高考数学一轮复习 55 直线与圆锥曲线学案 理

第五十五课时 直线与圆锥曲线的位置关系

课前预习案

考纲要求

1、了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2、掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.

3、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质. 4、了解圆锥曲线的简单应用. 5、理解数形结合的思想.

基础知识梳理

1.直线和圆锥曲线的位置关系

（1）位置关系：相交、相切、相离。 （2）位置关系的判断：

已知直线l:ax?by?c?0，圆锥曲线M:f(x,y)?0，联立方程组?消元（消x或y），整理得Ax2?Bx?C?0

<1>若A?0，则直线l和圆锥曲线M只有一个公共点.

①当曲线为双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合； ②当曲线为抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行. <2>若A?0，设??B2?4AC

①当??0时，直线和圆锥曲线M有两个不同的公共点； ②当??0时，直线和圆锥曲线M相切，只有一个公共点； ③当??0时，直线和圆锥曲线M没有公共点. 2.弦长问题

（1）斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则所得弦长

2|PP|PP12|?1?12|?1?k|x1?x2|或

?ax?by?c?0，

?f(x,y)?01|y1?y2|（k?0）； 2k2b2（2）椭圆与双曲线的通径长为；

a（3）抛物线y?2px(p?0)的焦点为F，弦AB过焦点F，

2pp?x2???x1?x2??p 222p②若直线AB与x轴的夹角为?，则|AB|?；特别地，抛物线的通径长为2p.

sin2?①；AB?AF?BB?x1?预习自测

22x?2y?1，则它的右焦点坐标为（ ） 1．双曲线方程为

?2??6??5?????2,0???2,0???2,0?????? ??A、 B、 C、 D、

?3,0?

2y?4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ） 2．以抛物线

2222x?y?x?0 x?y?2x?0A. B.2222??y?x?0x?y?2x?0 C. D.

x2y2??1433．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP?FP的最大值为（ ）

A.2 B.3 C.6 D.8

第五十五课时 直线与圆锥曲线的位置关系

课堂探究案

典型例题

考点一：圆锥曲线定义、方程的综合

x2y2【典例1】（1）若双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左右焦点分别为F1、F2,线段F1F2被抛

ab物线y?2bx的焦点分成3:2的两段,则此双曲线的离心率为 （ ）

2 A．

9 8B．

63753 C． 373D．

521 21（2）已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

x y 1 ?2 0 1 41 3 ?2 1 2则C1与C2的标准方程分别为（ ）

x2x222?y?1；y?4x B. ?y2?1；y2?4x A. 42

x2x2y222?y?1；y?2x D. ??1；y2?4x C. 443

x2y2??1的离心率为 【变式1】（1）已知三个数2，m,8构成一个等比数列，则圆锥曲线

m2（A）2226 （B）3 （C）或3 （D）或 2222x2y2（2）已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的一条渐近线的斜率为2，则该双曲线的离心率

ab等于（ ）

A．2

B．3

C．2

D．23

考点二：直线和圆锥曲线的位置关系

【典例2】过抛物线y?4x的焦点F作弦AB，且|AB|?8，直线AB与椭圆3x?2y?2相交于两个不同的点，求直线AB的倾斜角的取值范围.

222x2y2【变式2】椭圆2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P(a,b)满足

ab|PF2|?|F1F2|．

(1)求椭圆的离心率e；

22(2)设直线PF2与椭圆相交于A、B两点，若直线PF2与圆(x?1)?(y?3)?16相交

5于M、N两点，且|MN|?|AB|，求椭圆的方程．

8

考点三：最值问题

x2y2【典例3】已知椭圆2?2?1(a?0,b?0)的左右焦点分别为F1、F2，由4个点

abM(?a,b)，N(a,b)，F2和F1构成了一个高为3，面积为33的等腰梯形.

（1）求椭圆的方程;

（2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求?F2AB面积的最大值.

x2y26【变式3】已知椭圆2?2?1(a?0,b?0)过点M(0,2)，离心率e?.

3ab（1）求椭圆的方程；

（2）设过定点N(2,0)的直线l与椭圆相交于A、B两点，且?AOB为锐角（其中O为

坐标原点),求直线l斜率的取值范围.

当堂检测

x2y2??1的右焦点重合，则p的值为 1. 若抛物线y?2px的焦点与双曲线

222A．?2 B．2 C．?4 D．4

x2y22.在区间[1,5]和[2,6]内分别取一个数，记为a和b， 则方程2?2?1(a?b)表示离心率

ab小于5的双曲线的概率为 A.

1151731 B. C. D. 23232322x2y2??1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴3. 已知抛物线y?2px的焦点F与双曲线

79的交点为K，点A在抛物线上且|AK|?2|AF|，则?AFK的面积为( )

A.4 B.8 C.16 D.32

x2y24.设F是抛物线C1:y?4x的焦点，点A是抛物线与双曲线C2:2?2?1(a?0,b?0)ab2的一条渐近线的一个公共点，且AF?x轴，则双曲线的离心率为 .

第五十五课时 直线与圆锥曲线的位置关系（课后拓展案）

A组全员必做题

x2y256,且a?b,则双曲线2?2?12ab1．两个正数a、b的等差中项是, 一个等比中项是的

离心率e等于

（ ）

31513 A．2 B．2 C．13 D．3

x2y2?2?1?a?0,b?0?2F1、F2Fb2．已知分别是双曲线a的左、右焦点，过1作垂直于x轴的

直线交双曲线于A、B两点，若

?ABF2为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是( )

(A)

?1,1?2? (B)?1?2,??? (C)?1?2,1?2? (D)?2,2?1?

2y?4x，以(1,1)为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线方程为（ ） 3．已知抛物线

A．x?2y?1?0 B．2x?y?1?0 C．2x?y?3?0 D．x?2y?3?0

x2y2?2?1(a?b?0)2b4． 已知椭圆a的长轴长是短轴长的2倍，斜率为1的直线l与椭圆

相交，截得的弦长为正整数的直线l恰有3条，则b的值为（ ）

2A.2

B.2

3C. 2 6D. 2

2y?2px(p?0)过点A （1 , -2）. 5．已知抛物线C：

（1）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；

（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直

5线OA与L的距离等于5？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由.

B组提高选做题

x2y2?2?12F1,F2Fb设分别是椭圆E:a（a>b>0）的左、右焦点，过1斜率为1的直线l与E 相

交于A,B两点，且

AF2,

AB,

BF2成等差数列.

（1)求E的离心率； （2）设点P（0,-1）满足

第五十五课时 直线与圆锥曲线的位置关系

参考答案

预习自测

1.C 2.D 3.C

PA?PB,求E的方程.

典型例题

【典例1】（1）D；（2）A 【变式1】（1）C；（2）B 【典例2】[??2?3?,)(,]； 4334x2y21??1. 【变式2】（1）；（2）

16122x2y2??1；【典例3】（1）（2）3. 43x2y2??1；【变式3】（1）（2）k?3或k??3 124当堂检测 1.D 2.B 3.D 4.5 A组全员必做题

1.D 2.A 3.B 4.C

5.（1）y?4x；准线为x??1. （2）存在.2x?y?1?0

B组提高选做题

2x2y22??1. （1）；（2）

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