2018年秋九年级数学上册 第3章 图形的相似 3.4.1 相似三角形的判定 第2课时 相似三角形的

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。第3章 图形的相似

3.4.1 相似三角形的判定

第2课时 相似三角形的判定定理（1）

知识点 两角分别相等的两个三角形相似

1．如图3－4－19，D是BC上的一点，∠ADC＝∠BAC，则下列结论正确的是( )

图3－4－19

A．△ABC∽△DAB B．△ABC∽△DAC C．△ABD∽△ACD D．以上都不对

图3－4－20

2．如图3－4－20，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△ABC相似的是( )

A．△DBE B．△ADB C．△BDC D．以上都对 3．已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形________相似．(填“一定不”或“不一定”或“一定”)

4．如图3－4－21，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点(DE不平行于BC)，当∠C＝________时，△AED与△ABC相似．

图3－4－21

图3－4－22

5．如图3－4－22，在△ABC中，AD⊥BC，再添加一个条件：______________，可使△ABD∽△CAD.

6．如图3－4－23，锐角三角形ABC的边AB和AC上的高线CE和BF相交于点D，请写出

1

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。图中的一对相似三角形：________________．

图3－4－23

图3－4－24

7．如图3－4－24，AE，BD交于点C，BA⊥AE于点A，ED⊥BD于点D.若AC＝4，AB＝3，CD＝2，则CE＝________．

8．如图3－4－25，在△ABC中，AB＝AC，D是线段BC上一点，连接AD.若∠B＝∠BAD.求证：△ABC∽△DBA.

图3－4－25

9．如图3－4－26，在△ABC中，∠C＝90°，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，交AB于点

E.

求证：△DME∽△BCA.

图3－4－26

10．2017·江西如图3－4－27，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.求证：△EBF∽△FCG.

2

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。 图3－4－27

11．如图3－4－28，E，F分别在矩形ABCD的边AD，DC上，且∠BEF＝90°，则与△DEF相似的三角形是( )

A．△EBF B．△ABE

C．△BCF D．以上都不是

图3－4－28

图3－4－29

12．如图3－4－29，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC上，DE与AC相交于点F.若AB＝9，BD＝3，则CF的长为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

13．如图3－4－30，在菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD于点E，NF⊥AB于点F.若NF＝NM＝2，ME＝3，则AN等于( )

A．3 B．4 C．5 D．6

图3－4－30

3

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。图3－4－31

14．2016·益阳期中如图3－4－31，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝2 2，AB＝3，则BD＝________．

15．如图3－4－32，D，E是△ABC的边AB，AC上的点，∠A＝35°，∠C＝85°，∠AED＝60°.

求证：AD·AB＝AE·AC.

图3－4－32

16．如图3－4－33，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．

(1)求证：△BDE∽△BAC；

(2)已知AC＝6，BC＝8，求线段AD的长．

图3－4－33

17．2016·武汉在△ABC中，P为边AB上一点．

2

(1)如图3－4－34(a)，若∠ACP＝∠B，求证：AC＝AP·AB. (2)若M为CP的中点，AC＝2.

①如图3－4－34(b)，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；

4

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。②如图3－4－34(c)，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．

图3－4－34

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邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。

1．B [解析] ∵∠ADC＝∠BAC，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC.

2．C [解析] 求出选项中各三角形各个角的度数，发现△BDC中有两个角与△ABC中两个角对应相等，所以它们相似．

3．一定 [解析] ∵一个三角形的两个内角分别是40°，60°，∴它的第三个内角为80°.又∵另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，∴这两个三角形有两个内角相等，∴这两个三角形一定相似．

4．∠ADE

5．∠B＝∠CAD(答案不唯一)[解析] ∵∠ADB＝∠ADC＝90°，添加∠B＝∠CAD，则△ABD∽△CAD.

6．答案不唯一，如△ABF∽△DBE或△ACE∽△DCF或△EDB∽△FDC等 7．2.5 [解析] ∵BA⊥AE，∴BC＝AB＋AC＝3＋4＝5.∵BA⊥AE，ED⊥BD，∴∠AACDC42

＝∠D＝90°.又∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△DEC，∴＝，即＝，∴EC＝2.5.

BCEC5EC8．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

∵∠B＝∠BAD，∴∠BAD＝∠C. 又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBA.

9．证明：∵∠C＝90°，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N， ∴∠C＝∠ENB＝∠DME＝90°， ∴AC∥DN，∴∠BEN＝∠A.

又∵∠BEN＝∠DEM，∴∠DEM＝∠A. 在△DME与△BCA中，

∵∠DEM＝∠A，∠DME＝∠C， ∴△DME∽△BCA.

10．证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴∠BEF＋∠BFE＝90°. ∵∠EFG＝90°，

∴∠BFE＋∠CFG＝90°， ∴∠BEF＝∠CFG， ∴△EBF∽△FCG. 11．B 12．B [解析] 因为△ABC和△ADE均为等边三角形，所以∠B＝∠ADF＝60°，所以∠BAD＋∠ADB＝∠FDC＋∠ADB＝120°，所以∠BAD＝∠FDC.又因为∠B＝∠C＝60°，所以△BAD∽△CDF，所以AB∶CD＝BD∶CF，所以9∶6＝3∶CF，所以CF＝2.

13．B [解析] ∵ME⊥AD，NF⊥AB，∴∠AFN＝∠AEM＝90°.∵四边形ABCD是菱形，∴∠FAN＝∠EAM，∴△FAN∽△EAM，∴＝2222NFAN2AN，即＝，解得AN＝4.

MEAM3AN＋2

8BCAB2 2

14. [解析] ∵∠A＝∠BCD，∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴＝，即＝

3BDBCBD388，∴BD＝.故答案为.

332 2

15．在△ABC中，∠A＝35°，∠C＝85°，∴∠B＝60°. 又∵∠AED＝60°，∴∠B＝∠AED.

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邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。又∵∠A为公共角，∴△AED∽△ABC， ∴＝，∴AD·AB＝AE·AC.

16． (1)证明：∵∠C＝90°，由折叠的性质得∠AED＝∠C＝90°，

∴∠DEB＝∠C＝90°.

又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC. (2)由勾股定理，得AB＝10.

由折叠的性质，知AE＝AC＝6，DE＝CD，∠AED＝∠C＝90°， ∴BE＝AB－AE＝10－6＝4.

在Rt△BDE中，由勾股定理，得

DE2＋BE2＝BD2，即CD2＋42＝(8－CD)2， 解得CD＝3. 在Rt△ACD中，

222

由勾股定理，得AC＋CD＝AD，

即6＋3＝AD，解得AD＝3 5.

17． (1)证明：∵∠ACP＝∠B，∠PAC＝∠CAB， ∴△ACP∽△ABC，∴＝，

∴AC＝AP·AB.

(2)①如图，作CQ∥BM交AB的延长线于点Q，∴∠PBM＝∠Q.∵∠PBM＝∠ACP， ∴∠ACP＝∠Q.又∵∠PAC＝∠CAQ， ∴△APC∽△ACQ，∴＝， ∴AC＝AP·AQ.

又∵M为PC的中点，BM∥CQ，∴＝

222

2

2

AEADABACACAPABACACAPAQACBPPM12

＝.设BP＝x，则BQ＝x，∴2＝(3－x)(3＋x)，PQPC2

解得x1＝5，x2＝－5(不合题意，舍去)，

∴BP＝5.

②BP＝7－1.

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