?a?0?与

2y?ax2?a?0?的图像间的关系；会求二次函数的解析式及最大值或最小值。能运用二次

函数的知识解决在关问题。

5．理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质。掌握指数函数的概念、图像和性质。

6．理解对数的概念，掌握对数的运算性质。掌握对数函数的概念、图像的性质。 （三）不等式和不等式组

1．了解不等式的性质。会解一元一次不等式、一元一次不等式组和可化为一元一次不等式组的不等式，会解一元二次不等式。会表示等式或不等式组的解集。

2．会解形如ax?b?c和ax?b?c的绝对值不等式。

（四）数列

1．了解数列及其通项、前n项和的概念。

2．理解等差数列、等差中项的概念，会运用等差数列的通项公式、前n项和的公式解

1

决有关问题。

3．理解等比数列、等比中项的概念，会运用等比数列的通项公式、前n项和的公式解决有关问题。 （五）导数

1．理解导数的概念及其几何意义。

2．掌握函数y?c（c为常数），y?xn?n?N??的导数公式，会求多项式函数的导数。

3．了解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。

4．会求有关曲线的切线方程，会用导数求简单实际问题的最大值与最小值。

第二部分：三角

（一）三角函数及其有关概念

1．了解任意角的概念，理解象限角和终边相同的角的概念。 2．了解弧度的概念，会进行弧度与角度的换算。 3．理解任意角三角函数的概念。了解三角函数在各象限的符号和特殊角的三角函数值。 （二）三角函数式的变换

1．掌握同角三角函数间的基本关系式、诱导公式，会运用它们进行计算、化简和证明。 2．掌握两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正切的公式，会用它们进行计算、化简和证明。

（三）三角函数的图像和性质

1．掌握正弦函数、余弦函数的图像和性质，会用这两个函数的性质（定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性）解决有关问题。

2．了解正切函数的图像和性质。

??x???的周期、最大值和最小值。 3．会求函数y?Asin4．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx,arccosx,arctanx表示。 （四）解三角形

1．掌握直角三角形的边角关系，会用它们解直角三角形。 2．掌握正弦定理和余弦定理，会用它们解斜三角形。

第三部分：平面解析几何 （一）平面向量

１．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

２．掌握向量的加、减运算。掌握数乘向量的运算。了解两个向量共线和条件。 ３．了解平面向量的分解定理。

４．掌握向量的数量积运算，了解其几何意义和处理长度、角度及垂直问题的应用。了解向量垂直的条件。

５．了解向量的直角坐标的概念，掌握向量的坐标运算。

６．掌握平面内两点间的距离公式、线段的中点公式和平移公式。 （二）直线

１．理解直线的倾斜角和斜率的概念，会求直线的斜率。

2

２．会求直线方程，会用直线方程解决有关问题。 ３．了解两条直线平行与垂直的条件以及点到直线的距离公式，会用它们解决简单的问题。

（三）圆锥曲线

１．了解曲线和方程的关系，会求两条曲线的交点。 ２．掌握圆的标准方程的一般方程以及直线与圆的位置关系，能灵活运用它们解决有关问题。

３．理解椭圆、双曲线、抛物线的概念，掌握它们的标准方程和性质，会用它们解决有关问题。

第四部分：概率与统计初步 （一）排列、组合

１．了解分类计数原理和分步计数原理。

２．了解排列、组合的意义，会用排列数、组合数的计算公式。 ３．会解排列、组合的简单应用题。 （二）概率初步

１．了解随机事件及其概率的意义。 ２．了解等可能性事件的概率的意义，会用计数方法和排列组合基本公式计算一些等可能性事件的概率。

３．了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率。 ４．了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。 ５．会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。 （三）统计初步

了解总体和样本的概念，会计算样本平均数和样本方差。

六、模拟试卷：[共三套]

模拟试卷1

一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选

项中，只有一项符合题目要求． 1．已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．现有下列命题：

①s是q的必要条件；②p是q的充分条件而不是必要条件；③r是q的必要条件而不是充分条件；④p是s的必要条件，而不是充分条件；⑤r是s的充分条件，而不是必要条件． 则正确命题的序号是（ ）

