2014届高考数学一轮复习教学案（基础知识+高频考点+解题训练）随机抽样（含解析）

随_机_抽_样

[知识能否忆起]

一、简单随机抽样： 1．简单随机抽样的概念：

设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

2．最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法． 二、系统抽样的步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本： (1)先将总体的N个个体编号；

NN(2)确定分段间隔k，对编号进行分段，当是整数时，取k＝；

nn(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；

(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号l＋k，再加k得到第3个个体编号l＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本．

三、分层抽样 1．分层抽样的概念：

在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层抽样．

2．当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法． 3．分层抽样时，每个个体被抽到的机会是均等的．

[小题能否全取]

1．(教材习题改编)在某班的50名学生中，依次抽取学号为5、10、15、20、25、30、35、40、45、50的10名学生进行作业检查，这种抽样方法是( )

A．随机抽样 C．系统抽样

B．分层抽样 D．以上都不是

解析：选C 由系统抽样的特点可知C正确．

2．为了了解一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是( )

A．总体

B．个体是每一个零件 D．样本容量

C．总体的一个样本

解析：选C 200个零件的长度是总体的一个样本．

3．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型产品有15件，那么样本容量n为( )

A．50 C．70

B．60 D．80

3

解析：选C 由n×＝15得n＝70.

3＋4＋7

4．(2012·金华模拟)某学院有A，B，C三个专业共1 200名学生．现采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知A专业有420名学生，B专业有380名学生，则在C专业应抽取________名学生．

1201解析：由已知条件可得每一名学生被抽取的概率为P＝＝，则应在C专业中抽

1 200101

取(1 200－420－380)×＝40名学生．

10

答案：40

5．将某班的60名学生编号为：01,02，?，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是________．

解析：依据系统抽样方法的定义知，将这60名学生依次按编号每12人作为一组，即01～12、13～24、?、49～60，当第一组抽得的号码是04时，剩下的四个号码依次是16,28,40,52(即其余每一小组所抽出来的号码都是相应的组中的第四个号码)．

答案：16,28,40,52

三种抽样方法的异同点： 类别 简单随从总体中逐个抽取 机抽样 抽样过程将总体均匀分成几部系统抽样 中每个个分，按事先确定的规体被抽取则在各部分抽取 的机会均分层抽样

等 各层抽样时采用简将总体分成几层，分单随机抽样或系统层进行抽取 抽样 分组成 总体由差异明显的几部采用简单随机抽样 在起始部分抽样时总体中的个体数较多 总体中的个体数较少 共同点 各自特点 相互联系 适用范围

简单随机抽样 典题导入

[例1] 下面的抽样方法是简单随机抽样的是( )

A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2 709的为三等奖

B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格

C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见

D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验

[自主解答] A、B是系统抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C是分层抽样，因为总体的个体有明显的层次；D是简单随机抽样．

[答案] D

由题悟法

1．简单随机抽样需满足：(1)抽取的个体数有限；(2)逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取．

2．简单随机抽样常有抽签法(适用总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)．

以题试法

1．(2012·宁波月考)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性( ) A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大 B．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小 C．与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等 D．与第几次抽样无关，与样本容量无关

解析：选C 由随机抽样的特点知某个体被抽到的可能性与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等.

系 统 抽 样

典题导入

[例2] (2012·山东高考)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，?，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其

余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为( )

A．7 C．10

B．9 D．15

960

＝30，抽取的号码依次为32

[自主解答] 由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为

9,39,69，?，939.落入区间[451,750]的有459,489，?，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋(n－1)×30，解得n＝10.所以做问卷B的有10人．

[答案] C

由题悟法

1．系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．

2．使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体．

以题试法

2．(2012·武夷模拟)用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，?，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是________．

解析：设第1组抽取的号码为b，则第n组抽取的号码为8(n－1)＋b，∴8×(16－1)＋b＝126，∴b＝6，故第1组抽取的号码为6.

答案：6

分 层 抽 样

典题导入

[例3] (1)(2012·福建高考)一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．

(2)(2012·天津高考)某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取____________所学校，中学中抽取____________所学校．

[自主解答] (1)依题意，女运动员有98－56＝42(人)．设应抽取女运动员x人，根据分x28

层抽样特点，得＝，解得x＝12.

4298

303030

(2)150×＝150×＝18,75×＝9.

250250150＋75＋25

[答案] (1)12 (2)18 9

本例(2)中条件变为“某地区有小学、中学、大学若干所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校，其中从150所小学中抽取18所”试求该地区共有多少所学校．

解：设共有n所学校， 30

∴150×＝18，

n∴n＝250.

由题悟法

进行分层抽样时应注意以下几点

(1)分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．

(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同． (3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样． 样本容量各层样本数量

(4)抽样比＝＝.

总体容量各层个体数量

以题试法

3．(2012·惠州二调)某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a、b、c，且a、b、c构成等差数列，则二车间生产的产品数为( )

A．800 C．1 200

B．1 000 D．1 500

解析：选C 因为a、b、c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以二车间抽取的产品数占抽取产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占总数的三分之1

一，即为3 600×＝1 200.

3

1．(2013·江西模拟)在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00,01,02，?，99，从中抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个．则( )

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