第04章 非线回归模型的线性化(讲稿)
更新时间:2023-06-02 09:19:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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非线回归模型的线性化
第4章 非线性回归模型的线性化
以上介绍了线性回归模型。但有时候变量之间的关系是非线性的。例如
yt = 0 + 1x + ut 1
t
yt = 0 e + ut 1xt
上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。可采用非线性方法进行估计。估计过程非常复杂和困难,在20世纪40年代之前几乎不可能实现。计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。专用软件使这种计算变得非常容易。但本章不是介绍这类模型的估计。
另外还有一类非线性回归模型。其形式是非线性的,但可以通过适当的变换,转化为线性模型,然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为可线性化的非线性模型。下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非线性模型。
⑴ 指数函数模型
yt = aebxt ut (4.1)
b>0 和b<0两种情形的图形分别见图4.1和4.2。显然xt和yt的关系是非线性的。对上式等号两侧同取自然对数,得
Lnyt = Lna + b xt + ut (4.2)
非线回归模型的线性化
令 Lnyt = yt*, Lna = a*, 则
yt* = a* + bxt + ut (4.3)
变量yt* 和xt已变换成为线性关系。其中ut表示随机误差项。
图4.1 yt =aebxt ut bxt ut, (b > 0) 图4.2 yt =ae, (b < 0) ⑵ 对数函数模型
yt = a + b Ln xt + ut (4.4)
b>0和b<0两种情形的图形分别见图4.3和4.4。xt和yt的关系是非线性的。令xt* = Lnxt, 则
yt = a + b xt* + ut (4.5)
变量yt 和xt* 已变换成为线性关系。
图4.3 yt = a + b Lnxt + ut , (b > 0) 图4.4 yt
= a + b Lnxt + ut , (b < 0)
非线回归模型的线性化
⑶ 幂函数模型
yt = a xt be (4.6) ut
b取不同值的图形分别见图4.5和4.6。xt和yt的关系是非线性的。对上式等号两侧同取对数,得
Lnyt = Lna + b Lnxt + ut (4.7)
令yt* = Lnyt, a* = Lna, xt* = Lnxt, 则上式表示为 yt* = a* + b xt* + ut (4.8)
变量yt* 和xt* 之间已成线性关系。其中ut表示随机误差项。(4.7) 式也称作全对数模型。
图4.5 yt = a xt be 图4.6 yt ut
= a xt be ut
⑷ 双曲线函数模型
1/yt = a + b/xt + ut (4.9)
也可写成,
yt = 1/ (a + b/xt + ut) (4.10)
非线回归模型的线性化
b>0情形的图形见图4.7。xt和yt的关系是非线性的。令yt* = 1/yt, xt* = 1/xt,得
yt* = a + b xt* + ut
已变换为线性回归模型。其中ut表示随机误差项。
(b > 0)
双曲线函数还有另一种表达方式,
yt = a + b/xt + ut (4.11) 图4.7 yt = 1/ (a + b/xt ), (b > 0) 图4.8 yt = a + b/xt ,
b>0情形的图形见图4.8。xt和yt的关系是非线性的。令xt* = 1/xt,得
yt = a + b xt* + ut
上式已变换成线性回归模型。
⑸ 多项式方程模型
一种多项式方程的表达形式是
yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut (4.12)
其中b1>0, b2>0, b3>0和b1<0, b2>0, b3<0情形的图形分别见
非线回归模型的线性化
图4.9和4.10。令xt 1 = xt,xt 2 = xt2,xt 3 = xt3,上式变为 yt = b0 +b1 xt 1 + b2 xt 2 + b3 xt 3 + ut (4.13)
这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本曲线与图4.9相似。
图4.9 yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut 图4.10 yt = b0 + b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut
另一种多项式方程的表达形式是
yt = b0 + b1 xt + b2 xt2 + ut (4.14)
其中b1>0, b2>0和b1<0, b2<0情形的图形分别见图4.11和
4.12。令xt 1 = xt,x t 2 = xt 2,上式线性化为,
yt = b0 + b1 xt1 + b2 xt2 + ut (4.15)
如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与图4.11相似。
非线回归模型的线性化
图4.11 yt = b0 +b1xt + b2xt2 + ut
图4.12 yt = b0 + b1xt + b2xt2 + ut
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