A、①④⑤ B、①②④ C、②③⑤ D、②④⑤

1,2}，B?{0,2}，2．定义集合A?B?{z|z?xy,x?A,y?B}．设A?{则集合A?B 3

的所有元素之和为（ ）

A、0 B、2 C、3 D、6 3．函数y?ln(x?1)的定义域是（ ） x?1 A、(?1,??) B、[?1,??) C、(1,??) D、[1,??) 4．曲线y?x2?3x?1在点（1，-1）处的切线方程为（ ）

A、y??x B、y??x?2 C、y?x D、y?x?2

345．若sin???，cos??，则角2?的终边在（ ）

55A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

?126．若sin(??)?，则cos(??2?)?（ ）

6337171A、? B、? C、 D、

93937．在R上定义运算?:x?y?x(1?y)，若不等式(x?a)?(x?a)?1对任意实数x都成立，则（ ）

1331?1?a?1 B、0?a?2 C、??a? D、??a? A、

22228．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）

1123A、 B、 C、 D、

32349．已知F1和F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、

B两点，若?ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）

A、

3223 B、 C、 D、 332210．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1?1，a5?16，则数列{an}的前7项和为（ ）

A、63 B、64 C、127 D、128

4

二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 11．点A(1,0,1)，AB中点坐标为(3,?4,9)，则B点坐标是 ． 12．一组数据的方差为s2，将这组数据中的每个数据都扩大3倍，所得到的一组数据的方差是 ．

13．将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方形玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率为 ． 14．若tan??3，tan??

4，则tan(???)?____ ． 3三、解答题：本大题共3小题，共34分．解答要写出推理、演算步骤．

ax?1?0(a?R)． 15．（本小题满分12分）已知不等式

x?1（1）解这个关于x的不等式；（2）若x??a时不等式成立，求a的取值范围． 16．（本小题满分10分）等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a10?30， a20?50．（1）求{an}的通项公式； （2）若Sn?242，求n．

x2y27．（本小题满分12分）已知F1和F2为双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦

ab点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且?PF1F2?300，求双曲线的渐近线方程．

《模拟试卷1》的参考答案

一、选择题

1、B； 2、D； 3、C； 4、A； 5、D； 6、A； 7、C； 8、C； 9、A； 10、C

二、填空题 11、(5,-8,17) 12、9s2

1 12114、

313、

5

三、解答题 15．已知不等式

ax?1?0(a?R)． x?1（1）解这个关于x的不等式；（2）若x??a时不等式成立，求a的取值范围．

解：（1）原不等式等价于(ax?1)(x?1)?0

当a?0时，不等式即?(x?1)?0，因此解集为{x|x??1}．

1当a?0时，不等式可变为：a(x?)(x?1)?0．

a11 当??1，即a??1时，不等式即(x?)(x?1)?0，因此解集为

aa1{x|?1?x?}；

a当a??1时，不等式即?(x?1)2?0，此时无解； 当?1?a?0时，不等式即(x?1{x|?x??1} ；

a11当a?0时，不等式即(x?)(x?1)?0，因此解集为{x|x??1或x?}．

aa1)x(?a?1)，0因此解集为

?a2?1?0 （2）将x??a代入不等式：

?a?1即(a2?1)(1?a)?0，从而a?1．

16．等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a10?30，a20?50．

（1）求{an}的通项公式； （2）若Sn?242，求n． 解：设等差数列的首项为a1，公差为d，则

?a?a1?9d?30?a?12（1）?10 ??1?a20?a1?19d?50?d?2从而{an}的通项公式为：an?12?2(n?1)?2n?10． （2）因为Sn?na1?n(n?1)d?12n?n(n?1)?n2?11n?242

2解得n?11．

6

x2y217．已知F1和F2为双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点，过F2作垂直于xab轴的直线交双曲线于点P，且?PF1F2?300，求双曲线的渐近线方程． 解：设F2(c,0)，因为PF2?x轴，因此P的横坐标为c，由于P在双曲线上，所

b2b2b2以P的纵坐标为，即P(c,)，从而|PF2|?

aaa另一方面，在直角?PF1F2中，|PF2|?tan?PF1F2?|F1F2|?tan300?2c??b223ccbc2?a2c????3，从而?所以?a?()2?1?2． 3aaaa?a2?b2?c2?23c 3因此双曲线的渐近线方程为：y??2x．

模拟试卷2

一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项的符合题目要求的。

1．设全集U??0，1，2，3?，集合M??0，1，2?，N??0，2，3?，则M?CUN?（ ）

A．空集； B．?1? C．?0，1，2? D．?2，3?

