九年级数学竞赛第04讲 有关方程组的问题

第四讲 有关方程组的问题

在教科书上，我们已经知道了二元一次方程组、三元一次方程组以及简单的二元二次方程组的解法．利用这些知识，可以研究一次函数的图像、二次函数的图像以及与此有关的问题．本讲再介绍一些解方程组的方法与技巧．

1．二元二次方程组

解二元二次方程组的基本途径是“消元”和“降次”．

由一个二次和一个一次方程组成的二元二次方程组的一般解法是代入法，由两个二次方程组成的二次方程组在中学阶段只研究它的几种特殊解法．

如果两个方程的二次项的对应系数成比例，可用加减消元法消去二次项．

例1 解方程组

解 ②×2-①×3得

4x＋9y-6＝0．

方程组中含有某一未知数的对应项的系数的比相等，可用加减消元法消去这个未知数． 例2 解方程组

解 ②×(-2)+①得

3y2+3y-6=0，

所以 y1=1，y2=-2． 解方程组

与

得原方程组的解

方程组中至少有一个方程可以分解为一次方程的方程组，可用因式分解法解．

例3 解方程组

解 由②得

(2x+y)(x-2y)=0，

所以 2x+y=0或x-2y=0． 因此，原方程组可化为两个方程组

与

解这两个方程组得原方程组的解为

如果两个方程都没有一次项，可用加减消元法消去常数项，再用因式分解法求解． 例4 解方程组

解 由①-②×2得

x2-2xy-3y2=0，

即 (x+y)(x-3y)=0， 所以 x＋y=0或x-3y=0． 分别解下列两个方程组

得原方程组的解为

2．二元对称方程组

方程中的未知数x，y互换后方程保持不变的二元方程叫作二元对称方程．例如

x2-5xy＋y2-3x-3y=7，

等都是二元对称方程．

由二元对称方程组成的方程组叫作二元对称方程组．例如

等都是二元对称方程组． 我们把

叫作基本对称方程组．基本对称方程组通常用代入法或韦达定理求解． 例5 解方程组

解 方程组中的x，y分别是新方程

m2-5m+4=0

的两个解．解关于m的一元二次方程得m1=1，m2=4，所以原方程组的解是

这个方程组亦可用代入法求解(略)．

由于一般的二元对称式总可以用基本对称式x+y和xy表示，因此在解二元对称方程组时，一定可以用x＋y和xy作为新的未知数，通过换元转化为基本对称方程组． 例6 解方程组

解 原方程组可变形为

①×2＋②得

令u=x＋y，则

即

而方程组

无实数解．

综上所述，方程组的解为

例7 解方程组

分析 本题是一个对称方程组的形式，观察知它可转化为基本对称方程组的形式． 解 由①得

xy=16． ④

由②，④可得基本对称方程组

于是可得方程组的解为

例8 解方程组

分析 本题属于二元轮换对称方程组类型，通常可以把两个方程相减，因为这样总能得到一个方程x-y=0，从而使方程降次化简． 解 ①-②，再因式分解得

(x-y)(x+y-10)=0，

所以 x-y-0或x＋x-10=0． 解下列两个方程组

得原方程组的四组解为

例9 解方程组

解法1 用换元法．设

4x＋5=A，4y+5=B，

则有

即

③-④并平方得

整理得

所以

因此A-B=0或

分别解下列两个方程组

与

经检验，A=B=9适合方程③，④，由此得原方程组的解是

解法2 ①-②得

即

所以x-1与y-1同号或同为零．由方程①得

所以x-1与y-1不能同正，也不能同负．从而

x-1=0，y-1=0．

由此解得

经检验，x=1，y=1是方程组的解．

练习四

1．填空： (1)方程组

的解有_____组． (2)若x，y是方程组

(3)已知3a+b+2c=3，且a+3b+2c=1，则2a+c=_____． (4)已知实数x，y，z满足方程组

则xyz=________． 2．解方程组：

3．设a，b，c，x，y，z都是实数．若

4．已知一元二次方程

a(x＋1)(x+2)+b(x+2)(x＋3)＋c(x＋3)(x＋1)=0

有两根0，1，求a∶b∶c． 5．(1)解方程组

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