2．平面上到两定点F1??7,0?,F2?7,0?距离之差的绝对值等于10的点的轨迹方程为（ ）

x2y2x2y2??1 B．??1 A．

1001610049x2y2x2y2??1 D．??1 C．

252425243．不等式x?2?4的解集为（ ）

A．xx?2 B．xx?2?????xx??6? ?C．xx??6 D．xx??2 4．点?2,1?关于直线y?x的对称点的坐标为（ ）

??? 7

A．??1,2? B．?1,2? C．??1,?2? D．?1,?2? 5．6个学生分成两个人数相等的小组，不同分法的种数是（ ）

A．10 B．20 C．30 D．120

1?tan15??（ ） 6．?1?tan15A．?3 B．

33 C．3 D．? 337．掷2枚硬币，恰有一枚硬币国徽朝上的概率是（ ）

A．

1131 B． C． D． 43428．?ABC的三顶点坐标分别为A?4,1?,B?2,3?,C?6,?3?，与AB平行的中位线为MN，则直线MN的方程是（ ）

A．x?y?6?0 B．x?y?4?0 C．x?y?4?0 D．x?y?4?0 9．已知抛物线方程为y2?8x，则它的焦点到准线的距离是（ ）

A．8 B．4 C．2 D．6 10．在?ABC中，已知AB?3,BC?1,AC?2，则sinA?（ ）

13 D．

22A．0 B．1 C．

二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。

??11．已知向量a??3,2?,b???4x,1?，且a?b，则x? 。

12．函数y?x?6x?9x在区间??3,3?上的最大值为 。

3213．在?ABC中，已知?A?45,?B?30,AB?18.15，则AC? （用小数表示，结果保留小数点后一位）。

14．从某班的一次数学测验试卷中任意抽出12份，其得分情况如下： 68，77，85，75，60，90，78，84，90，70，45，99

则这次测验成绩的样本方差是 。

三、解答题：本大题共4小题，共49分。解答就写出推理、演算步骤。 15．（本小题满分12分）

已知二次函数f(x)?ax?bx?c的图像C与x轴有两个交点，它们之间距离为6，

2 8

C的对称轴方程为x?2，且f(x)有最小值?9。求

（i）a,b,c的值；

（ii）如果f(x)不大于7，求对应x的取值范围。 16．（本小题满分12分）

已知数列?an?前n项和Sn?（i）求通项an的表达式； （ii）243是这个数列的第几项？ 17．（本小题满分10分）

3n(3?1) 2x2?y2?1的左焦点和右焦点，A是该椭圆与y轴负半轴的交设F1和F2分别是椭圆16点，在椭圆上求点P使得PF1,PA,PF2成等差数列。

《模拟试卷2》的参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算

1．B 2．D 3．B 4．B 5．A 6．C 7．C 8．C 9．B 10．D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算 11．

1 12．4 13．9.4 14．667.02 6三、解答题

15．本小题主要考查二次函数，解不等式等知识的综合运用。

解：（i）由已知，抛物线的顶点坐标为?2,?9?，设所求函数的解析式为y?a?x?2??9，

2由对称性知，该抛物线过点?5,0?，将x?5,y?0代入所设，得9a?9?0,a?1。因为

y?a?x?2??9，即y?x2?4x?5，所以a?1,b??4,c??5。

222（ii）由已知，y?7，即x?4x?5?7，即x?4x?12?0，解得?2?x?6

16．本小题主要考查数列的基本知识和方法。 解：（i）由Sn?3n(3?1)得a1?S1?3 233an?sn?sn?1?(3n?1)?(3n?1?1)?3n

22n （ii）设3?243，得n?5，所以243是这个数列的第5项。

17．本小题主要考查椭圆的定义，标准方程，等差数列的有关知识及综合解题能力。 解：设P?x,y?，显然A?0,?1?。由于PF1,PA,PF2成 1?PF2?8，从而由PF 9

2 等差数列可得PA?4，即x??y?1??16，又x2?16y2?16，所以

216y2??y?1??0

解之得y?211181862；由y??得x??或y??。由y?得x??。所以

353355 P1??861??861?1?1??8?8,?P?,??，即为所求点。 2,?，P2??2,?，P3??4?????5?55?3?3??3?3?5?

模拟试卷3

一、 选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项的符合题目要求的。 1．函数y?sin2x的最小正周期为（ ）

A．8? B．4? C．2? D．? 2．实轴长为10，焦点分别为0,?29,0,29的双曲线的方程是（ ）

????x2y2y2x2??1 B．??1； A．

254425x2y2y2x2??1 D．??1 C．

4252543．不等式x?3?5的解集为（ ）

A．xx?2 B．xx?2?xx??8 C．xx?0 D．xx?3

4．已知线段AB的中点为C，且A??1,7?，C?2,2?，则点B的坐标为（ ）

A．??3,5? B．?5,?3? C．???????????3??19??3,? D．?,??

2??22??25．10个学生分成两个人数相等的小组，不同分法的种数是（ ）

A．126 B．252 C．504 D．62 6．tan?100????2?3???（ ） ? 10

A．?3 B．

33 C．3 D．? 337．事件A与B相互独立，则下列结论正确的是（ ）

A．P?A??0 B．P?A??1?P?B? C．P?A?B??P?A??P?B? D．P?AB??P?A??P?B? 8．已知点A?1，3?,B?3,?5?，线段AB的垂直平分线方程是（ ）

A．x?4y?6?0 B．x?4y?6?0 C．x?4y?6?0 D．x?4y?6?0 9．圆x2?y2?4x?6y?3?0上到x轴距离等于1的点有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．在?ABC中，已知AB?2,BC?3,AC?4，则cosA?（ ）

A．

11111111 B．? C． D．?

16321631二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。

??11．已知向量a??3,7?,b???4,2x?，且a?b，则x? 。

12．函数y?8x?x的驻点为 。

??13．在?ABC中，已知?A?45,?B?30,AB?23.26，则AC?

24（用小数表示，结果保留小数点后一位）。

14．从某班的一次数学测验试卷中任意抽出10份，其得分情况如下：

81，98，43，75，60，55，78，84，90，70

则这次测验成绩的样本方差是 。

三、解答题：本大题共4小题，共49分。解答就写出推理、演算步骤。 15．（本小题满分12分）

等比数列?an?中，公比q?2， log2a1?log2a2???log2a10?25，求：

a1?a2?a3???a10。

16．（本小题满分12分）

已知二次函数f(x)?ax?bx?c的图像C与x轴有两个交点，它们之间距离为6，C的对称轴方程为x?2，且f(x)有最小值?9。求

2 11

（i）a,b,c的值；

（ii）如果f(x)不大于7，求对应x的取值范围。 17．（本小题满分10分）

x2?y2?1的左焦点和右焦点，A是该椭圆与y轴负半轴的设F1和F2分别是椭圆4交点，在椭圆上求点P使得PF1,PA,PF2成等差数列。

《模拟试卷3》的参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算

1．D 2．D 3．B 4．C 5．A 6．A 7．D 8．C 9．C 10．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算 11．

6 12．0，2，-2 13．12.0 14．252.84 7三、解答题

15．本小题主要考查数列的基本知识和方法。 解：由已知有log21 又

aa2a10?25，即a1a2a10?225。

?an?是以公比q?2的等比数列，?an?a1qn?1

?a1q9?a110q45?a110245?225

1 4从而a1?a1q即a1??a1?a2?a3??a10?a1?2a1?1?210110?2a1?a1??(2?1)

1?24916．本小题主要考查二次函数，解不等式等知识的综合运用。

解：（i）由已知，抛物线的顶点坐标为?2,?9?，设所求函数的解析式为y?a?x?2??9，

2由对称性知，该抛物线过点?5,0?，将x?5,y?0代入所设，得9a?9?0,a?1。因为

y?a?x?2??9，即y?x2?4x?5，所以a?1,b??4,c??5。

222（ii）由已知，y?7，即x?4x?5?7，即x?4x?12?0，解得?2?x?6

17．本小题主要考查椭圆的定义，标准方程，等差数列的有关知识及综合解题能力。 解：设P?x,y?，显然A?0,?1?。由于PF1?PF2?4，从而由PF1,PA,PF2成 等差数列可得PA?2，即x2??y?1??4，又x?4y?4，所以

222 12

4y2??y?1??0

2解之得y?1或y??1142。由y?1得x?0；由y??得x??。所以 333?421??421????? P1?0,1?，P2?3,?3?，P3??3,?3?即为所求点。 ????

[完]

13

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